概率論完整版本

第一章隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件一、基本概念

1．隨機(jī)現(xiàn)象：預(yù)先不能斷定結(jié)果的現(xiàn)象（有多種結(jié)果）投擲硬幣、抽取牌張、觀察天氣、測(cè)量潮位、射擊目標(biāo)、顧客到來、考試排座、交通事故

2．隨機(jī)試驗(yàn)：對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或觀察，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。有的是人為設(shè)置，有的是必須經(jīng)歷。

通常所指的試驗(yàn)具有以下2個(gè)特征：

（1）可以重復(fù)進(jìn)行；

（2）事先明確所有基本結(jié)果

3．隨機(jī)事件：試驗(yàn)的某種結(jié)果，事前不能確定，事后可觀察到是否發(fā)生，簡(jiǎn)稱事件（是個(gè)判斷句）以、、，…等表示。

例1教師任取一個(gè)學(xué)號(hào)（隨機(jī)），請(qǐng)對(duì)應(yīng)的學(xué)生回答問題，站起來的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼鏡的學(xué)生”，“是穿紅衣服的學(xué)生”，“是高個(gè)子”，“是體重在60公斤以上的”“是叫張華的學(xué)生”——這些都是隨機(jī)事件。

4．基本事件：不能再分解的“最簡(jiǎn)單”的事件，試驗(yàn)中各種最基本的可能結(jié)果。

例2在52張撲克牌中，任取一張，=“抽到

”，=“抽到K”都是事件，其中可分解為13個(gè)最基本的結(jié)果，可分解為4個(gè)。

5．樣本點(diǎn)：即基本事件，記為。隨機(jī)事件是某些基本事件（樣本點(diǎn)）構(gòu)成的集合。

6．樣本空間：樣本點(diǎn)的全體，即全集，記為Ω。如投幣：Ω={正，反}抽牌：Ω=隨機(jī)事件都是樣本空間的子集。例1中抽到任何一張

，都認(rèn)為已發(fā)生，類似地，抽到任何一張牌，都認(rèn)為Ω已發(fā)生。7．必然事件：試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，即Ω。如投幣：Ω=“正面朝上或反面朝上”。抽牌：Ω=“抽到一張牌”。8．不可能事件：試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，是一個(gè)空集，記為。如投幣：=“正面朝上且反面朝上”。抽牌：=“抽到一張電影票”。

例3在一批燈泡里，任取一只測(cè)試它的壽命（1000～3000小時(shí)）：（1）試述一個(gè)事件；（2）指出一個(gè)樣本點(diǎn)；（3）指出樣本空間。二、事件的關(guān)系與運(yùn)算

事件是集合，可以進(jìn)行集合的運(yùn)算，要求除了會(huì)用集合的語言表述外，還要會(huì)用事件的語言表述，并且著重于后者。

1．包含關(guān)系

（或）

集合語言：A中的樣本點(diǎn)，全在內(nèi)。

事件語言：若發(fā)生，則必發(fā)生。（如“抽到

”“抽到紅牌”）

2．相等關(guān)系

=（且）：、是同一個(gè)事件。

3．事件的和

=+：、至少有一個(gè)發(fā)生（發(fā)生或發(fā)生）

如：“抽到紅牌”=“抽到

”+“抽到紅桃”

++：、、至少有一個(gè)發(fā)生。

4．事件的積

=：、同時(shí)發(fā)生（發(fā)生且發(fā)生）

5．互不相容事件（簡(jiǎn)稱不相容）

若=，則稱、互不相容，即、不能同時(shí)發(fā)生

6．逆事件（對(duì)立事件）：不發(fā)生顯然=（不相容）且+=（完備）

例4生產(chǎn)加工三個(gè)零件，表示第個(gè)零件實(shí)在正品

（1）：沒有一個(gè)零件是次品，全是正品

（2）：只有第一個(gè)是次品

（3）恰有一個(gè)是次品：++（是否等于？）

（4）至少有一個(gè)是次品：++（是否等于？）

事件的語言見P7的表格§1.2事件的概率一、古典概型概率即可能性大?。菏录嗀的概率記為投幣時(shí)，出現(xiàn)正、反面的可能性相同，各為50%，故（正）=0.5,（反）=0.5若試驗(yàn)滿足以下條件：（1）樣本空間中的元素（樣本點(diǎn)）有限：（2）基本事件發(fā)生的可能性相同：則稱之為古典概型，古典概型的概率很容易計(jì)算上節(jié)例1中抽到

和抽到K的概率分別是

（注）此處關(guān)心的是基本事件的個(gè)數(shù)，而不是具體的哪些基本條件。

例1在52張撲克中，抽2張，“抽到的都是

”，求

解：這里樣本點(diǎn)總數(shù)是（注）同時(shí)抽兩張于無放回的先后抽2張，效果是一樣的（對(duì)不講次序的事件）有放回的抽取以后在分析例2從一批9個(gè)正品，3個(gè)次品的產(chǎn)品中，依次任取5件，求概率

（1）=“恰有兩件次品”，

（2）=“至少有一件次品”，

（3）=“至少有2件次品”（分為二件與三件次品的計(jì)算）

解：

二、概率的性質(zhì)

1．

2．，3．可加性（加法定理）

（點(diǎn)擊見圖1>>）

、不相容時(shí)，，

、、兩兩不相容時(shí)，

4．

5．若，則（單調(diào)性）三、概率的統(tǒng)計(jì)定義

1．古典概型的局限性

例如任選一人測(cè)量體重（樣本點(diǎn)無限）或投擲不均勻的股子（可能性不均等），都無法用古典概型計(jì)算概率，即使是古典概型，也有計(jì)算難以進(jìn)行的時(shí)候。

2．概率的背景

說某人射擊命中目標(biāo)的概率為0.7，這個(gè)0.7是怎么得來得呢?是來自于以往大量的射擊實(shí)踐，比如他曾有過100次射擊經(jīng)歷，其中命中70次，射擊次數(shù)越多，這個(gè)概率就越可靠?？梢姼怕实谋澈笥写罅康脑囼?yàn)，這是支撐概率的條件。

