2024-2025學年新教材高中數學第11章立體幾何初步章末綜合提升教案新人教B版必修第四冊

PAGE1-11立體幾何初步[鞏固層·學問整合][提升層·題型探究]空間幾何體的表面積與體積【例1】17世紀日本數學家們對于數學關于體積方法的問題還不了解，他們將體積公式“V＝kD3”中的常數k稱為“立圓術”或“玉積率”，創(chuàng)用了求“玉積率”的獨特方法“會玉術”，其中，D為直徑，類似地，對于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式V＝kD3，其中，在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長．假設運用此“會玉術”求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3A．eq\f(π,4)∶eq\f(π,6)∶1 B．eq\f(π,6)∶eq\f(π,4)∶2C．1∶3∶eq\f(12,π) D．1∶eq\f(3,2)∶eq\f(6,π)D[球中，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq\s\UP12(3)＝eq\f(π,6)D3＝k1D3，所以k1＝eq\f(π,6)；等邊圓柱中，V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq\s\UP12(2)·D＝eq\f(π,4)D3＝k2D3，所以k2＝eq\f(π,4)；正方體中，V＝D3＝k3D3，所以k3＝1，所以k1∶k2∶k3＝eq\f(π,6)∶eq\f(π,4)∶1＝1∶eq\f(3,2)∶eq\f(6,π).]記牢常見幾何體的表面積、體積公式是解決此類問題的關鍵.涉及古代文化背景的題目，首先讀懂題意，再按題意與所學的學問聯系起來，將問題轉化為我們熟識的問題后再解決.eq\o([跟進訓練])1．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為()A．142π平方尺 B．140π平方尺C．138π平方尺 D．128π平方尺C[可以把該四棱錐補成一個長方體，長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，四棱錐的外接球就是長方體的外接球，其直徑為eq\r(72＋52＋82)＝eq\r(138)尺，所以表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(138),2)))eq\s\UP12(2)＝138π平方尺．]與球有關的切、接問題【例2】求棱長為a的正四面體的外接球、內切球及棱切球的半徑．[思路探究]正四面體的內切球、外接球、棱切球的球心與正四面體的中心O重合，則內切球的半徑為點O到各面的距離，外接球的半徑為點O到各頂點的距離，棱切球的半徑為點O到各棱的距離．[解]由正四面體的對稱性與球的對稱性知正四面體的外接球、內切球、棱切球的球心都與正四面體的中心重合．如圖所示，設正四面體A-BCD的高為AG，O為正四面體的中心，連接CG并延長交BD于點E，連接OC，OE，則外接球的半徑R＝OA＝OC．由題意可得CE＝eq\f(\r(3)a,2)，則CG＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(\r(3)a,3)，EG＝eq\f(1,3)CE＝eq\f(\r(3)a,6)，所以AG＝eq\r(AC2－CG2)＝eq\f(\r(6)a,3).所以OG＝eq\f(\r(6)a,3)－R.在Rt△OCG中，OC2＝OG2＋CG2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)a,3)－R))eq\s\UP12(2)＋eq\f(a2,3)，解得R＝eq\f(\r(6)a,4).所以內切球的半徑r＝OG＝eq\f(\r(6)a,3)－eq\f(\r(6)a,4)＝eq\f(\r(6)a,12).棱切球的半徑為OE＝eq\r(EG2＋OG2)＝eq\r(\f(a2,12)＋\f(a2,24))＝eq\f(\r(2)a,4).常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案如下：eq\o([跟進訓練])2．(1)已知正方體的外接球的體積是eq\f(32π,3)，那么正方體的棱長是()A．2eq\r(2)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(4\r(2),3)D．eq\f(4\r(3),3)(2)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)(1)D(2)B[(1)依據球的體積，求得其半徑r＝2，再由r＝eq\f(\r(3)a,2)可得棱長a為eq\f(4\r(3),3).(2)設等邊△ABC的邊長為x，則eq\f(1,2)x2sin60°＝9eq\r(3)，解得x＝6.設△ABC的外接圓半徑為r，則r＝2eq\r(3)，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝eq\r(42－2\r(3)2)＝2，則點D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×6＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).]空間中的平行關系【例3】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．[思路探究]假設存在滿意條件的點F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM與平面AFC、平面PMD分別交于直線AF，PM，則必有AF∥PM，又PB＝2MA，則點F是PB的中點．[解]當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖，連接AC和BD交于點O，連接FO，那么PF＝eq\f(1,2)PB．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點．∴OF∥PD．又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MAeq\f(1,2)PB，∴PFMA．∴四邊形AFPM是平行四邊形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC．∴平面AFC∥平面PMD．空間中的平行關系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關系相互滲透．在解決線面、面面平行問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而利用性質定理時，其依次相反，且“高維”的性質定理就是“低維”的判定定理．特殊留意，轉化的方法由詳細題目的條件確定，不能過于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律．3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.[證明]連接AC交BD于O，連接MO，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以O為AC的中點，又因為M為PC的中點，所以MO∥AP，又因為MO?平面BDM，PA?平面BDM，所以PA∥平面BDM，又因為PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM＝GH，所以PA∥GH.空間中的垂直關系【例4】如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側面BB1C(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；(2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于點M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側面[解](1)證明：因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC．