專(zhuān)題10 難點(diǎn)探究專(zhuān)題：相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專(zhuān)題10難點(diǎn)探究專(zhuān)題：相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）】 1【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線(xiàn)段長(zhǎng)多解問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）】 6【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線(xiàn)段及線(xiàn)段和最值問(wèn)題】 15【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖像問(wèn)題】 21【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何綜合問(wèn)題】 26【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問(wèn)題】 34【典型例題】【類(lèi)型一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒3個(gè)單位的速度按照從運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，若△BPQ與相似，則的值為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意可知，分和兩種情形討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，①當(dāng)時(shí)，，，若，∴則，∴，解得：；若，∴則∴，解得：②當(dāng)時(shí)，，，同理可得或解得：（舍去）或綜上所述，或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)．有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．若、同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)用含t的代數(shù)式分別表示線(xiàn)段和的長(zhǎng)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，與相似？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和；（2）分和是直角兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】（1）解：，，，點(diǎn)的速度是每秒1個(gè)單位，點(diǎn)的速度是每秒1個(gè)單位，，；（2）①是直角時(shí)，，，即，解得，舍去；②是直角時(shí)，，，即，解得，綜上所述，時(shí)，與相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例兩相似三角形的判定分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線(xiàn)段也向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)的速度是，點(diǎn)的速度是，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線(xiàn)段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)求為多少秒時(shí)，的面積為為(2)當(dāng)為多少時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似.【答案】(1)當(dāng)為或秒時(shí)，的面積為為.(2)或時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似【分析】（1）根據(jù)路程速度時(shí)間可知，，，再根據(jù)三角形的面積公式列方程即可解答；（2）根據(jù)根據(jù)路程速度時(shí)間可知，，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵點(diǎn)P的速度是，點(diǎn)Q的速度是，∴，，∵，∴，∴的面積為，即，解得：，,∴當(dāng)為或秒時(shí)，的面積為為；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∵點(diǎn)的速度是，點(diǎn)的速度是，∴，，∵，∴，①當(dāng)時(shí)，∴，即，解得；②當(dāng)時(shí)，∴，即，解得．∴或時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，路程速度時(shí)間，相似三角形的性質(zhì)，一元二次方程與幾何圖形，一元一次方程與幾何圖形，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接．過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（不考慮、、在一條直線(xiàn)上的情況）．

(1)填空：當(dāng)___________時(shí)，，此時(shí)___________；(2)當(dāng)與相似時(shí)，求t的值．【答案】(1)2；2(2)t的值為2或4或．【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）由，利用相似三角形的性質(zhì)求得，分當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的左邊和點(diǎn)F在點(diǎn)B的右邊時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，即：，∴，∵，∴，∴，即：，解得：；故答案為：2；2；（2）解：由得，又∵，∴，∴，即，∴，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的左邊時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)：，即，解得：，；當(dāng)時(shí)：有，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的右邊時(shí)，即時(shí)，，

當(dāng)時(shí)：，即，解得：(負(fù)值已舍)；綜上，t的值為2或4或．【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線(xiàn)段長(zhǎng)多解問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）】例題：（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點(diǎn)E是的動(dòng)點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【答案】2或8【分析】由矩形的性質(zhì)，垂直的定義推出，即可證明，得到，設(shè)，列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∴或8，∴的長(zhǎng)是2或8．故答案為：2或8．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由條件證明，并注意有兩個(gè)答案．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)D在邊AC上，若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】先求出，再根據(jù)是以為腰的等腰三角形分情況討論即可．【詳解】中，，，，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)作于，此時(shí)

∴，∴，解得，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，∴，綜上，當(dāng)是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的定義，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江紹興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊上，且滿(mǎn)足，當(dāng)△是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】由題意知，，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與的交點(diǎn)，即點(diǎn)P是的中點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，∴，∴，點(diǎn)P在線(xiàn)段上．∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，由勾股定理得：；如圖1所示，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與的交點(diǎn)，即點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖2所示，當(dāng)時(shí)，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．3．（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足為，連接．當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】說(shuō)明只能為銳角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，，然后分或兩種情況求解即可．【詳解】解：∵，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)，，∵，，∴為直角三角形，，∴，∴為銳角，當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)，∵，∴，在中，，，，∴，，∵，∴，∴，四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，

