專題09 模型構(gòu)建專題：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略（解析版）

專題09模型構(gòu)建專題：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一（雙）A字型相似基本模型】 1【類型二（雙）8字型相似基本模型】 7【類型三母子型相似基本模型】 16【類型四手拉手型相似基本模型】 21【類型五K字型相似基本模型】 32【類型六三角形內(nèi)接矩形基本模型】 37【典型例題】【類型一（雙）A字型相似基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．例題：如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，，若，則等于（

）

A．4.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】證即可利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)．注意確定對(duì)應(yīng)線段．2．如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)，，可得，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，，故A，B，C選項(xiàng)正確；∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是等邊三角形，，是邊上的高，是線段上一點(diǎn)，過作的平行線交于，交的延長(zhǎng)線于，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】證得，得到，即，求解即可．【詳解】解：是邊上的高，，，，，是等邊三角形，，，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，證得是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，，射線分別交線段，于點(diǎn)，，且．求證：．【答案】見解析【分析】先證明．可得，結(jié)合，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：，，，，．∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．5．已知：在中，，，，，與交與點(diǎn)E．

(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)周長(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理求得，由已知條件得到，通過，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件推出，由三角形相似得到是等腰三角形，于是得到，設(shè)，則，列方程即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵周長(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等，∴，即，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類型二（雙）8字型相似基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．例題：如圖，在中，，過點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因?yàn)?列出關(guān)于MN的方程，即可求出MN的長(zhǎng)．【詳解】∵M(jìn)N⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對(duì)應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知、，與相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】證明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．【詳解】解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，∴，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，求出．2．如圖中，、為的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，則．

【答案】【分析】首先過點(diǎn)M作，交分別于K，N，由M是的中點(diǎn)與、為的三等分點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得，，，然后根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)M作，交分別于K，N，

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∵、為的三等分點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，，設(shè)，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理與比例的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．如圖，和都是的高，相交于F點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為__________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，即，再根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，由(1)，可得，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明:∵是的高,∴,∵,∴，∴，即，又∵,∴；（2）∵點(diǎn)是的中點(diǎn),,∴,在中,∵,，，∵，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明.4．如圖，在中，點(diǎn)E在上，，和相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G．

(1)求的值．(2)若，①求證：．②求證：．【答案】(1)(2)①詳見解析；②詳見解析【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)平行線的性質(zhì)，通過證明，得；再結(jié)合，根據(jù)平行線性質(zhì)，通過證明，根據(jù)相似比的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）①，根據(jù)題意計(jì)算得；結(jié)合（1）的結(jié)論，得，從而推導(dǎo)得，通過證明，即可完成證明；②根據(jù)（2）①的結(jié)論以及平行線的性質(zhì)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可完成證明．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，即；（2）證明：①設(shè)，∵，∴，∴，由（1）的結(jié)論，得：，∴，∴，即：，∵，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、平行線、相似三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．5．如圖1，矩形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與、重合，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，

(1)當(dāng)時(shí)，求的面積用含、的代數(shù)式表示）(2)若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接、，求證、、三點(diǎn)共線；(3)如圖2，當(dāng)為何值時(shí)，與的面積之和最?。敬鸢浮?1)(2)見解析(3)當(dāng)時(shí)，與的面積之和最小【分析】（1）由矩形性質(zhì)，得到，由，即可得到，則，可得，可求出，然后求出面積；（2）由，得到，進(jìn)而證明，然后得到，由，即可得到，即可得證；（3）過點(diǎn)作交、于、，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)線段成比例，求出的值；然后根據(jù)面積之和，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根的判別式，求出面積的取值范圍，當(dāng)面積最小時(shí)，求出的值，然后得到的值．【詳解】（1）解：如圖①：

四邊形是矩形，，，，，，，，∴，，∴．（2）四邊形是矩形，，，，點(diǎn)、是、的中點(diǎn)，，又，，又，即，、、三點(diǎn)共線（3）如圖②，過點(diǎn)作交、于、．