3．統(tǒng)計(jì)規(guī)律

一般地，隨機(jī)現(xiàn)象在一次試驗(yàn)中，無法斷言其結(jié)果，但經(jīng)過大量的試驗(yàn)會(huì)呈現(xiàn)某種規(guī)律性（如頻率穩(wěn)定性），這叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率的實(shí)質(zhì)就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可能性大小要與大量的試驗(yàn)相聯(lián)系。

4．概率的統(tǒng)計(jì)定義

為了研究事件的概率，在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，若出現(xiàn)（發(fā)生）了次，則稱為事件的頻率。理論和試驗(yàn)都表明，當(dāng)充分大時(shí)，頻率具有穩(wěn)定性（穩(wěn)定于某個(gè)數(shù)值），因此定義：理論證明見第五章，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見P9表格，在這一定義下，概率的性質(zhì)依舊（證明略，自閱P8）。

5．概率的統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)

⑴從概率的來源看，概率取值需要有統(tǒng)計(jì)的支撐

如果一個(gè)從來未打過槍的人，聲稱他的命中率為0.7，那么他不是在吹牛，便是對(duì)概率一無所知，或者僅是開玩笑而已。類似的例子很多，比如“明天下雨的可能性是60%”，同樣一句話，出自于氣象部門，往往背后有大量的統(tǒng)計(jì)資料，而出自于其他人，則是一句不必負(fù)責(zé)任的空話、套話。⑵從概率值對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)意義看，也需要面對(duì)統(tǒng)計(jì)的過程

還是以射擊為例。命中率0.7，對(duì)于一次射擊意義不大，因?yàn)?.7不能保證命中，即使打不中，也不能否定這個(gè)0.7。概率等于0.7的意義在于：若做多次射擊，他將有70%左右的次數(shù)會(huì)擊中目標(biāo)，反之，命中次數(shù)與70%差異很大就有理由懷疑這個(gè)0.7。

再以投幣為例，（正面）=0.5的依據(jù)是均勻，（等可能性），那么均勻的依據(jù)又是什么呢？正是（正面）=0.5（造幣廠沒有責(zé)任鑒定均勻性，也不必保證均勻性，兩面圖案不同，可以不均勻，因?yàn)橥稊S概率不是造幣的目的）。

6．小概率原理

當(dāng)概率很大（超過0.9）或很?。ㄐ∮?.1）時(shí)，對(duì)一次試驗(yàn)是有指導(dǎo)意義的?？梢哉J(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生，這就是小概率原理。（試驗(yàn)次數(shù)多時(shí)，就不適用了，概率再小，也有可能發(fā)生。比如飛機(jī)失事的報(bào)道很多，但是人們?nèi)匀幌蛲w機(jī)出行，又比如人們?cè)谧鰶Q策時(shí)，有90%以上的把握，都會(huì)斷言“不出意外的話肯定成功”不過應(yīng)當(dāng)指出的是：小概率原理不能保證沒有風(fēng)險(xiǎn)，以概率的觀點(diǎn)看問題，凡有隨機(jī)因素，便不可能有絕對(duì)的把握，對(duì)此要有清醒的認(rèn)識(shí)?！?.3條件概率一、條件概率

例1袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，無放回地依次取2個(gè)

=“第一次取到紅球”，=“第二次取到紅球”

（1）=?（“兩次都抽到紅球”）

（2）已知第一次取到紅球，求第二次取到紅球的概率。（第二次取時(shí)為4個(gè)球，其中2個(gè)紅球）簡(jiǎn)記為

（3）與不同，后者還要計(jì)算第一次取到紅球的機(jī)會(huì)，可以算得（計(jì)算過程不作要求，但不顯然）

一般是已知發(fā)生的條件下，發(fā)生的概率，稱為條件概率。本例中顯然

這是一般規(guī)律，同樣

二、乘法公式

將上面兩式改寫，即這就是乘法公式，可推廣到多個(gè)事件，以三個(gè)事件為例：

例2（1）52張撲克牌。依次取三張（無放回），求三張都是

的概率。

、、依次為第一、二、三次是

（2）一次性抽取三張，三張都是

的概率為這兩個(gè)概率是相同的。無放回的取K張與同時(shí)取K張，效果相同（對(duì)不講次序的結(jié)果）。

例3

已知

，，；

解：

，三、全概率公式

如圖(點(diǎn)擊見圖2>>)，分為4塊，計(jì)算各塊的樣本點(diǎn)數(shù)，不難得到

類似的有全概率公式：

若（1）兩兩互不相容，且

（2）（把分為n份）；則不易直接求時(shí)有效，特別的當(dāng)n=2時(shí)

例4設(shè)倉庫內(nèi)有10箱產(chǎn)品，分別來自于甲（5箱），乙（3箱），丙（2箱）廠，而三個(gè)廠的次品概率依次為，先任取一箱，再從中取一產(chǎn)品，求取得正品的概率解：=取得正品,=甲廠生產(chǎn),=乙廠生產(chǎn),=丙廠生產(chǎn)，則

注意：做題目先要將事件，概率字母化，符號(hào)化，并加以明確?！?.4事件的獨(dú)立性一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性

事件的發(fā)生與否不影響的概率（如燒香和下雨），可認(rèn)為、是相互獨(dú)立的，即、

例1在52張牌中，有放回地抽取兩次，=“第一次是

”。=“第二次是K”則

說明：第二次仍面對(duì)52張牌。第三個(gè)概率用排列組合的乘法原理。顯然

定義：若，滿足上式，則稱、相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。事件的獨(dú)立性可根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)判斷。如：天氣好壞與學(xué)習(xí)成績(jī)，二人打槍各自的命中率。又：甲乙兩人上課講話（不獨(dú)立），前后兩次抽牌（無放回和有放回）。

