簡單線性規(guī)劃課件北師大版必修

簡單線性規(guī)劃線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支，它是指在給定線性約束條件下，求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。簡單線性規(guī)劃是指線性規(guī)劃問題中，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)。什么是線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)模型，用于解決在有限的資源條件下，如何最有效地利用這些資源來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。優(yōu)化問題線性規(guī)劃問題通常涉及優(yōu)化某個目標(biāo)函數(shù)，例如最大化利潤或最小化成本。2.線性規(guī)劃的基本要素目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題中要優(yōu)化的目標(biāo)，通常是一個關(guān)于決策變量的線性函數(shù)，表示利潤、成本、產(chǎn)量等指標(biāo)。約束條件線性規(guī)劃問題中決策變量需要滿足的限制條件，通常用線性不等式或等式表示，例如資源限制、需求限制等。決策變量線性規(guī)劃問題中需要確定的變量，通常表示生產(chǎn)量、投資額、運(yùn)輸量等，是模型的核心。目標(biāo)函數(shù)定義目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃問題中要優(yōu)化的表達(dá)式，它反映了決策變量的線性組合。作用目標(biāo)函數(shù)用于衡量決策方案的優(yōu)劣程度，例如利潤最大化、成本最小化等。形式目標(biāo)函數(shù)通常表示為決策變量的線性組合，系數(shù)表示每個變量對目標(biāo)函數(shù)的影響程度。約束條件資源限制約束條件代表問題中的限制因素，例如，生產(chǎn)資源、時間或預(yù)算等。數(shù)學(xué)表達(dá)約束條件通常以線性不等式或等式表示，反映了問題中可用的資源限制。線性規(guī)劃問題的一般形式1目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃問題需要最大化或最小化的函數(shù)，表示決策變量的線性組合。2約束條件約束條件是線性不等式或等式，限制決策變量的取值范圍，確保決策方案的可行性。3決策變量決策變量是需要確定其最優(yōu)值的未知數(shù)，代表著決策方案中需要選擇的方案。線性規(guī)劃問題的一般形式最大化目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題通常涉及找到最大利潤、最小成本或最大效率等目標(biāo)。最小化目標(biāo)函數(shù)通過最小化成本、風(fēng)險或資源消耗來實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目標(biāo)。線性規(guī)劃問題的一般形式1目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)代表了我們希望最大化或最小化的目標(biāo)，例如利潤、成本或資源使用量。2約束條件約束條件限制了決策變量的取值范圍，例如資源限制、生產(chǎn)能力限制或市場需求限制。4.線性規(guī)劃的解可行解滿足所有約束條件的解稱為可行解。最優(yōu)解在所有可行解中，使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的解稱為最優(yōu)解?？尚薪鉂M足約束條件可行解是指滿足線性規(guī)劃問題中所有約束條件的解。它表示在問題限制范圍內(nèi)，所有可能的解集?？尚杏蚩尚薪鈽?gòu)成的區(qū)域被稱為可行域?？尚杏蚴嵌嗑S空間中滿足所有約束條件的點(diǎn)集合。尋找最優(yōu)解線性規(guī)劃問題的目標(biāo)是找到可行域中的一個點(diǎn)，使得目標(biāo)函數(shù)的值最大化或最小化。線性規(guī)劃的解可行解滿足所有約束條件的解稱為可行解?？尚薪馐蔷€性規(guī)劃問題的基本解，它代表所有可能的方案。最優(yōu)解在所有可行解中，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的解稱為最優(yōu)解。最優(yōu)解是線性規(guī)劃問題的最終目標(biāo)，它代表最佳方案。5.幾何解釋線性規(guī)劃問題可以用幾何圖形來表示?？尚薪饧梢杂靡粋€多面體來表示，而最優(yōu)解則對應(yīng)著該多面體上的一點(diǎn)。該點(diǎn)的坐標(biāo)即為最優(yōu)解的解向量。目標(biāo)函數(shù)11.優(yōu)化目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)表示要優(yōu)化的目標(biāo)，例如最大化利潤或最小化成本。22.