同濟大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版上冊答案

所以反常積分發(fā)散所以反常積分收斂，且所以解。~。~所以反常積分發(fā)散當(dāng)k=1時，當(dāng)k>1時，因此當(dāng)k>1時，反常積分收斂；當(dāng)k≤1時，反常積分發(fā)散.令f'(k)=0得唯一駐點為極小值點，同時也是最小值點，即當(dāng)時，這反常積分取得最小值3.利用遞推公式計算反常積所以I=n-(n-1)·(n-2)…2·I?.又因為所以I=n-(n-1)·(n-2)…2·I?=n!(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上(常義)有界是f(x)在[a,b]上可積的答答必要,充分(2)對[a,+o]上非負、連續(xù)的函數(shù)f(x),它的變上限積在[a,+]上有界是反常積分收斂的條件；答答充分.(3)絕對收斂的反常積分答答收斂.(4)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義且Jf(x)在[a,b]上可積，此時積分存在解解解寸寸解由洛必達法則解3.下列計算是否正確，試說明理由：所以所以61317解不正確，因為4.設(shè)p>0,證明而71317證明又所以證明已知有不等式即7.計算下列積分：解8/317解所以,,所以解解22(1)F'(x)≥2;證明10.設(shè)解即1.求圖中各畫斜線部分的面積：解法一畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為[0,1].所求的面積為解法二畫斜線部分在y軸上的投影區(qū)間為[1,e].所求的面積為解畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為[-3,1].所求的面積為解畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為[-3,1].所求的面積為2.求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：①①yA?A?X-z解所求的面積為解所求的面積為y=xx(3)y=e,y=e-*與直線x=1;解所求的面積為解所求的面積為yy=eJ=e(4)y=lnx,y軸與直線y=Ina,y=Inb(b>a>0).解所求的面積為ylnbx0x成的圖形的面積.解y=-2x+4.兩切線的交點為,所求的面積為yy=4x-3)xy=-2x+632O4.求拋物線y2=2px及其在點處的法線所圍成的圖形的面積.".,".,本求得法線與拋物線的兩個交點和法線與拋物線所圍成的圖形的面積為法線的斜率k=-1,法線的方程為y5.求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：(1)p=2acos0;yθ解所求的面積為yθp=2acospθ(2)x=acos3t,y=asin3t;解所求的面積為解所求的面積為x=acos3ty=asin3t—(y04(3)p=2a(2+cos0)y解所求的面積為p=2a(2+cosθ)y解所求的面積為4a00=18πa2.解所求的面積為yx=a(I-sint),y=a(1-cost)x=3a2π.x解所求的面積為8.求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積.(1)p=3cosθ及p=1+cosθyyp=3cosAp=l+cosθ重B交點M的極坐標(biāo)為M所求的面積為p2=cos20yy1y=e所求面積為0x最小值.A?成的圖形的面積為A=A?+A?.A?ax2ayy2=4yy2=4axyxa—a0ax-aHOR-x解,x=0,x=a,y=0,繞x軸；19/317解(3)x2+(y-5)2=16,繞x軸.解x=a(I-x=a(I-sint),y=a(1-cost)y解16.16.求圓盤x2+y2≤a2繞x=-b(b>a>0)旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.y17.設(shè)有一截錐體，其高為h,上、下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為2a、2b和2A、2B,求這截錐體的體積.tba-0A—Bxy所以RX19.19.證明由平面圖形0≤a≤x≤b,O≤y≤fx)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)dV=2πxf(x)dx,xx+dxbxay21/317解解了解了解3…5y,23.計算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長度.所求弧長因為2yy=2(x-12,所以●●長.解25.計算星形線x=acos3t,y=asin3t的全長.解用參數(shù)方程的弧長公式.解用參數(shù)方程的弧長公式.