，獨(dú)立，；

，；

，也相互獨(dú)立。

例2兩人射擊，甲射中概率0.9，乙射中概率0.8，各射一次，求目標(biāo)被擊中的概率

解：=“甲中”，=“乙中”。“目標(biāo)被擊中”=+，，獨(dú)立或者

二、多個(gè)事件的獨(dú)立性

若干事件相互獨(dú)立諸事件乘積的概率等于概率的乘積。對(duì)于三個(gè)事件、、C，相互獨(dú)立是指以下4個(gè)等式都成立，，，這些等式稱為獨(dú)立條件下的乘法公式

例3對(duì)目標(biāo)進(jìn)行三次射擊，命中率依次為0.4，0.5，0.7，求至少有一次命中的概率

解：設(shè)”第次命中”，以下計(jì)算太麻煩（展開有7項(xiàng)，4正，3負(fù)）：另一種算法是：未擊中的概率所以

“三保險(xiǎn)”，命中率大，提高系統(tǒng)的可靠性，有類似做法（P22例5）。三、強(qiáng)調(diào)幾個(gè)概念

（1）和不要混淆。

（2）獨(dú)立性和不相容性不要混淆（不影響與不相交）。

（3）有放回的抽樣是相互獨(dú)立的，無放回的取樣是不獨(dú)立的。當(dāng)總數(shù)很龐大時(shí)，可認(rèn)為近似獨(dú)立。（4）事件的獨(dú)立性是很普遍的現(xiàn)象，概率性質(zhì)簡(jiǎn)單。第二章隨機(jī)變量及其概率分布§2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律一．隨機(jī)變量

隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果往往表現(xiàn)為數(shù)量，如：擊中次數(shù)、潮位數(shù)值、投擲骰子，若不表現(xiàn)為數(shù)量，可使其數(shù)量化，如抽牌時(shí)，將牌張編號(hào)。

以X表示試驗(yàn)的數(shù)值結(jié)果，則X是隨機(jī)變量。（解釋“隨機(jī)”）擲幣：X為“出現(xiàn)正面的次數(shù)”，X的可能取值為1、0。{X=1}=“正面朝上”，{X=0}=“反面朝上”，P{X=1}=P{X=1}=0.5抽牌：X為“抽得牌張編號(hào)“，X的可能取值為1，2，3，…，52。{14≤X≤26}=“抽到紅心”

隨機(jī)變量用大寫字母X、Y、Z等表示。隨機(jī)變量的取值或取值范圍表示隨機(jī)事件（隨機(jī)變量X本身不是事件）。二．離散型隨機(jī)變量

X的取值可以一一列出（有限或無限），則X是離散型的。設(shè)X的可能取值為Xk(k=1,2,…,n)，若相應(yīng)的概率P{X=xk}=pk都知道，則該隨機(jī)變量的規(guī)律就完全搞清楚了。X的規(guī)律是指①弄清可能取值②知道概率。寫成表格形式：Xx1x2…xk…pp1p2…pk…稱為分布律（分布列）。分布律應(yīng)滿足以下條件（性質(zhì)）：（1）

（2）

分別叫做概率的非負(fù)性和概率的完備性。

例1求的值，使X的分布律為

。

解：

（注）：分布律可以列表，也可用公式表示。

例210件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求分布律。

解：X可能取值為0，1，2，（這是關(guān)鍵步驟，常被忽視而致思維受阻）。概率分別為

分布律為X

0

1

2p

（注）求分布律，首先弄清X的確切含義及其所有可能取值。

例3有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬名，獎(jiǎng)金4元。求一戶得獎(jiǎng)?lì)~X的分布律。

解:X的可能取值為4000，400，40，4，0（最后一值易漏），易求分布律X40004004040p0.00010.00060.0060.20.7933以下討論三種常見的分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布（名稱易混淆）三．兩點(diǎn)分布

X的可能取值僅兩點(diǎn)0和1，且P{X=1}=p，分布律為X

1

0p

p

q其中q=1-p,則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（0-1分布）。

例4袋中裝6只白球和4只紅球，任取一只，X為“取得白球數(shù)”，求X的分布律。

解:P{X=1}=0.6分布律為X

1

0p

0.4

0.6（注）任何隨機(jī)試驗(yàn)都可與兩點(diǎn)分布相聯(lián)系：設(shè)A是試驗(yàn)中某一事件，X是“一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)”，若P(A)=p，則X的分布律為（X=0表示A未出現(xiàn)）X

1

0p

p

q四．二項(xiàng)分布

1．貝努里試驗(yàn)

將隨機(jī)試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)n次，觀察事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱為貝努里試驗(yàn)，或n重獨(dú)立試驗(yàn)。如：射擊n次，中幾次？有放回的抽樣（抽牌、模球、取產(chǎn)品）。事件A出現(xiàn)k次的概率記為Pn(k)。

例5產(chǎn)品次品率為0.2，有放回地抽5次，求出現(xiàn)2次次品的概率。

解即求P5(2)，出現(xiàn)次品為A，5次抽樣情況可以是

這樣的情況共有

種，互不相容，其概率都是0.22,0.83，所以

一般地，在貝努里試驗(yàn)中，A出現(xiàn)的概率是p，q=1-p，則這種概率模型稱為貝努里概型。(點(diǎn)擊進(jìn)入貝努里試驗(yàn)動(dòng)態(tài)模擬>>)

2．二項(xiàng)分布

X是n重獨(dú)立試驗(yàn)中A事件出現(xiàn)的次數(shù)，P(A)=p，則

（）稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布（或貝努里分布），記為X~B(n,p)。

例6產(chǎn)品次品率為10%，任意抽取5件樣品，求最多有2件次品的概率。

解：產(chǎn)品量很大時(shí)，不放回近似于放回，所以這是貝努里概型且p=10%=0.1，現(xiàn)在求P{X≤2}：（注）要重視應(yīng)用二項(xiàng)分布的現(xiàn)成結(jié)論。常見的二項(xiàng)分布實(shí)際問題：

