藝考生專題講義23 利用導(dǎo)數(shù)求極值最值

考點(diǎn)23利用導(dǎo)數(shù)求極值最值知識(shí)梳理1．函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)的極大值，x0叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)．如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)的極小值，x0叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值．極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．注意：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件．例如函數(shù)y＝x3在x＝0處有y′＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．2．判斷f(x0)是極大、極小值的方法當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值．如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．3．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)①若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”，則x0為極大值點(diǎn)；②若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”，則x0為極小值點(diǎn)；③若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同，則x0不是極值點(diǎn)．4．函數(shù)的最值在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(1)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．5．函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系極值是個(gè)“局部”概念，而函數(shù)最值是個(gè)“整體”概念．函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．函數(shù)的極值不一定是最值，最值也不一定是極值．精講精練題型一求極值【例1】函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為()A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)?，由，可得，解?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以使得函數(shù)取得極大值的的值為，故選：C.【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值【舉一反三】1．函數(shù)的極小值為()A．0 B． C． D．【答案】A【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為.故選：A.2．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則的極大值為()A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在圖象在處的切線方程為，所以，，解得，.由，，，，，知在處取得極大值，.故選：A.題型二已知極值求參數(shù)【例2】已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為()A． B． C． D．4【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，則，即，解得，可得，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)的極小值為.故選：B.【方法總結(jié)】解含參數(shù)的極值問題要注意：①是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，故而要注意檢驗(yàn)；②若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，那么在內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值．【舉一反三】1．若函數(shù)的極小值點(diǎn)是，則的極大值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，可得，所以，解得，故，可得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為．故選：C.2．若函數(shù)的極值為，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，令，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；令，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的極小值為，令，則且，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，由于，.故選：D.3.若函數(shù)在處取得極小值，則a=__________．【答案】2【解析】由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以，解得或，若，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；綜上：.故答案為：2.4．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極值為，則__________．【答案】【解析】已知函數(shù),所以,由題意知，，即解得或當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù),函數(shù)沒有極值,不合題意;當(dāng)時(shí),令,解得,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以函數(shù)在和上是增函數(shù),函數(shù)在上是減函數(shù),當(dāng)時(shí)取得極大值,符合題意,所以,所以所以.故答案為:題型三求最值【例3】函數(shù)在[0，2]上的最大值是()A． B． C．0 D．【答案】A【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，故選：A.【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最值，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數(shù)在內(nèi)的極值；②將函數(shù))的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．【舉一反三】1．函數(shù)y＝的最大值為()A．e－1 B．e C．e2 D．10【答案】A【解析】令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)得極大值為，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以故選：A.2.已知在與時(shí)取得極值．(1)求的值；(2)求的極大值和極小值；(3)求在上的最大值與最小值.【答案】(1)；(2)，；(2)，【解析】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谂c時(shí)取得極值．所以，，即，解得所以，(2)由(1)得令得或，令得，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在取得極大值，在處取得極小值，所以，(3)由(2)知函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以函數(shù)在上的最大值為與最小值為3．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)求在上的最值.【答案】(1)極大值為，極小值為；(2)最大值為4，最小值為.【解析】(1)，令，解得或，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：200極大值極小值故當(dāng)時(shí)，取得極大值，；當(dāng)時(shí)，取得極小值，；(2)由(1)可知的極大值為，極小值為，又，，因?yàn)?，所以在上的最大值?，最小值為.題型四已知最值求參數(shù)【例4】已知函數(shù)在處取得極小值，則在的最大值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，由題意可得，解得，則，，令，可得或，列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，又，，，則，所以，.故選：B.【舉一反三】1．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】，，令，解得或；令，解得.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)在處取得極小值，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取到最小值，則，由可得，可得,即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2.若函數(shù)在[0，3]上的最大值為5，則m=()A．3 B．4 C．5 D．8【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的最大值為，則.故選：C.3．已知函數(shù)在上的最大值為，則a的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，解得，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最大值為，不符合題