線性關(guān)系目標(biāo)函數(shù)中的變量之間必須具有線性關(guān)系，可以用一個線性方程來表示。33.系數(shù)每個變量的系數(shù)代表了該變量對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)程度。約束條件定義約束條件是線性規(guī)劃問題中限制變量取值的條件。形式約束條件通常表示為線性不等式或等式，它們定義了可行解區(qū)域的邊界。作用約束條件確保了模型的實(shí)際意義，限制了變量取值范圍，避免出現(xiàn)不切實(shí)際的解。最優(yōu)解最優(yōu)解是指滿足所有約束條件的目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的解。線性規(guī)劃的幾何解釋可以幫助理解最優(yōu)解的概念。最優(yōu)解在可行域的邊界點(diǎn)上，且目標(biāo)函數(shù)在這個點(diǎn)上取得最大值或最小值。6.單純形法求解1基本思想從一個可行解出發(fā)2迭代過程逐步尋找更優(yōu)解3最優(yōu)解直到找到最優(yōu)解單純形法是一種常用的求解線性規(guī)劃問題的方法。通過迭代過程，在可行域中尋找最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最大化或最小化。單純形法的基本思想從可行域頂點(diǎn)出發(fā)單純形法從可行域的一個頂點(diǎn)開始。然后沿著目標(biāo)函數(shù)值增大的方向移動到另一個頂點(diǎn)。迭代優(yōu)化不斷重復(fù)這個過程，直到找到一個最優(yōu)解。最優(yōu)解位于可行域的某個頂點(diǎn)。迭代過程初始可行解從初始可行解出發(fā)，找到一個新的基本可行解。最優(yōu)解判斷判斷當(dāng)前解是否是最優(yōu)解，如果是，則算法結(jié)束。更新可行解如果當(dāng)前解不是最優(yōu)解，則更新可行解，繼續(xù)迭代過程。7.單純形法的步驟1構(gòu)造初始可行解選擇初始基變量，確定初始單純形表。2判斷是否最優(yōu)檢查目標(biāo)函數(shù)系數(shù)是否非負(fù)，若是非負(fù)，則當(dāng)前解為最優(yōu)解。3更新可行解選擇進(jìn)基變量和出基變量，進(jìn)行迭代操作，直到找到最優(yōu)解。單純形法通過迭代過程不斷優(yōu)化可行解，最終找到最優(yōu)解。構(gòu)造初始可行解可行域可行域是滿足所有約束條件的點(diǎn)集。初始可行解是可行域內(nèi)的任何一個點(diǎn)。單純形表單純形表是用于記錄線性規(guī)劃問題的系數(shù)和解的表格。初始可行解對應(yīng)于單純形表的第一行。頂點(diǎn)可行域的頂點(diǎn)是滿足多個約束條件的點(diǎn)。初始可行解通常從可行域的頂點(diǎn)開始。判斷是否最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)檢查當(dāng)前可行解的目標(biāo)函數(shù)值是否已達(dá)到最大值或最小值，取決于問題的目標(biāo)是最大化還是最小化。約束條件驗(yàn)證當(dāng)前可行解是否滿足所有約束條件。單純形表檢查單純形表中所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)，如果所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)（最大化問題）或非正（最小化問題），則當(dāng)前解為最優(yōu)解。更新可行解1選擇入基變量找到目標(biāo)函數(shù)系數(shù)最小的非基變量，將其作為入基變量。2選擇出基變量根據(jù)最小比值規(guī)則，確定出基變量，將其從基變量集合中移除。3更新基變量矩陣?yán)酶咚瓜?，更新基變量矩陣，得到新的可行解?重復(fù)迭代過程重復(fù)上述步驟，直到找到最優(yōu)解，或判定無解。8.應(yīng)用實(shí)例生產(chǎn)問題工廠生產(chǎn)多種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品需要不同原材料和生產(chǎn)時間。目標(biāo)是最大化利潤，約束條件是原材料供應(yīng)和生產(chǎn)時間限制。運(yùn)輸問題將貨物從多個倉庫運(yùn)送到多個零售店，每個倉庫和零售店都有不同的庫存和需求。目標(biāo)是最小化運(yùn)輸成本，約束條件是庫存和需求限制。生產(chǎn)問題資源分配生產(chǎn)問題通常涉及如何有效分配有限的資源，例如原材料、勞動力和機(jī)器。利潤最大化目標(biāo)是最大化利潤，通過優(yōu)化生產(chǎn)計劃以生產(chǎn)盡可能多的盈利產(chǎn)品。約束條件約束條件包括生產(chǎn)能力、原材料供應(yīng)、市場需求和預(yù)算限制。運(yùn)輸問題優(yōu)化貨物配送在多個倉庫和多個客戶之間分配貨物，以最小化運(yùn)輸成本。路線規(guī)劃尋找最優(yōu)路線，以確保貨物以最低成本和最短時間內(nèi)送達(dá)目的地。資源分配有效分配運(yùn)輸資源，例如車輛、駕駛員和倉庫，以滿足需求。