①有放回或總量大的無放回抽樣；

②打槍、投籃問題（試驗(yàn)n次發(fā)生k次）；

③設(shè)備使用、設(shè)備故障問題。

例7螺絲次品率為0.05，十個(gè)一包出售，多于一個(gè)次品可退貨，求退貨率。

解:螺絲量大，近似于有放回抽樣，次品數(shù)X~B(10,0.05)，求P{X>1}。直接不易求，可先求不多于一個(gè)次品的概率（可以查表）。所以退貨率為1-0.9139=0.0861=8.6%。五．泊松分布（Poisson）

若X的可能取值為0,1,2,...,k,...（無窮）且（和為1），則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X~P(λ)。泊松分布來自于“排隊(duì)現(xiàn)象”，如某時(shí)間段內(nèi)的電話呼叫、紗線斷頭、顧客到來、車輛通過等。

當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，即

§2．2連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一．連續(xù)型隨機(jī)變量

1．概率密度

X的取值連成一片（成為一些區(qū)間），就是連續(xù)型隨機(jī)變量。如零件尺寸、電池壽命、降雨量等。P{a≤X≤b}是連續(xù)和，應(yīng)是定積分（a，b)可不同，但被積函數(shù)相同）

（注意大、小寫勿相混）這里函數(shù)f(x)稱為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度。密度f(x)決定了X的變化規(guī)律，不同的隨機(jī)變量有不同的密度。定積分的幾何意義是面積，所以概率的幾何意義是密度函數(shù)曲線下方的面積。

2．密度的性質(zhì)

連續(xù)型的概率非負(fù)性和概率完備性表現(xiàn)為（1）；（2）

。

例1設(shè)下列函數(shù)是概率密度，求k及P{1≤X≤3}，P{X≤1}解：由完備性（注意分段函數(shù)的積分處理）

3．單點(diǎn)概率這說明單點(diǎn)概率為零。概率為零的事件不一定是不可能事件。于是

進(jìn)一步的考慮是當(dāng)Δx很小時(shí)即單點(diǎn)概率是和密度函數(shù)值成正比的無窮小量。

4．概率的幾何意義表明概率的幾何意義是曲線y=f(x)下方的面積，并且整個(gè)曲線下方的面積等于1。又說明密度f(x)本身不是概率，但它表示各點(diǎn)概率（無窮?。┲g的比例。(幾何意義點(diǎn)擊見圖3>>)以下討論三種常見的分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布。二．均勻分布

各點(diǎn)的概率（比例）相同，即f(x)恒等于常數(shù)。若X的概率密度為則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記為X~U(a,b)。均勻分布是最簡(jiǎn)單的分布(圖形點(diǎn)擊見圖4>>)。問：（1）常數(shù)為何是區(qū)間長(zhǎng)度的倒數(shù)？（2）均勻（概率）分布的概率如何簡(jiǎn)單求得？三．指數(shù)分布

若X的密度為則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。顯然有指數(shù)分布也來自于“排隊(duì)現(xiàn)象”，與泊松分布緊密聯(lián)系。四．正態(tài)分布

最重要的分布，將在第四節(jié)著重討論?！?.3分布函數(shù)與函數(shù)的分布一．分布函數(shù)

1．概念

設(shè)X是隨機(jī)變量，x是一個(gè)數(shù)，則P{X≤x}與x有關(guān)。稱F(x)=P{X≤x}為X的分布函數(shù)。F(x)是在區(qū)間(-∞,x]內(nèi)的“累積概率”，不要與單點(diǎn)概率混淆。

2．性質(zhì)

（1）

（2）

F(x)單調(diào)不減

（3）

（4）

這是累積概率之差額。可見利用分布函數(shù)計(jì)算概率很方便。

3．求法

對(duì)于離散型，F(xiàn)(x)是概率之和；對(duì)于連續(xù)型，F(xiàn)(x)是積分。計(jì)算公式分別是分布函數(shù)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量比較有用。F(x)連續(xù)，且F'(x)=f(x)在連續(xù)點(diǎn)成立。

例1設(shè)X~U(a,b)（均勻分布）求分布函數(shù)F(x)。

解：當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，利用概率的幾何意義（面積）得

F(x)的圖形連續(xù)，尖點(diǎn)處無導(dǎo)數(shù)，恰為f(x)的間斷點(diǎn)(圖形點(diǎn)擊見圖5>>)。二．函數(shù)的分布

已知X的分布，求Y=g(X)的分布。如動(dòng)能對(duì)速度Y=mX2∕2，面積對(duì)半徑Y(jié)=πX2。

1．X為離散型隨機(jī)變量。

例2已知X的分布律如下，求Y=X2的分布律。X-10125p0.10.3

解：事件{Y=4}={X=2}，概率也相等，但{Y=1}={X=±1}，所以Y01425p0.3即Y=g(X)的可能取值為概率不變。

2．X為連續(xù)型隨機(jī)變量

已知X的分布密度為fX(x)，求Y=g(X)的密度fY()。先要求出Y的分布函數(shù)，

（與y有關(guān)），再通過求導(dǎo)得到

，由于計(jì)算比較復(fù)雜，此處從略。第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征分布律和概率密度描述了隨機(jī)變量的全貌（完整性），但還可以用幾個(gè)數(shù)字來說明隨機(jī)變量的“概況”。在許多情況下知道概狀已足夠了，而且更有利。如全國(guó)人口平均年齡與13億人年齡的大表（數(shù)萬本）?！?．1數(shù)學(xué)期望一．?dāng)?shù)學(xué)期望的概念與計(jì)算公式

例1某工人工作水平為：全天不出廢品的日子占30%，出一個(gè)廢品的日子占40%，出二個(gè)廢品占20%，出三個(gè)廢品占10%。

（1）設(shè)X為一天中的廢品數(shù)，求X的分布律；

（2）這個(gè)工人平均每天出幾個(gè)廢品？

解:（1）分布律X0123p0.1

（2）考慮工作1000天，其中約300天不出廢品，400天中各出一個(gè)，200天中出二個(gè)，100天中出三個(gè)，平均廢品數(shù)