因為底面ABC⊥側面BB1C1C，底面ABC∩側面BB1所以AD⊥側面BB1C所以AD⊥CC1.(2)延長B1A1與BM的延長線交于點N，連接C1N因為AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因為A1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C所以C1N⊥側面BB1C因為C1N?截面MBC1，所以截面MBC1⊥側面BB1C空間中的垂直關系包括線與線的垂直、線與面的垂直及面與面的垂直，三種垂直關系是本章學習的核心，學習時要突出三者間的互化意識．如在證明兩平面垂直時一般從現有直線中找尋平面的垂線，若這樣的垂線不存在，則可通過作協助線來解決．如有面面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，進一步轉化為線線垂直．eq\o([跟進訓練])4．如圖，ABCD是正方形，點P在以BC為直徑的半圓弧上(P不與B，C重合)，E為線段BC的中點，現將正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP.(1)證明：BP⊥平面DCP；(2)若BC＝2，當三棱錐D-BPC的體積最大時，求E到平面BDP的距離．[解](1)證明：因為平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，平面ABCD∩平面BPC＝BC，所以DC⊥平面BPC．因為BP?平面BPC，所以BP⊥DC．因為點P在以BC為直徑的半圓弧上，所以BP⊥PC．又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP.(2)當點P位于eq\o(BC,\s\up10(︵))的中點時，△BCP的面積最大，三棱錐D-BPC的體積也最大．因為BC＝2，所以PE＝1，所以△BEP的面積為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以三棱錐D-BEP的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).因為BP⊥平面DCP，所以BP⊥DP，DP＝eq\r(2\r(2)2－\r(2)2)＝eq\r(6)，△BDP的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(6)＝eq\r(3).設E到平面BDP的距離為d，由于VD-BEP＝VE-BDP，則eq\f(1,3)×eq\r(3)×d＝eq\f(1,3)，得d＝eq\f(\r(3),3)，即E到平面BDP的距離為eq\f(\r(3),3).空間中的角的求解【例5】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq\r(3)，SC＝1.(1)畫出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度數；(2)求三棱錐S-ABC的體積．[解](1)取AB中點D，連接SD，CD，因為SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，所以SD⊥AB，CD⊥AB，且SD?平面SAB，CD?平面CAB，所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．在直角三角形SDA中，SD＝eq\r(SA2－AD2)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，在直角三角形CDA中，CD＝eq\r(CA2－AD2)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，所以SD＝CD＝SC＝1，所以△SDC是等邊三角形，所以∠SDC＝60°.(2)法一：因為SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，所以AB⊥平面SDC，又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SDC，且平面ABC∩平面SDC＝CD，在平面SDC內作SO⊥DC于O，則SO⊥平面ABC，即SO是三棱錐S-ABC的高．在等邊△SDC中，SO＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐S-ABC的體積VS-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·SO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).法二：因為SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，所以AB⊥平面SDC．在等邊△SDC中，S△SDC＝eq\f(\r(3),4)SD2＝eq\f(\r(3),4)，所以三棱錐S-ABC的體積VS-ABC＝VA-SDC＋VB-SDC＝eq\f(1,3)S△SDC·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×2eq\r(3)＝eq\f(1,2).1．兩條異面直線所成的角(1)一般通過平移(在所給圖形內平移一條直線或平移兩條直線)或補形(補形的目的仍是平移)，把異面直線所成角轉化為共面直線所成角來計算．(2)平移時常常利用某些特殊點(如中點)或中位線、成比例線段來實現，補形時常常把空間圖形補成熟識的或完整的幾何體(如正方體、長方體、平行六面體等)．2．直線和平面所成的角當直線為平面的斜線時，它是斜線與斜線在平面內的射影所成的角，通常在斜線上取一特殊點向平面作垂線找到這個銳角，然后通過解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步驟一找(找尋現成的二面角的平面角)；二作(若沒有找到現成的，須要引出協助線作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出該角相應的三角函數值)．eq\o([跟進訓練])5．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)A[如圖，分別取BC，CD，AD，BD的中點M，N，P，Q，連接MN，NP，MP，PQ，MQ，則MN∥BD，NP∥AC，所以∠PNM即為異面直線AC和BD所成的角(或其補角)．又由題意得PQ⊥MQ，PQ＝eq\f(1,2)AB，MQ＝eq\f(1,2)CD．設AB＝BC＝CD＝2，則PM＝eq\r(2).又MN＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，NP＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，所以△PNM為等邊三角形，所以∠PNM＝60°，所以異面直線AC與BD所成角為60°，其余弦值為eq\f(1,2).][培優(yōu)層·素養(yǎng)升華]【例題】如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離．[思路探究](1)連接B1C，ME，可得四邊形MNDE為平行四邊形，進而得出MN∥DE，可證MN∥平面C1DE(2)由已知可證DE⊥平面C1CE，過點C作CH⊥C1E于點H，則DE⊥CH，進而可證CH⊥平面C1DE，計算可得CH的長，從而得所求距離．[解](1)證明：如圖所示，連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C．又因為N為A1D的中點，所以ND＝eq\f(1,2)A1D．由題設知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED．又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)如圖所示，過點C作C1E的垂線，垂足為H.