當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想．理解題意并運(yùn)用分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，沿直線(xiàn)將折疊，使點(diǎn)B恰好落在上的D處，當(dāng)恰好為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】先在中利用勾股定理求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，直線(xiàn)將折疊，使點(diǎn)B恰好落在上的D處，恰好為直角三角形，有兩種可能：①，②，設(shè)，運(yùn)用三角形相似列比例式解方程即可得解．【詳解】解：∵在中，，∴．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則．分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得：；故所求的長(zhǎng)度為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折，點(diǎn)落在線(xiàn)段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或或【分析】由翻折變換的性質(zhì)得：，設(shè)，則；分三種情況討論：①時(shí)，②當(dāng)時(shí)，在的垂直平分線(xiàn)上，③當(dāng)時(shí)，作于，得出，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)得：，，，，∴，設(shè)，則；分三種情況討論：①時(shí)，，解得：，；②當(dāng)時(shí)，在的垂直平分線(xiàn)上，為的中點(diǎn)，，，解得：，；③當(dāng)時(shí)，作于，如圖所示：則，，又，，，，即，解得：；綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為：或或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線(xiàn)段及線(xiàn)段和最值問(wèn)題】例題：（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，則的最小值為．

【答案】【分析】作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則垂直平分，，由勾股定理可求得，根據(jù)三角形的面積可求得解得，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，則，，可知此時(shí)有最小值，最小值為，再根據(jù)相似三角形的判定，可證得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則垂直平分，，由勾股定理得：，，，，解得，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，

則，，，此時(shí)，，有最小值，最小值為，，，又，，，得，解得，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，D是的中點(diǎn)，P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，交于點(diǎn)E，首先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得，，，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，交于點(diǎn)E，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，

解得，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，準(zhǔn)確找到點(diǎn)P的位置是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)在邊上從向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為，同時(shí)點(diǎn)在邊上從向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為．連接、，設(shè)、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】證明，從而說(shuō)明，則點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為，利用勾股定理求出，然后分、、三點(diǎn)共線(xiàn)與、、三點(diǎn)不共線(xiàn)兩種情況討論即可．【詳解】解：矩形中，，，∴，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，∴，又∵，∴且，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為，連接，∴，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，在中，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，，∴，當(dāng)、、三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)為半圓上任意一點(diǎn)，∴，∴，∴，綜上所述，，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)分相等成比例，勾股定理，角所對(duì)的弦是直徑，三角形三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)．掌握相似三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，E是BC中點(diǎn)，CD上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接和，沿著翻折得到，，為的中點(diǎn)，，可得到，可證明，可得，故，從而得到，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值為．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接和，如圖所示：

∵沿著翻折得到，∴，∵，E是BC中點(diǎn)，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值為，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，則的最小值為．故填：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖像問(wèn)題】例題：（2023春·河南安陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線(xiàn)l上，P是直線(xiàn)l上點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P，E的直線(xiàn)與正方形的邊交于點(diǎn)F，連接，若設(shè)，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分別求出點(diǎn)F在邊上時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)時(shí)，點(diǎn)F在邊上時(shí)，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：，∴∵四邊形是正方形，∴點(diǎn)F在邊上時(shí)，，∴，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)時(shí)，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，解得x＝，點(diǎn)F在邊上時(shí)，∵，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是B，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，涉及到一次函數(shù)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，正方形的性質(zhì)，分類(lèi)思想的利用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)，交折線(xiàn)于點(diǎn)Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，∵直線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，如圖，

∵直線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是：

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動(dòng)，連接交或的延長(zhǎng)線(xiàn)于，記點(diǎn)移動(dòng)的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分三種情況討論得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在正方形中，，∴與或的延長(zhǎng)線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段之間（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），∵四邊形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)移動(dòng)的距離為，為，∴，，，∴，∴，它的圖像是反比例函數(shù)圖像的一部分；②當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段之間（點(diǎn)可與點(diǎn)、點(diǎn)重合），此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∵，，又∵，∴，它的圖像是一條線(xiàn)段；∴動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)圖像，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖像．解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于根據(jù)點(diǎn)的位置分情況討論．3．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線(xiàn)是線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，與相交于點(diǎn)C，D是位于直線(xiàn)下方的上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），連接，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．D．