=0×0.3+1×0.4+2×0.2+3×0.1=1.1（個(gè)/天）

數(shù)學(xué)期望，即隨機(jī)變量X取值的平均數(shù)（加權(quán)平均），記為E(X)（是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是隨機(jī)變量）。

離散型：分布律為P{X=xk}=pk(k=1,2,…)時(shí)即兩兩相乘再相加（無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂）。

連續(xù)型：概率密度為f(x)時(shí)，以單點(diǎn)概率f(x)dx代替pk，去掉下標(biāo)，和號(hào)改為積分即有

例2甲、乙兩人廢品數(shù)的分布如下。在產(chǎn)量相同時(shí)，哪個(gè)技術(shù)高？甲

X0123乙Y0123

p0.2p0

解:E(X)=0+0.3+0.4+0.6=1.3，

E(Y)=0+0.5+0.4+0=0.9，說明乙的技術(shù)好。

從本例看出，數(shù)學(xué)期望是評(píng)價(jià)隨機(jī)變量的一個(gè)重要指標(biāo)，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望或均值。二．常見分布的數(shù)學(xué)期望

1．兩點(diǎn)分布

X

1

0

p

p

1-p

2．二項(xiàng)分布這一推導(dǎo)比較難懂，比較復(fù)雜，記住結(jié)論，還有更好的推導(dǎo)。

3．泊松分布（推導(dǎo)略）

4．均勻分布

5．指數(shù)分布（推導(dǎo)略）

6、正態(tài)分布

積分中運(yùn)用了積分換元和對(duì)稱性，最后的等號(hào)用到了概率積分。正態(tài)分布的前一個(gè)參數(shù)是它的均值。三．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1．C為常數(shù)時(shí)，E(C)=C；

2．E(CX

)=CE(X)（常數(shù)提取）；

3．E(X+Y)=E(X)+E(Y)；

4．若X,Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)（注意前提條件——獨(dú)立：X,Y的取值相互獨(dú)立）。

例3計(jì)算二項(xiàng)分布X~B(n,p)的數(shù)學(xué)期望。

解:X是n次獨(dú)立試驗(yàn)中A事件出現(xiàn)的次數(shù)。引入隨機(jī)變量Xi是第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)（取0或1），顯然這里Xi均服從兩點(diǎn)分布，故

，

這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的方法，應(yīng)熟悉這一方法。

例4傳染病患病率約為10%，對(duì)1000名師生抽血化驗(yàn)，采用二種方案（1）逐個(gè)化驗(yàn)；（2）4個(gè)人一組（分250組）抽血化驗(yàn)，有問題再逐個(gè)化驗(yàn)。試比較兩個(gè)方案的化驗(yàn)次數(shù)。

解:方案（1）要化驗(yàn)1000次。方案（2）的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)Xi表示第i組化驗(yàn)的次數(shù)(i=1,2,…,250)，則總的化驗(yàn)次數(shù)X是所有Xi之和。顯然Xi分布律相同均為P{Xi=1}=0.94，P{Xi=5}=1-0.94，則這里E(X)=594次應(yīng)理解為“期望次數(shù)”（樣本大，期望可達(dá)）。四．隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1、一維函數(shù)

已知X的分布，求Y=g(X)的分布較困難（連續(xù)型要通過分布函數(shù)），但求E(Y)是否能簡(jiǎn)單些呢？

（1）離散型

設(shè)X的分布為P{X=xk}=pk(k=1,2,…)，則Y=g(X)的分布律為P{Y=g(xk)}=pk于是這是E(X)計(jì)算公式的推廣。

（2）連續(xù)型

設(shè)X的密度為f(x)，在上述離散型計(jì)算公式中，將pk換成單點(diǎn)概率f(x)dx，略去下標(biāo)，和號(hào)改為積分，可得這也是E(X)計(jì)算公式的推廣。

例3設(shè)X~U(0,a)，求Y=kX2(k>0)的數(shù)學(xué)期望。

解：§3．2方差一．方差的概念與計(jì)算公式

例1兩人的5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

X：50，100，100，60，50

E(X)=72；

Y：73，70，75，72，70

E(Y)=72。平均成績(jī)相同，但X不穩(wěn)定，對(duì)平均值的偏離大。

方差描述隨機(jī)變量對(duì)于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。單個(gè)偏離是

消除符號(hào)影響方差即偏離平方的均值，記為D(X)：直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：這里是一個(gè)數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”，即

，其中分別為離散型和連續(xù)型計(jì)算公式。稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，方差描述波動(dòng)程度。二．方差的性質(zhì)

1．設(shè)C為常數(shù)，則D(C)=0（常數(shù)無波動(dòng)）；

2．D(CX)=C2D(X)（常數(shù)平方提?。?；

證：特別地

D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)（方差無負(fù)值）

3．若X、Y相互獨(dú)立，則

證：記

則前面兩項(xiàng)恰為D(X)和D(Y)，第三項(xiàng)展開后為當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)，

，故第三項(xiàng)為零。特別地獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和，可推廣到有限項(xiàng)。三．常用分布的方差

1．兩點(diǎn)分布

2．二項(xiàng)分布X~B(n,p)引入隨機(jī)變量Xi（第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，服從兩點(diǎn)分布），

3．泊松分布（推導(dǎo)略）

4．均勻分布

另一計(jì)算過程為

5．指數(shù)分布（推導(dǎo)略）

6．正態(tài)分布（推導(dǎo)略）~正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值的偏離程度，即波動(dòng)程度（隨機(jī)波動(dòng)），這與圖形的特征是相符的。

例2求上節(jié)例2的方差。

解根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律，計(jì)算得到工人乙廢品數(shù)少，波動(dòng)也小，穩(wěn)定性好。第四章數(shù)理統(tǒng)計(jì)§4.1樣本與統(tǒng)計(jì)量一.總體與樣本