設(shè)，則，，，，，設(shè)與的面積之和為，則，①關(guān)于的方程①有實(shí)數(shù)根，，即，，，，即，當(dāng)時(shí)，由方程①可解得滿足題意，，，當(dāng)時(shí)，與的面積之和最?。军c(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解一元二次方程以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，利用根的判別式求出的最小值，從而得到答案．【類型三母子型相似基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．例題：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)4．【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進(jìn)而得到∠A＝∠CBD，再根據(jù)∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；（2）根據(jù)∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）證明：如圖，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如圖，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．2.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖（2），過點(diǎn)A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①見解析；②．【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．3．如圖，在中，是邊上一點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，①求證：；②若，，求的長(zhǎng)；(2)已知，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①根據(jù)相似三角形判定方法對(duì)應(yīng)角相等證明即可；②利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊呈比例求解即可；（2）據(jù)相似三角形判定方法對(duì)應(yīng)邊呈比例證明，由，，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵，，∴；②解：∵，∴，即，∴；（2）解：∵，∴.∵，∴，∴.，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類型四手拉手型相似基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái)源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．例題：【問題情境】如圖1，在中，，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，連接．如圖2，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖2，當(dāng)時(shí)，_________．【方法遷移】如圖3，矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．四邊形為矩形，連接．如圖4，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)角為α，連接．請(qǐng)?zhí)骄烤匦涡D(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】如圖5，若將上題中的矩形改為“平行四邊形”且，矩形改為“平行四邊形”，其他條件不變，如圖6，在平行四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出_________．

【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：；方法遷移：；拓展延伸：【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由勾股定理求出根據(jù)三角形中位線定理求出再證明可得結(jié)論；方法遷移：由勾股定理求出再證明可得結(jié)論；拓展延伸：先求出再證明可得結(jié)論．【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，∵分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴,由勾股定理得,∴,如圖2，由旋轉(zhuǎn)得∴即又∵∴,∴故答案為方法遷移：理由如下：連接，如圖，

∵，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，在矩形中，在中，由勾股定理得，同理可求得∵，∴，∴，又∵，∴，∴；拓展延伸：連接過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，如圖5，

∵，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，四邊形分別是平行四邊形，∴∴∴∴∴∴∴同理可得，；如圖6，連接

由旋轉(zhuǎn)得，∴又∵∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的屬性持，平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠識(shí)別圖形，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無(wú)法確定【答案】B【解答】，，，∴，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故選：B．2．如圖①，正方形和正方形，連接，．

(1)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖②，①線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線之間的位置關(guān)系是________．(2)探究：如圖③，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，證明：直線．(3)應(yīng)用：在（2）情況下，連接（點(diǎn)在上方），若，且，，則線段是多少？（直接寫出結(jié)論）【答案】(1)，(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而得出，，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（2）先利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等判斷出，得出，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（3）先求出，進(jìn)而得出，即可得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出，求出，借助（2）得出的相似，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵四邊形和四邊形是正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴；②如圖2，延長(zhǎng)交于M，交于H，

由①知，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴（2）∵四邊形和四邊形都為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖4，（為了說(shuō)明點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條線上，特意畫的圖形）

∵，∴在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上如圖5，

∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，由（2）知，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出三角形全等和相似是解本題的關(guān)鍵．3．【問題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，則的值是；【問題探究】（2）如圖2，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上任一點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)N，若，，求四邊形面積的最大值；【問題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃?xì)夤艿罁屝?，需在米，米的矩形平面開挖一個(gè)的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對(duì)市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證，即可求得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證，設(shè)，分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況討論，分別求出關(guān)于的一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得和的比值，然后根據(jù)三角形外接圓性質(zhì)得，，最后根據(jù)三角形面積公式可得答案．【詳解】（1）是等腰直角三角形，，，，；，，也是等腰直角三角形，，，，，，，，故答案為：，；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，四邊形是矩形，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為6，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，，四邊形面積的最大值；

（3）四邊形是矩形，，，如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形是矩形，且，，設(shè)的外接圓半徑為，，，由題意得，即，，，的面積最小值為，的面積最小值為．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．【類型五K字型相似基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形例題：如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE．(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）CD＝．【詳解】(1)證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝.【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知矩形，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過程見詳解(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得，由此可得，根據(jù)相似三角形的判定即可求解；（2）由（1）可知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，且，∴．（2）解：∵，，∴，且，由（1）可知，，∴，即，解得，，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）8．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先利用勾股定理求出PC的長(zhǎng)，從而可得BP的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已證：，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，，又，，，設(shè)，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．【類型六三角形內(nèi)接矩形基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，例題：如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，在BC邊上放兩個(gè)小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【答案