第08講 含30度直角三角形與斜邊上的中線（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)

第08講含30度直角三角形與斜邊上的中線重難點(diǎn)：含30度角的直角三角形的性質(zhì)定理和直角三角形斜邊上中線的發(fā)現(xiàn)與證明一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．二．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來(lái)判定直角三角形．一．含30度角的直角三角形（共13小題）1．（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，小明沿傾斜角∠ABC＝30°的山坡從山腳B點(diǎn)步行到山頂A，共走了500m，則山的高度AC是250m．【分析】利用直角三角形中，30°的內(nèi)角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可直接求解．【解答】解：由題意得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝500m，∴AC＝AB＝250m，即山的高度AC是250m，故答案為：250m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30°角的直角三角形，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?泰州月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8【分析】根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再根據(jù)垂線段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范圍，從而得解．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∵點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴2＜AP＜4，∴AP的值不可能是1.8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，垂線段最短，熟記性質(zhì)并求出AP的取值范圍是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?興化市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，則AD長(zhǎng)是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BDC＝30°，進(jìn)而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠A＝15°，∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，∴AD＝BD，在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝8＝AD，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)熟記解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?無(wú)錫期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB邊上的高．若AB＝10，則CD＝5．【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出CD長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝10，AB＝AC，∴AC＝10，∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．5．（2022秋?溧水區(qū)期末）證明：直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．證明：取AB的中點(diǎn)D，連接CD，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，得到△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．證明：取AB的中點(diǎn)D，連接CD，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．故答案為：∠A＝30°．BC＝AB．取AB的中點(diǎn)D，連接CD，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6．（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】作輔助線來(lái)溝通各角之間的關(guān)系，首先求出△BMA與△CNA是等腰三角形，再證明△MAN為等邊三角形即可．【解答】解：連接AM，AN，∵AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC，∵BC＝15cm，∴MN＝5cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線段的垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于H，連接DF，設(shè)AF＝x，則BF＝4﹣x，結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得關(guān)于x的不等式，計(jì)算可求解AF的最小值，進(jìn)而可求得BF的最大值．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于H，連接DF，設(shè)AF＝x，則BF＝8﹣x，∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝4，∴AB＝8，∴FH＝BF＝4﹣x，∴x≥4﹣x，解得x≥，∴AF最小值為，BF的最大值為8﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半以及圓與直線的位置關(guān)系，將BF的最大值轉(zhuǎn)化為AF最小是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題．8．（2022秋?東臺(tái)市期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，D是BC上一點(diǎn)，BD＝3，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，則線段AE＝2．【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，∵BD＝3，∴EB＝2BD＝6，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．9．（2022秋?南通期末）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AH的長(zhǎng)，進(jìn)一步可得BH的長(zhǎng)，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，∠APB＝90°；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠BAP＝90°時(shí)，分別求解即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴AH＝cm，根據(jù)勾股定理，得BH＝3cm，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，∠APB＝90°，此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3÷1＝3（s），②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠BAP＝90°時(shí)，∵∠B＝30°，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理，得AP2+AB2＝（2AP）2，解得AP＝2cm，∴BP＝4cm，此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4÷1＝4（s），綜上所述，滿足條件的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有3s或4s，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．10．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)P在邊AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分別為D、E，設(shè)PA＝x，若用含x的式子表示AE的長(zhǎng)，正確的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1 D．2+x【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵PA＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．11．（2022秋?興化市校級(jí)月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝16，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝4，則OM＝6．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OB，垂足為D，根據(jù)垂直定義可得∠PDO＝90°，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠OPD＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得OD＝8，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得DM＝2，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OB，垂足為D，∴∠PDO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝90°﹣∠AOB＝30°，∵OP＝16，∴OD＝OP＝8，∵PM＝PN，PD⊥MN，∴DM＝MN＝2，∴OM＝OD﹣DM＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?江寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝10，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝4．【分析】作PH⊥MN于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，則根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得OH＝OP＝5，然后計(jì)算OH﹣MH即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，如圖，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝×10＝5，∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．13．（2022秋?漣水縣期中）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在OA邊上，OP＝12cm，點(diǎn)EF在邊OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，則OE＝5cm．【分析】過(guò)P作PD⊥OB于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件求出ED，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OD，再求出答案即可．【解答】解：過(guò)P作PD⊥OB于D，∵PE＝PF，EF＝2cm，∴ED＝FD＝1（cm），∵PD⊥OB，∴∠PDO＝90°，∵∠POB＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP，∵OP＝12cm，∴OD＝6（cm），∴OE＝OD﹣ED＝5（cm），故答案為：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30°，那么這個(gè)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．二．直角三角形斜邊上的中線（共10小題）14．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中點(diǎn)，則∠BCD＝36°．【分析】由“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”得到∠B＝36°，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到CD＝BD，則等邊對(duì)等角，即∠BCD＝∠B＝36°．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝36°，∵D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝36°．故答案是：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．15．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）若直角三角形斜邊上的高是3，斜邊上的中線是6，則這個(gè)直角三角形的面積是18．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可求出斜邊長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵直角三角形斜邊上的中線是6，∴斜邊長(zhǎng)＝2×6＝12，∵直角三角形斜邊上的高是3，∴這個(gè)直角三角形的面積＝×12×3＝18，故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的面積，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為5和12，則斜邊上的中線長(zhǎng)是．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：由勾股定理得：直角三角形的斜邊長(zhǎng)＝＝13，則斜邊上的中線長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?興化市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的長(zhǎng)度．【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（2）利用直角三角形中三十度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得出．【解答】（1）證明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴△BFC與△BEC都為直角三角形，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴FM、EM為斜邊BC的中點(diǎn)，∴，，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，∴CE＝＝＝5（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．【分析】（1）連接DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF＝AB＝BF，進(jìn)而證明DC＝DF，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠FDB＝2∠DFC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：（1）連接DF，∵AD是邊BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，則∠BED的度數(shù)為（）A．118° B．108° C．120° D．116°【分析】根據(jù)已知條件可以判斷EA＝EB＝EC＝DE，根據(jù)三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝116°．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴EA＝EB＝EC＝DE，∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×58°＝116°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊中線定理和三角形外角定理的運(yùn)用，掌握基本定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?江都區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB的中點(diǎn)，若CD＝2cm，則AB＝4cm．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴AB＝2CD，∵CD＝2cm，∴AB＝4cm故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線21．（2022秋?徐州期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接BE、BD、DE．（1）求證：△BED是等腰三角形；（2）當(dāng)∠BAD＝30°時(shí)，△BED是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，進(jìn)而得出答案；（2）利用等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出∠DEB＝∠DAB，即可得出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)（已知），∴BE＝AC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．同理，DE＝AC，∴BE＝DE（等量代換），∴△BED是等腰三角形（等腰三角形的定義）；（2）∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠EDA，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，∠EAB+∠EBA＝∠BEC，∴∠DAB＝∠DEB，∵△BED是等邊三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠BAD＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出∠DEB＝∠DAB是解題關(guān)鍵．22．（2022秋?南京期末）如圖，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中點(diǎn)．（1）求證：DE＝CE；（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DE＝AB和CE＝AB即可；（2）求出∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，求出∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DEA和∠CEB，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，∴DE＝AB，CE＝AB，∴DE＝CE；（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，能熟記直角三角形斜邊上中線性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．23．（2022秋?常州期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，CE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)連接DF、EF．