2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章三角恒等變換2.1兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊(cè)

PAGE§2兩角和與差的三角函數(shù)公式2.1兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.cos285°等于()A.6-24C.2-64 D解析cos285°=cos(360°-75°)=cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=6-答案A2.計(jì)算cosπ4-αA.2 B.-2 C.22 D.-解析cos=22答案C3.滿意sinαsinβ=-cosαcosβ的一組值是()A.α=β=90° B.α=18°,β=72°C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°解析由sinαsinβ=-cosαcosβ可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,只有C項(xiàng)符合.答案C4.在△ABC中,sinAsinB<cosAcosB,則△ABC是()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.銳角三角形 D.等腰三角形解析由題意,得cosAcosB-sinAsinB>0,則cos(A+B)>0,所以cos(π-C)>0,即cosC<0,所以∠C是鈍角.答案B5.(多選)已知sinα=55,sin(α-β)=-1010,α,β均為銳角,則β=(A.cos(α-β)=-31010 B.cos(α-β)C.cosα=255 D.β解析因?yàn)棣?β均為銳角,所以-π2<α-β<π又sin(α-β)=-1010,所以cos(α-β)=31010.故A錯(cuò)誤又sinα=55,所以cosα=255,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=255×31010+55×-1010=22,答案BCD6.(多選)滿意cosαcosβ=32-sinαsinβ的一組α,β的值是(A.α=13π12,β=3π4 B.α=πC.α=π2,β=π6 D.α=π12,解析因?yàn)閏osαcosβ=32-sinαsinβ所以cosαcosβ+sinαsinβ=32,即cos(α-β)=3當(dāng)α=13π12,β=3π4時(shí),α-β=π3,cos(α-β)=1當(dāng)α=π2,β=π3時(shí),α-β=π6,cos(α-β)=32,當(dāng)α=π2,β=π6時(shí),α-β=π3,cos(α-β)=12,當(dāng)α=π12,β=π4時(shí),α-β=-π6,cos(α-β)=32,答案BD7.化簡(jiǎn)cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=.

解析原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=12答案18.(2024江西南昌高一檢測(cè))已知α為三角形的內(nèi)角且12cosα+32sinα=12,則α=解析因?yàn)?2cosα+32sinα=cosπ3cosα+sin=cosα-π3=12,又0<α<π,-π3<α-π3<2π3,所以α-答案239.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=255,求cos(α-β解因?yàn)閍=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).所以|a-b|=(=co=2-所以2-2cos(α-β)=45,所以cos(α-β)=3實(shí)力提升練1.已知sinα=35,α∈0,π2,則cos7π4+α等于()A.425 B.-7210 C.-解析由題意可知cosα=45cos7π4+α=cos2π-π4+α=cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ答案D2.已知銳角α,β滿意cosα=35,cos(α+β)=-513,則cos(2π-β)的值為(A.5465 B.-5465 C.3365 D解析因?yàn)棣?β為銳角,cosα=35,cos(α+β)=-5所以sinα=45,sin(α+β)=12所以cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-513答案C3.在△ABC中,cosA=35,且cosB=513,則cosC的值是解析因?yàn)樵凇鰽BC中,cosA=35,可知A為銳角所以sinA=1-因?yàn)閏osB=513,可知B也為銳角所以sinB=1-所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=45答案334.若sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=12,則cos(α-β)的值為(A.12 B.32 C.34解析由sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=12,得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=34,cos2α+cos2β-2cosαcosβ=14,以上兩式相加得2-2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,所以sinαsinβ+cosαcosβ=12,故cos(α-答案A5.已知α∈0,π2,tanα=2,則cosα-解析由tanα=2,得sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1,α∈0,所以cosα=55,sinα=2所以cosα-π4=cosαcosπ4+=55答案36.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=3解析因?yàn)?<α<π2,所以π4<π4又cosπ4+α=1因?yàn)?π2<β<0,所以π又cosπ4-β2=于是cosα+β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ答案67.已知函數(shù)f(x)=2sin13x-π6(1)求f5π4(2)設(shè)α,β∈0,π2,f3α+π2=1013,f(3β+2π)=解(1)f5π4=2sin13×5π4-(2)f3α所以2sin13所以sinα=513,又因?yàn)閒(3β+2π)=6所以2sin13(3β+2π)-因?yàn)棣?β∈0,π2,所以cosα=1213,sin所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=1213素養(yǎng)培優(yōu)練1.若α,β都是銳角,且cosα=55,sin(α-β)=1010,則cosβ=(A.22 B.C.22或-210 D解析因?yàn)棣?β都是銳角,且cosα=55,sin(α-β)=1010,所以sinα=255,cos(α-β)=31010,從而cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)答案A2.(2024浙江杭州十四中月考)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,則cosα+π4=.

解析因?yàn)棣?β∈3π4,π,所以α+β∈