投資問題投資組合優(yōu)化線性規(guī)劃可以幫助投資者優(yōu)化投資組合，最大化收益并最小化風(fēng)險。投資策略規(guī)劃線性規(guī)劃可用于制定投資策略，例如確定最佳的資產(chǎn)配置和投資期限。市場分析與預(yù)測線性規(guī)劃可以幫助分析市場趨勢，預(yù)測未來收益率，并制定更明智的投資決策。9.靈敏度分析目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的影響分析目標(biāo)函數(shù)系數(shù)微小變化對最優(yōu)解的影響，了解目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的敏感程度。約束條件右端常數(shù)變化的影響研究約束條件右端常數(shù)的變化對最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響，判斷約束條件的敏感程度。靈敏度分析的意義幫助決策者評估模型參數(shù)的變化對最終結(jié)果的影響，提高決策的可靠性和有效性。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的靈敏度分析系數(shù)變化影響分析目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化對最優(yōu)解的影響。范圍確定確定目標(biāo)函數(shù)系數(shù)在哪個范圍內(nèi)變化，最優(yōu)解不變。敏感度分析方法通過單純形表計算，確定系數(shù)變化范圍。約束條件右端常數(shù)的靈敏度分析定義分析約束條件右端常數(shù)變化對最優(yōu)解的影響，即在目標(biāo)函數(shù)和其余約束條件保持不變的情況下，僅改變某一個約束條件右端常數(shù)，觀察最優(yōu)解和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的變化。應(yīng)用在實(shí)際應(yīng)用中，由于各種因素的影響，約束條件右端常數(shù)可能發(fā)生變化，例如生產(chǎn)資源的可用量變化、市場需求的變化等，因此靈敏度分析可以幫助決策者了解這些變化對最優(yōu)解的影響，從而做出更合理的決策。10.單純形法的計算機(jī)實(shí)現(xiàn)1數(shù)據(jù)輸入將線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為計算機(jī)可識別的格式，例如矩陣或向量。2算法設(shè)計實(shí)現(xiàn)單純形法的算法，包括迭代過程、可行解更新和最優(yōu)解判斷等步驟。3結(jié)果輸出輸出最優(yōu)解和相關(guān)信息，例如目標(biāo)函數(shù)值、決策變量的值以及靈敏度分析結(jié)果。數(shù)據(jù)輸入1目標(biāo)函數(shù)系數(shù)用戶需要輸入目標(biāo)函數(shù)中每個變量的系數(shù)。2約束條件系數(shù)用戶需要輸入每個約束條件中每個變量的系數(shù)。3約束條件右端常數(shù)用戶需要輸入每個約束條件的右端常數(shù)。4變量類型用戶需要指定每個變量是連續(xù)變量還是離散變量。算法設(shè)計單純形法單純形法是一種經(jīng)典的線性規(guī)劃求解算法。迭代過程通過不斷迭代，找到最優(yōu)解，同時保證可行性。代碼實(shí)現(xiàn)將算法步驟轉(zhuǎn)化為計算機(jī)程序代碼，方便進(jìn)行求解。結(jié)果輸出最優(yōu)解輸出最優(yōu)解的值，以及對應(yīng)決策變量的值。敏感度分析輸出目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件右端常數(shù)的靈敏度分析結(jié)果?？梢暬蛇x地，可以使用圖表或圖形來顯示最優(yōu)解和敏感度分析結(jié)果。報告將所有結(jié)果整理成一份清晰易懂的報告，方便用戶理解。總結(jié)線性規(guī)劃是一個強(qiáng)大的工具，可以用來解決各種優(yōu)化問題。它已被廣泛應(yīng)用于商業(yè)、工程、科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域。線性規(guī)劃的建模問題識別首先要明確問題，確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件。例如，生產(chǎn)計劃問題中，目標(biāo)函數(shù)可能是利潤最大化，約束條件可能是資源限制和市場需求。變量定義將問題中的未知量用變量表示，例如，生產(chǎn)計劃問題中，可以定義每個產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量作為變量。模型建立根據(jù)問題和變量定義，建立數(shù)學(xué)模型，包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件的表達(dá)式。模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院涂尚行裕_保模型能夠準(zhǔn)確反映問題。求解方法單純形法