【答案】B【分析】根據(jù)得，根據(jù)直線(xiàn)是線(xiàn)段的中垂線(xiàn)可得，，再證，然后根據(jù)相似三角形列比例式化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合確定函數(shù)圖像即可即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵直線(xiàn)是線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，∴，，，∵，∴，∴，∴∴，即，可得，即函數(shù)圖像為B選項(xiàng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像，證得得到是解答本題的關(guān)鍵．【類(lèi)型五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何綜合問(wèn)題】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接，，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_____（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請(qǐng)判斷四邊形的面積是否會(huì)隨時(shí)間t的變化而變化，并說(shuō)明理由；(3)若A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請(qǐng)求出t的值．【答案】(1)，(2)四邊形的面積不會(huì)隨時(shí)間t的變化而變化，理由見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)直接求解即可；（2）根據(jù)求解即可；（3）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，又點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，故答案為：，；（2）解：四邊形的面積不會(huì)隨時(shí)間t的變化而變化，理由：∵點(diǎn)B坐標(biāo)為，四邊形是矩形，∴，，則四邊形的面積；（3）解：當(dāng)時(shí)，∴，即，解得：，當(dāng)時(shí)，∴，即，解得：或（不合題意，舍去），綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，分類(lèi)討論是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線(xiàn)段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)D點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為_(kāi)_____；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為_(kāi)_____．

【答案】（1）；（2）．理由見(jiàn)解析；（3）2；（4）【分析】（1）通過(guò)證明全等，得到；（2）通過(guò)證明得到，，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．可以證明；（3）作于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)J，證明，得出，求出，得出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，求出結(jié)果即可；（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于G，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，得出此時(shí)的值最小，最小值為，根據(jù)，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案為：；（2）解：．理由如下：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)J，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為2，故答案為：2．（4）解：作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于G，如圖所示：

根據(jù)解析（3）可知，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)，∵，∴，∵兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，∴此時(shí)的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時(shí)出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．2．（2023春·江西鷹潭·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）綜合與探究問(wèn)題提出：數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)問(wèn)題：在中，，于點(diǎn)D，E為上的一動(dòng)點(diǎn)，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在上，于點(diǎn)E，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

特例故知：（1）勤奮小組從特殊情況入手：如圖1，，E為的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．變式探究（2）希望小組受此啟發(fā)，作了如下改變：如圖2，將（1）中“”改為“”，其他條件不變，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展提高（3）經(jīng)過(guò)前兩個(gè)小組的探究，智慧小組將該問(wèn)題的條件更一般化：如圖3，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3），證明見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，垂足分別為，證明，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作，垂足分別為，證明，結(jié)合解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)E作，垂足分別為，證明，結(jié)合解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作，垂足分別為，

∵，，，∴，∵，∴和為等腰直角三角形，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)E作，垂足分別為，

同理可得四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，即；（3）過(guò)點(diǎn)E作，垂足分別為，

同（2）可得，∴，∵，，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用類(lèi)比的方法解題是本題的關(guān)鍵．【類(lèi)型六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問(wèn)題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問(wèn)題：【初步認(rèn)識(shí)】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點(diǎn)M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點(diǎn)，連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)O，E是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)，，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①證明見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析；(3)或4．【分析】（1）根據(jù)題可得、，然后根據(jù)同角的余角相等即可證明結(jié)論；（2）①先證明可得，再說(shuō)明是的中位線(xiàn)可得，再結(jié)合即可證明結(jié)論；②先說(shuō)明和都是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，再說(shuō)明可得可得、，即可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，與交于點(diǎn)K，證明，由相似三角形的性質(zhì)得即可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，同理解答即可【詳解】（1）證明：，．．，．．

（2）①．，即．，由（1）知，．．∵M(jìn)，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)．．．②，理由如下：連接，，由①知，，．，，∴和都是等腰直角三角形．，．．又為中點(diǎn)，M為中點(diǎn)，，．．．，．，．．．．．．

（3）解：①如圖：當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，與交于點(diǎn)K，

,∴∵四邊形是矩形，∴，∴∴四邊形是矩形，,∵，O為的中點(diǎn)，∴，同理：，，，又，∴，∴，即，解得：∴；②如圖：當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，

同理可得，即，解得：，∴．綜上，的長(zhǎng)為或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線(xiàn)的一個(gè)結(jié)論．如圖1，是的角平分線(xiàn)，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時(shí)思路，利用圖（2）請(qǐng)證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線(xiàn)l上從左到右順次的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)外一動(dòng)點(diǎn)，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長(zhǎng)至D，使，若的長(zhǎng)為定值，請(qǐng)求出這個(gè)值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點(diǎn)在l外運(yùn)動(dòng)時(shí)，使為定值，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)__________（用含m、n的式子表示）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；【嘗試應(yīng)用】①2，【拓展提高】②【分析】（1）作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，可證得，因此，再證，從而得出；（2）延長(zhǎng)至T，使，連接，可證得，，進(jìn)而證得，進(jìn)而證得，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）延長(zhǎng)至Q，使，連接，作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，由得出，由平分得出，不妨設(shè)，，則，由得出，進(jìn)而得出．【詳解】（1）證明：如圖1，作，交的延長(zhǎng)