例1欲了解一批燈泡的壽命X(小時(shí))的分布情況，只能抽取n個(gè)作破壞性試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果來推斷X的分布。

1．總體

研究對(duì)象的全體稱為總體。例1中，我們關(guān)心的是全體燈泡壽命的分布情況，即壽命X的所有可能的取值及其概率分布。因此壽命X是連續(xù)的隨機(jī)變量。一般地把我們關(guān)心的隨機(jī)變量X稱為總體。

2．個(gè)體

組成總體的每個(gè)單元稱為個(gè)體。例1中，我們關(guān)心的是燈泡的壽命。所以個(gè)體也可理解為總體X的取值。

3．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

為了使抽樣具有充分的代表性，所以要求：

（1）每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等；

（2）每次抽取是獨(dú)立的（共抽取n次）。

這樣的抽樣叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。通常的抽樣都是無放回的，當(dāng)總體很大時(shí)，可以滿足獨(dú)立性。

4．樣本

在總體中抽取n個(gè)個(gè)體，稱為總體的一個(gè)樣本，記為(X1,X2,...,Xn)，其中每次抽樣Xi(i=1,2,...

,n)也都是隨機(jī)變量（解釋），共n個(gè)隨機(jī)變量，加上括號(hào)，表示樣本是一個(gè)整體。

5．樣本的容量

抽取的個(gè)體數(shù)n，稱為樣本的容量。

6．獨(dú)立同分布

每次抽取的Xi來自總體，應(yīng)該與總體X有相同的分布（概率密度相同），所以說樣本是一組具有獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。

7．樣本觀察值（樣本值）

樣本的測(cè)試結(jié)果記為(x1,x2,...,xn)，是一組數(shù)據(jù)，在容易產(chǎn)生誤會(huì)時(shí)，大小寫要分清，尤其在作理論分析時(shí)，一般都取大寫，作為隨機(jī)變量處理。二．統(tǒng)計(jì)量

1．三個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值：（2）樣本方差：（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差（又稱為樣本均方差）：

其中作為均值可以反映總體X的均值（不是等同），S2是數(shù)據(jù)與均值偏離值平方的平均，體現(xiàn)樣本的離散程度，因而可以反映總體X的方差。和s（計(jì)算值）可以利用函數(shù)計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能快速得到。

2．統(tǒng)計(jì)量的概念

統(tǒng)計(jì)量是含有樣本X1,X2,...,Xn的一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，并且式中不含未知參數(shù)，因而可以在得到樣本值后立即算出它的數(shù)值來。在抽樣之前，統(tǒng)計(jì)量的值無法確定，抽樣測(cè)試之后，可以觀察到它的取值，因此統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，是由樣本派生出來的隨機(jī)變量。三．抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量既然是隨機(jī)變量，當(dāng)然有它的概率分布，稱為抽樣分布。以下僅給出結(jié)論，結(jié)論都對(duì)正態(tài)總體而言。

1．樣本均值的分布

（1）若總體，則

（獨(dú)立同分布），于是作為線性函數(shù)（2）特別地，標(biāo)準(zhǔn)化以后，得

2．t分布

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，U不再是統(tǒng)計(jì)量，這時(shí)可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，但不再是正態(tài)分布，而是一種新的分布叫做服從于自由度的t分布。它的密度曲線與正態(tài)曲線相類似(點(diǎn)擊見圖8>>)。

3．分布

為了將樣本方差S2和總體相比較、聯(lián)系。構(gòu)造出叫做服從于自由度的分布，也是一種新的分布。其密度曲線在原點(diǎn)右側(cè)，這是因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量是不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值的(圖形點(diǎn)擊見圖9>>)。

、、是繼、、后第二輪復(fù)合而成的統(tǒng)計(jì)量，可以更有利于實(shí)際的應(yīng)用。四．臨界值

設(shè)U～N(0,1)，有關(guān)U的概率可查表。如果反過來，已知概率，求使

或

，倒查表得到的稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右側(cè)臨界值，意為右側(cè)的概率為,又叫分位點(diǎn)，記為.(示意圖形點(diǎn)擊見圖10>>)若求使則查表得到的是稱為雙側(cè)臨界值(示意圖形點(diǎn)擊見圖11>>)，意為對(duì)稱兩側(cè)的概率之和為，它們的概率意義分別是

和

比如U0.05=1.645，U0.025=1.96。

t分布和分布的右側(cè)臨界值記為和。括號(hào)內(nèi)的n是自由度，不要與樣本容量相混淆，如,的概率意義為,(幾何意義點(diǎn)擊見圖12>>，圖13>>)

t分布表和分布表已直接編為臨界值表，不必“倒查表”。正態(tài)分布和t分布的左側(cè)臨界值是對(duì)稱值和（左側(cè)概率為），不必另行查表，而分布無對(duì)稱性，左側(cè)臨界值是(點(diǎn)擊見圖14>>)（右側(cè)概率是，左側(cè)概率當(dāng)然是），需另行查表。

分布的雙側(cè)臨界值是（左）和（右）(幾何意義點(diǎn)擊見圖15>>)。

例2求滿足以下概率式的臨界值并給出對(duì)應(yīng)的記號(hào)

（1），則；

（2），則；

（3），則；

（4），則；

（5），則。

例3對(duì)于查表得到的和，給出它們的概率意義。

解：，，，，。§4.2參數(shù)估計(jì)一．點(diǎn)估計(jì)

1．點(diǎn)估計(jì)的概念

總體X的分布類型往往是已知的，如，但它的參數(shù)不知道，要通過樣本來估計(jì)，稱為點(diǎn)估計(jì)。

2．樣本數(shù)字特征法

用樣本的均值、方差來估計(jì)總體的均值、方差是很自然的，即這里在字母上加一個(gè)“帽子”是為了表明這僅僅是估計(jì)值而非準(zhǔn)確值。這樣的估計(jì)方法稱為樣本數(shù)字特征法。