（1）求證：DF＝EF；（2）連接DE，若AC＝2，ED＝1．①判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；②＝．【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證DF＝EF；（2）①由（1）EF、DF求出長(zhǎng)度都為1，由等邊三角形的定義即可證明；②利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理可求∠B＝60°，在用“直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求出比值．【解答】（1）證明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AEC＝90°，∠ADC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∴，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∴，∴EF＝DF；（2）解：①等邊三角形，理由如下：連接DE，由（1）知，，∵ED＝1，∴ED＝EF＝DF，∴△DEF是等邊三角形；②由（1）得EF＝AF，∴∠AEF＝∠EAF，同理可證：∠CDF＝∠DCF，∵△DEF是等邊三角形，∴∠BED+∠AEF＝120°，∠BDE+∠CDF＝120°，∴∠BED+∠EAF＝120°，∠BDE+∠DCF＝120°，∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF＝240°，∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，∵∠B+∠EAF+∠DCF＝180°，∵∠EAF+∠DCF＝180°﹣∠B，∴180°﹣∠B+180°﹣∠B＝240°，∴∠B＝60°，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共7小題）1．（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠A＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得CD＝，再由三角形的性質(zhì)得到∠DCA＝∠A＝20°，再由∠BCA＝90°，即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝，∴∠DCA＝∠A＝20°，∴∠BCD＝90°﹣∠DCA＝70°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，CE是斜邊AB上的中線，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，則△ABC的面積是（）A．24 B．25 C．30 D．36【分析】利用在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB＝12，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：∵CE是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CE＝2×6＝12，∴S△ABC＝×CD×AB＝×5×12＝30，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）3．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE＝4，若點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，即可求得MN的最小值為3．【解答】解：如圖，連接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣2＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，明確C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?宿城區(qū)期中）如圖所示，公路AC、BC互相垂直，點(diǎn)M為公路AB的中點(diǎn)，為測(cè)量湖泊兩側(cè)C、M兩點(diǎn)間的距離，若測(cè)得AB的長(zhǎng)為6km，則M、C兩點(diǎn)間的距離為（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C兩點(diǎn)間的距離為3km，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，能熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．5．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．12 B．30 C．27 D．32【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF與CF的長(zhǎng)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AB＝26，∴DF＝CF＝AB＝×26＝13，∴△CDF是等腰三角形．∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，CD＝24，∴EF⊥CD，DE＝CD＝12．在Rt△DEF中，DE＝＝＝5，∴△DEF的周長(zhǎng)為：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線，熟知在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝2.5，AB的長(zhǎng)為（）A．2.5 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)（直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半）解決此題．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝．∴AB＝2CD＝2×2.5＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點(diǎn)，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí)，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng)，則下滑過(guò)程中OP的長(zhǎng)度變化情況是（）A．逐漸變大 B．不斷變小 C．不變 D．先變大再變小【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，可得OP＝AB，即可解答．【解答】解：∵P是AB的中點(diǎn)，∠AOB＝90°，∴OP＝AB，∵木桿AB的長(zhǎng)固定，∴OP的長(zhǎng)度不變，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）8．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，則S△ABC＝16．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD＝AB＝4，利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，∵AB＝AC＝8，∠A＝30°，∴BD＝AB＝4，∴S△ABC＝AC?BD＝×8×4＝16．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm．以點(diǎn)A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則AD長(zhǎng)為8cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得AB，利用同圓的半徑相等求得AD＝AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm，∴AB＝2BC＝8cm．∵以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∴AD＝AB＝8cm，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，正確利用上述性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?興化市月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，則AB＝4．【分析】利用含30°角的直角三角形性質(zhì)可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2020秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，若AB＝10，則CD＝5．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB，再求出答案即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴CD＝AB，∵AB＝10，∴CD＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．12．（2021秋?沭陽(yáng)縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，CD＝1，則BC的長(zhǎng)為3．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，求出∠CAD＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AD＝2CD，求出AD即可．【解答】解：∵邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝60°，∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝2CD＝BD，∵CD＝1，∴BD＝2，∴BC＝1+2＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)定理求出AD＝BD和AD＝2CD是解此題的關(guān)鍵．13．