山西省忻州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，，，，則該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】觀察數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)，找到各項(xiàng)之間的規(guī)律，即可寫出一個通項(xiàng)公式，結(jié)合選項(xiàng)，即得答案.【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分?jǐn)?shù)部分正負(fù)相間，首項(xiàng)的分?jǐn)?shù)部分為負(fù)，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式可以為，故選：D2.已知直線，直線.若，則（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3【答案】A【解析】【分析】由直線平行的必要條件列出方程求解參數(shù)，并注意回代檢驗(yàn)是否滿足平行而不是重合.【解析】因?yàn)椋?，即，得?當(dāng)時，，，符合題意；當(dāng)時，，，，重合.故.故選：A.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合等比數(shù)列的定義，得到，即可求解.【解析】由，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.4.若數(shù)列滿足，，則（）A. B.11 C. D.【答案】D【解析】【分析】探索數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性求指定項(xiàng).【解析】因?yàn)?所以數(shù)列周期為3的數(shù)列.所以，所以，故.故選：D5.函數(shù)的極大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到答案.【解析】，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以的極大值為.故選：B.6.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)分別表示直線的斜率，可建立關(guān)于的方程，求解可得.【解析】設(shè)，，則，兩式作差得，，當(dāng)時，則中點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時，得．設(shè)線段中點(diǎn)，因?yàn)樽鴺?biāo)，且過焦點(diǎn)，所以，則的斜率，解得．故選：A.7.在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建系，求出平面的法向量為，再代入線面角的公式求解即可.【解析】因?yàn)槠矫妫荚诿鎯?nèi)，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則所以取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，所以．故選：B8.若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)遞增，所以，據(jù)此即可求解.【解析】由，得，設(shè)函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)椋?，?故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】【分析】列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，判斷A，B；根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式即可判斷C，D.【解析】設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯誤；，，C，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減B.在上單調(diào)遞增C.有2個極大值點(diǎn)D.只有1個極小值點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系一一分析即可.【解析】由圖可知，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，A，B均正確.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的極大值點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，C錯誤，D正確.故選：ABD.11.已知，在同一個坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)題意得到曲線為，直線為，再根據(jù)當(dāng)，，，時，曲線及直線的橫截距與縱截距的關(guān)系即可逐項(xiàng)判斷．【解析】因?yàn)?，所以曲線為，直線為，當(dāng)時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．12.已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有3個不等實(shí)數(shù)根，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.在上單調(diào)遞減C.的取值范圍是D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖象判斷AB，令，將問題轉(zhuǎn)化為和共有三個不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合的圖象判斷CD.【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，A正確；因?yàn)?，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，B正確；又當(dāng)趨于時，趨于，當(dāng)趨于時，趨于，當(dāng)時，，故可作的草圖如圖，令，則，即方程的兩根為，若是方程的根，則，顯然不符合題意，因?yàn)榉匠逃?個不等實(shí)數(shù)根，所以或，當(dāng)時，解得，所以，即異號，不滿足題意；當(dāng)時，即有解得，即的取值范圍為，C錯誤，D正確；故選：ABD【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)根的分布從而得到相關(guān)不等式，即可求出的范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.物體位移（單位：）和時間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，則當(dāng)時，物體的瞬時速度為______.【答案】##2.25【解析】【分析】對位移與時間的函數(shù)關(guān)系求導(dǎo)，代入即可求解.【解析】，則.故答案為：.14.已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則_______．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)弦長公式求解.【解析】設(shè)雙曲線與直線交于兩點(diǎn)，由消去整理得，則，解得，且，所以．由，解得，所以．故答案為：15.若直線是圓的一條對稱軸，則點(diǎn)與該圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為__________．【答案】1【解析】【分析】利用圓關(guān)于直線對稱可知該直線過圓心，可得，再利用定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值的求法即可求得結(jié)果.【解析】由題可知，該圓的圓心為，直線過圓心，則，解得，則該圓的方程轉(zhuǎn)化為，該圓圓心為，半徑為，易知圓心與的距離為，故點(diǎn)與該圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為．故答案為：116.在數(shù)列與中，已知，則________．【答案】1【解析】【分析】由已知計(jì)算可得為常數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.【解析】由題意知，，所以為常數(shù)列，即，所以．故答案為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）求在上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為16，最小值為.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）由（1）中信息，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上單調(diào)性，再求出最值.【小問1解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2解析】由，得或，由，得，顯然當(dāng)時，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，所以在上的最大值為16，最小值為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系式即可求得的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消求和可得【小問1解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，.符合，所以的通項(xiàng)公式為.【小問2解析】由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知直四棱柱的底面是菱形，且，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）證明：四邊形為菱形．（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，可證得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)法證明及即可.（2）運(yùn)用空間向量點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.【小問1解析】取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)榈酌媸橇庑吻遥詾榈冗吶切?，所以，又，所以，易知兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，可得，．證明：由上可得，所以，且，所以四邊形為菱形．【小問2解析】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即，取，得．又，所以點(diǎn)到平面的距離．20.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對數(shù)列兩邊取對數(shù)，再結(jié)合“累乘法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對數(shù)列，根據(jù)前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和，然后再證明不等式.【小問1解析】因?yàn)?，，且，所以，所以，?當(dāng)時，，所以.因?yàn)椋?，所?也符合上式，所以.當(dāng)時，.因?yàn)椋援?dāng)時，，所以當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，數(shù)列是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，即，所以，所以的通項(xiàng)公式為【小問2解析】因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以.因?yàn)?，，所以，?21.已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．（1）求橢圓和雙曲線的離心率；（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F作軸交雙曲線于點(diǎn)P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【答案】21.橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為22.證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)運(yùn)算求解；（2）由（1）可知，聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式分析證明.【小問1解析】橢圓的焦距，雙曲線的焦距，則，整理得，從而，，故橢圓的離心率，雙曲線的離心率．【小問2解析】由（1）可知，橢圓，因?yàn)?，所以直線的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，則，則，可得，即，因?yàn)?，，，則，，故．【小結(jié)】方法小結(jié)：與弦端點(diǎn)相關(guān)問題的解法解決與弦端點(diǎn)有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．22.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性.（2）是否存在兩個正整數(shù)，，使得當(dāng)時，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）答案見解析（2），【解析】【分析】（1）求得，分，討論的單調(diào)性.（2）將問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的值域確定，分別就分析是否滿足題意.【小