例1某果園有1000株果樹，在采摘前欲估計(jì)果樹的產(chǎn)量，隨機(jī)抽選了10株，產(chǎn)量（公斤）分別為：161，68，45，102，38，87，100，92，76，90假設(shè)果樹的產(chǎn)量服從正態(tài)分布，試求果樹產(chǎn)量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，并估計(jì)一株果樹產(chǎn)量超過100公斤

解：利用計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能，可計(jì)算得到產(chǎn)量均值公斤，標(biāo)準(zhǔn)差公斤。于是即一株果樹產(chǎn)量超過100公斤的概率為0.34

3．估計(jì)量及其評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

用來估計(jì)未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量（如，）稱為估計(jì)量。一般的提法是：設(shè)是總體X的未知參數(shù)，找一個(gè)統(tǒng)計(jì)量（表達(dá)式）來估計(jì)，即以的觀測(cè)值作為的估計(jì)值，則稱為的估計(jì)量。這里是未知的但客觀存在的固定常數(shù)，不是隨機(jī)變量，而是隨樣本值而變動(dòng)的，是隨機(jī)變量。估計(jì)量不是唯一的，可以通過多種途徑和方法去尋找、構(gòu)造，如矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法等，應(yīng)該制定一套評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)它們的優(yōu)劣。（1）無偏性

設(shè)是的估計(jì)值，若，則稱是的無偏估計(jì)量。其統(tǒng)計(jì)意義是：是隨機(jī)變量，它的波動(dòng)中心（均值）等于，即經(jīng)過多次抽樣，的觀察值將圍繞著變動(dòng)，沒有“系統(tǒng)”誤差，當(dāng)然是較好的。

和S2都分別是總體均值，總體方差的無偏估計(jì)，其中顯然，而的推導(dǎo)復(fù)雜，S2的表達(dá)式中，分母是而不是n，正是為了滿足無偏性。（2）有效性

對(duì)于多個(gè)無偏估計(jì)量，方差小的波動(dòng)小，穩(wěn)定性好。即方差越小越好，設(shè)（都是無偏估計(jì)），若，則稱比有效。是的所有無偏估計(jì)中最有效的。二．區(qū)間估計(jì)1．置信度與置信區(qū)間

有了點(diǎn)估計(jì)，還要進(jìn)一步作誤差估計(jì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的誤差估計(jì)必然具有概率特征，即要用概率去描述，要與概率相聯(lián)系。設(shè)是未知參數(shù)，希望確定一個(gè)區(qū)間(a,b)，使它包含的把握很大，寫成概率式，即

取時(shí)，把握是0.95%。往往事先取定，稱為置信度。(a,b)

稱為參數(shù)的置信區(qū)間，稱為置信下限，稱為置信上限。

2．置信區(qū)間的求法

直接求置信區(qū)間難度較大，實(shí)際求解時(shí)，往往從已知的統(tǒng)計(jì)量入手。比如統(tǒng)計(jì)量分布已知，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，那么關(guān)于U的不等式變形可得到關(guān)于的不等式，所以只需求A,B，使即可。滿足此式的區(qū)間很多，其中“區(qū)間居中”是效果最好的，所謂“區(qū)間居中”是指區(qū)間左側(cè)和右側(cè)的概率相等，都等于。因?yàn)檎龖B(tài)分布有對(duì)稱性，區(qū)間居中的概率公式是

于是可確定，將不等式變形可得（1）正態(tài)總體方差已知時(shí)，均值的置信區(qū)間按上面的公式，置信區(qū)間是注意：已知時(shí)，應(yīng)借助于U統(tǒng)計(jì)量，要查正態(tài)分布表；置信區(qū)間有兩個(gè)端點(diǎn)，所以要找雙側(cè)臨界值（下標(biāo)帶有）

例2設(shè)總體測(cè)得n=4的樣本觀測(cè)值為：12.6，13.4，12.8，13.2，求的0.95置信區(qū)間。

解,已知，采用U統(tǒng)計(jì)量，查表得U0.025=1.96，計(jì)算，所以置信限為置信區(qū)間為(12.706,13.294)。

（2）正態(tài)總體方差未知時(shí)，均值的置信區(qū)間未知，以S代替，得到的是t統(tǒng)計(jì)量，要查t分布表；置信區(qū)間公式相類似，為

例3例2中設(shè)

,未知，求的置信區(qū)間（取）。

解：計(jì)算得，。未知，采用t統(tǒng)計(jì)量，查表得t0.025(4-1)=3.1824，所以置信限為置信區(qū)間為(12.419,13.581)。例3的信息量比例2少（未知），在同樣的置信度下置信區(qū)間比較寬，精度比較小是很自然的。

（3）正態(tài)總體方差及標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間

統(tǒng)計(jì)量就是為提取的信息而設(shè)計(jì)的，所以借助于統(tǒng)計(jì)量，由概率式

及區(qū)間居中原理。可得,

，利用不等式變形，得到的置信區(qū)間是

的置信區(qū)間，只需將端點(diǎn)開平方即可

例4設(shè)零件長(zhǎng)度(mm)抽取n=16件零件測(cè)量，經(jīng)計(jì)算得，,求零件長(zhǎng)度與標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間（）。

解未知，求的置信區(qū)間應(yīng)采用統(tǒng)計(jì)量，查表得t0.025(15)=2.1315，置信限為均值的置信區(qū)間為(12.049,12.125)。求的置信區(qū)間，采用統(tǒng)計(jì)量，查表得，，的置信區(qū)間為開方后即標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間：(0.0526,0.1102)

3．置信度的選擇

對(duì)于同一個(gè)樣本，信息量是固定的，于是會(huì)出現(xiàn)“有得必有失”的局面：如果提高置信度，就會(huì)降低估計(jì)精度（置信區(qū)間變寬）；反之，想提高估計(jì)精度，就需降低置信度。如果希望兩者都提高，則只有增加樣本容量，即增加信息量。