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且AB＝6，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿射線AN運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是12或3秒秒時(shí)，△ABC是直角三角形．【分析】需要分類討論：∠ABC＝90°和∠ACB＝90°兩種情況解答．【解答】解：當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，∠CAB＝∠MAN＝60°，則∠ACB＝90°﹣60°＝30°．∵AB＝6，∴AC＝2AB＝12．∴t＝12÷1＝12（秒）；當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，∠CAB＝∠MAN＝60°，則∠ABC＝90°﹣60°＝30°．∵AB＝6，∴AC＝AB＝3．∴t＝3÷1＝3（秒）；綜上所述，當(dāng)t＝12或3秒時(shí)，△ABC是直角三角形．故答案為：12或3秒．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，能熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．14．（2022秋?海安市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD＝1．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DE＝EC＝CD＝2．由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出BE＝AB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝1．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝EC＝CD＝2．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BE＝AB＝×6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線求出BE與DE是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）15．（2022秋?揚(yáng)州期中）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE＝3，求CD的長(zhǎng)．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及線段的和差推出BE＝2，∠ABC＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠BEF＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)推出BF＝BE＝1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，∵△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為1，AE＝3，∴BE＝AE﹣AB＝2，∠ABC＝60°，∵EF⊥CD，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BF＝BE＝1，∴CF＝BF+BC＝2，∵ED＝EC，EF⊥CD，∴DF＝CF＝2，∴CD＝DF+CF＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中線，DG垂直平分CE．（1）求證：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度數(shù)．【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線可得DE＝AB＝BE＝AE，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DE＝DC，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE，即可求解．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中線，∴DE＝AB＝BE＝AE，∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∴CD＝AE；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝25°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于E，D為垂足，連接BE．（1）若∠ABC＝75°，求∠AED的度數(shù)；（2）若AB＝6cm，△BCE的周長(zhǎng)是11cm，求BC的長(zhǎng)度．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠ABC＝75°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A的度數(shù)，由DE垂直平分AB，得出∠ADE＝90°，即可得出∠AED的度數(shù)；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA＝EB，根據(jù)△BCE的周長(zhǎng)是11cm可得BC+AC＝11cm，然后根據(jù)AB＝AC＝6cm可得BC的長(zhǎng)度．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠ABC＝75°，∴∠C＝∠ABC＝75°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°；（2）解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴△BCE的周長(zhǎng)為：BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝11cm，∵AB＝AC＝6cm，∴BC＝11﹣6＝5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）證明：直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．【分析】由命題寫出已知，求證；延長(zhǎng)BC到E，使BE＝AB，連接AE，證明△ABE是等邊三角形，應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題．【解答】已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．求證：．證明：延長(zhǎng)BC到E，使BE＝AB，連接AE，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∵AC⊥BE，∴EC＝BC，∴BC＝BE，∴，∴直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．【點(diǎn)評(píng)】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是延長(zhǎng)BC到E，使BE＝AB，連接AE，構(gòu)造等邊三角形，注意寫出已知，求證．19．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，求∠DME的度數(shù)；（3）猜想∠DME與∠A之間的關(guān)系，并證明你的猜想．【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形性質(zhì)、平角的定義求解即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N為DE中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°；（3）解：∠DME＝180°﹣2∠A，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，可得CD＝BD＝AD，再證明△BCD是等邊三角形，即可證明結(jié)論．【解答】證明：作斜邊AB上的中線CD，則CD＝BD＝AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．BC＝BD＝CD．∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD＝AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30度角的直角三角形，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．21．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）證明命題：直角三角形30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半，請(qǐng)寫已知，求證，并證明．已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；求證：BC＝AB；證明過(guò)程：延長(zhǎng)BC到D，使CD＝BC，連接AD，∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB．．【分析】延長(zhǎng)BC到D，使CD＝BC，連接AD，求出△ADB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BD＝AB，即可得出答案．【解答】已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求證：BC＝AB，證明：延長(zhǎng)BC到D，使CD＝BC，連接AD，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB，故答案為：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；BC＝AB；延長(zhǎng)BC到D，使CD＝BC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．一．