前面提到的“區(qū)間居中”效果最好，指的是在同一個(gè)樣本，同一個(gè)置信度之下，區(qū)間居中可得到最窄的置信區(qū)間。在做區(qū)間估計(jì)時(shí)，首先要選擇合適的統(tǒng)計(jì)量（三種情形），這不僅關(guān)系到查哪一張表，用哪一個(gè)置信區(qū)間公式的問題，還為下一節(jié)學(xué)習(xí)假設(shè)檢驗(yàn)打下必要的基礎(chǔ)?！?.3假設(shè)檢驗(yàn)一．原假設(shè)與拒絕域

例1自動(dòng)包裝機(jī)裝箱，箱重額定標(biāo)準(zhǔn)每箱重公斤，某日開工后，隨機(jī)抽取n=10箱，稱得它們的重量（公斤）為：99.3,98.9,101.0,99.6,98.7,102.2,100.8,99.8,100.9，問包裝機(jī)工作是否正常？（已知總體標(biāo)準(zhǔn)差公斤）

1．原假設(shè)

本例實(shí)際上是檢驗(yàn)結(jié)論是否成立。H0代表一個(gè)結(jié)論，一句話，便于簡(jiǎn)稱。通常先假設(shè)H0為真，然后考慮拒絕還是接受H0。H0叫做原假設(shè)，解決這類問題叫做假設(shè)檢驗(yàn)。

2．臨界值

總體期望未知，可用近似代替（計(jì)算值是），但因隨機(jī)波動(dòng)，不能以來否定H0，只有當(dāng)誤差大到一定程度，才能認(rèn)為效應(yīng)顯著而否定H0，這里的“一定程度”要用概率的觀點(diǎn)來描述：一旦認(rèn)定顯著（拒絕H0），要有很大的把握，犯錯(cuò)誤的概率很小，即H0成立時(shí)是事先設(shè)定的數(shù)，比如。由于已知，所以上述概率式等同于

當(dāng)H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量分布已知，可查表得到這樣，“一定程度”就確定下來了，它正是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)臨界值。

3．拒絕域

確定了臨界值后，不等式就成為拒絕還是接受原假設(shè)H0的判斷依據(jù)，因而稱為拒絕域。當(dāng)統(tǒng)計(jì)量U的計(jì)算值落入拒絕域，便拒絕H0，否則接受H0

。特別提醒：拒絕域與原假設(shè)呈相反的形態(tài)，為了更好地體現(xiàn)這一點(diǎn)，往往需要附上與H0相反的結(jié)論H1，稱為備擇假設(shè)。例1的備擇假設(shè)是：二．假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟

（1）根據(jù)實(shí)際問題的特性，認(rèn)定檢驗(yàn)的對(duì)象（還是），建立原假設(shè)和備擇假設(shè)；

（2）選擇一個(gè)與檢驗(yàn)對(duì)象相聯(lián)系的統(tǒng)計(jì)量（參照區(qū)間估計(jì)），找出與之相對(duì)應(yīng)的臨界值表；

（3）寫出拒絕域的形式，雙側(cè)檢驗(yàn)（參看H0

或H1

）含兩個(gè)不等式，單側(cè)檢驗(yàn)含一個(gè)不等式，拒絕域的不等式方向與備擇假設(shè)H1呈相同形態(tài)，查臨界值表確定拒絕域的端點(diǎn)；

（4）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，視其是否落入拒絕域而決定拒絕還是接受原假設(shè)H0。

按此步驟，例1的求解過程如下：(1)檢驗(yàn)假設(shè)，：；（2）當(dāng)H0成立時(shí)，；

（3）拒絕域，取，查表得；

（4）計(jì)算

，

，因?yàn)?，所以接受H0

，即認(rèn)為包裝機(jī)工作正常（未見異常）。

例2在例1中，若未知，檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常。（取）未知，應(yīng)以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，因而選擇t統(tǒng)計(jì)量。

解:（1）檢驗(yàn)假設(shè)，：；

（2）H0成立時(shí)，

（3）拒絕域查表得

；

（4）計(jì)算

,

,因?yàn)?，所以接受H0，即認(rèn)為包裝機(jī)工作正常。三．正態(tài)分布的均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)

1．統(tǒng)計(jì)量的選擇若總體～，則統(tǒng)計(jì)量有三種不同的選擇：

（1）已知，對(duì)的檢驗(yàn)，選用

（2）未知，對(duì)的檢驗(yàn)，選用

（3）對(duì)（或）的檢驗(yàn)，選用在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這三種檢驗(yàn)分別稱作檢驗(yàn)，檢驗(yàn)和檢驗(yàn)。

例3某種電子元件的壽命服從正態(tài)分布，要求其標(biāo)準(zhǔn)差不超過小時(shí)，現(xiàn)取25只，測(cè)量后算得小時(shí)，小時(shí)，問這批元件是否合格（?。?/p>

解（1）檢驗(yàn)假設(shè)，；

（2）選擇統(tǒng)計(jì)量

（3）拒絕域，查表得單側(cè)臨界值；

（4）計(jì)算因?yàn)?1.106<36.415，所以接受H0，即認(rèn)為這批元件的標(biāo)準(zhǔn)差沒有明顯超標(biāo)。

2．雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)

例3中，原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1都以不等式給出，所以是單側(cè)檢驗(yàn)，拒絕域含一個(gè)不等式，且與有相同的形態(tài)，查表得到的是單側(cè)臨界值。H0以等式給出的檢驗(yàn)是雙側(cè)檢驗(yàn)，拒絕域含二個(gè)不等式:如

即

和按照雙側(cè)還是單側(cè)檢驗(yàn)，原假設(shè)可以有六種情況，如下表：檢驗(yàn)類型拒絕域檢驗(yàn)或檢驗(yàn)或檢驗(yàn)或檢驗(yàn)或檢驗(yàn)或檢驗(yàn)或檢驗(yàn)和檢驗(yàn)檢驗(yàn)

例4設(shè)木材的小頭直徑