選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以頂點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點(diǎn)D、E為圓心、以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若BG＝1，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則A．無(wú)法確定 B．12 C．1 【分析】利用三角形的面積公式求出GC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及垂線段最短解決問(wèn)題即可．【解答】解：由尺規(guī)作圖步驟可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∴CG=12BG∴點(diǎn)G到AB的距離等于GC，∴GP的最小值為12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．2．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長(zhǎng)為（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DE＝EC=12CD＝2．由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出BE=12AB＝3，那么BD＝【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝EC=12在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BE=12AB∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線求出BE與DE是解題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)，若BC＝23，則CE的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C．52 【分析】由角平分線的性質(zhì)推出∠CBD＝∠DBA＝30°，然后在Rt△BCD中，CE=12BD，即可求出【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∵BC＝23，∴CD＝2∴BD＝2CD＝4，∵E點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，∴CE=12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝10，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作PH⊥MN于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出MH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OH，計(jì)算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH=12∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH=12∴OM＝OH﹣MH＝4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知∠ACB＝60°，PC＝12，點(diǎn)M，N在邊CB上，PM＝PN．若MN＝3，則CM的長(zhǎng)為（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】首先過(guò)點(diǎn)P作PD⊥CB于點(diǎn)D，利用直角三角形中30°所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出CM的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥CB于點(diǎn)D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形中30°所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)以及等腰三角形的性質(zhì)，得出CD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、A不重合），設(shè)點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接MC、MF．若∠CBA＝50°，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠CMF的大小為（）A．80° B．100° C．130° D．發(fā)生變化，無(wú)法確定【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MC＝MB＝ME，MF＝MB＝ME，得到MB＝MC＝ME＝MF，證明結(jié)論，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn)，∴MC＝BF，即MC＝MB＝ME，∵EF⊥AB，點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn)，∴MF＝BF，即MF＝MB＝ME，∴MB＝MC＝ME＝MF，∴點(diǎn)B、C、E、F在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上；∴∠CMF＝2∠CBA＝100°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．12 B．9 C．6 D．3【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠A，根據(jù)余角的定義求出∠ACD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AD＝3，∴AC＝2AD＝6，∴AB＝2AC＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是含30度角的直角三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AC＝2AD，AB＝2AC．8．如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測(cè)得AB的長(zhǎng)為3.6km，則M、C兩點(diǎn)間的距離為（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求解．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M(jìn)點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，AB＝3.6km，∴CM=12AB＝1.8故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD，若CD＝5，BE＝4，則AC＝．【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出AB＝10，由三角形中位線定理得出BC＝2BE＝8，由勾股定理求出AC＝6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴E是BC的中點(diǎn)，AB＝2CD＝10，∴BC＝2BE＝8，∴AC=AB故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．10．一副三角板按如圖所示的位置擺放，△BDE的直角邊BD恰好經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)M，BE交AC于點(diǎn)F，則∠BFM＝°．【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出AB＝10，由三角形中位線定理得出BC＝2BE＝8，由勾股定理求出AC＝6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴E是BC的中點(diǎn)，AB＝2CD＝10，∴BC＝2BE＝8，∴AC=AB故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CD＝6，則AB＝．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CD＝6，∴AB＝2CD＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN＝．【分析】連接AM、AN，由等腰三角形的性質(zhì)得∠B＝∠C＝30°，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得BM＝AM，CN＝AN，然后由等腰三角形的在得∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，證△AMN是等邊三角形，得MN＝AM＝AN，則MN＝BM＝CN，即可求解．【解答】解：連接AM、AN，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C=1∵M(jìn)E垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴∠AMN＝∠ANM，∴△AMN是等邊三角形，∴MN＝AM＝AN，∴MN＝BM＝CN，∴MN=13故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，證明△AMN為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD＝BC，連接CD，若AC＝2，則CD的長(zhǎng)為．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解∠ACB＝∠A＝30°，再證明△BCD為等邊三角形，可求得∠ACD＝90°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AD＝2CD，再利用勾股定理可求解CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝60°，∵BD＝BC，∴△BCD為等邊三角形，∴∠D＝∠BCD＝60°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