—ax=a(cost+tsint),y=a(sint-fcost).解由參數(shù)方程弧長公式,,524/317解用極坐標(biāo)的弧長公式.29.求曲線pO=1相應(yīng)于自至的一段弧長.解按極坐標(biāo)公式可得所求的弧長解用極坐標(biāo)的弧長公式.拉伸6cm,計算所作的功.解將彈簧一端固定于解將彈簧一端固定于A,另一端在自由長度時的點0為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系.功元素為dW=ksds,所求功為2.直徑為20cm、高80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強為10N/cm2的蒸汽.設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功?PV=k=10-(π102.80)=80000π.聲聲B(0,10)yxYx所求功為0dP=1·x·2dx=2xdx,—2m-2m0解建立坐標(biāo)系如圖，則橢圓的方程為解建立坐標(biāo)系如圖，則橢圓的方程為4m—2m壓力元素為9.有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長109.有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長10m和6m,高為20m.較長的底邊與水面相齊.計算閘門的一側(cè)所受的水壓力.解建立坐標(biāo)系如圖.直線AB的方程為Oxydx壓力元素為xA(20,3)受的壓力.2A(0,0)Oyx+dx所求壓力為B要*要*yy0ds=Rdθ0方向自M點起指向圓弧中點.引力的大小為y1.一金屬棒長3m,離棒左端xm處的線密度為解解因x應(yīng)滿足所以2√x+1-2=1,2.求由曲線p=asin0,p=a(cos0+sinO)(a>0)所圍圖形公共部分的面積.yyp=a(cosO+sin0aD=asine005** 于是b=2.解所求旋轉(zhuǎn)體的體積為yyOO=4π2.Ox=√6+1n(√2+√3).薄片在水下上升的高度為r+x,在水上上升的高度為r-x.在水下對dIW=gπ(r-x)(r2-x2)dx,O平行于液面而位于深h處，設(shè)a>b,液體的比重為p,試求薄板每面ryxx+dxob薄板各面所受到的壓力為αax在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.34/317解解2w-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)是平行四邊形.證明證明這說明四邊形ABCD的對邊AB=CD且AB//CD,從而四邊形ABCD是平行四邊形.DC=0C-OD,因為而所以AB0把各分點與點A連接.試以AB=c、BC=a表示向量DA、D?A、D?A解解D?AC1D4.已知兩點M(0,1,2)和M?(1,-1,0).試用坐標(biāo)表示式表示向量MM?及-2M,M?.35/317或A(1,-2,3);B(2,3,-4);C(2,-3,-4);D(-2,-3,1).7.在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)各有什么特征?指出下A(3,4,0);B(0,4,3);C(3,0,0);D(0,-1,0).A;B;C;D(0,-1,0).D(0,0,z)在y軸上.稱點的坐標(biāo).解解(1)點(a,b,c)關(guān)于xOy面的對稱點為(a,b,-c);點(a,b,c)關(guān)于yOz面的對稱點為(-a,b,c);點(a,b,c)關(guān)于zOx面的對稱點為(a,-b,c).的對稱點為(-a,b,-c);點(a,b,c)關(guān)于z軸的對稱點為(-a,-b,c).垂足的坐標(biāo).(xo,yo,0)、(0,yo,z?)和(xo,0,z?).10.過點Po(xo,yo,zo)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面解在所作的平行于z解在所作的平行于z軸的直線上，點的坐標(biāo)為(xo,J0,z);在所11.一邊長為α的立方體放置在xOy面上，其底面的中心在坐標(biāo)原點，底面的頂點在x軸和y軸上，求它各頂點的坐標(biāo).37/317解因為底面的對角線的長為解因為底面的對角線的長為√2a,所以立方體各頂點的坐標(biāo)分別為事,12.求點M(4,-3,5)到各坐標(biāo)軸的距即d?=√42+(-3)2=5.13.在yOz面上，求與三點A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)解設(shè)所求的點為解設(shè)所求的點為P(0,y,z)與A、B、C等距離，則PAl2=32+(y-1)2+(z-2)2,PB|2=42+(y+2)2+(z+2)2,PC|2=(y-5)2+(z-1)2.解之得y=l,z=-2,故所求點為(0,1,-2).角形是等腰三角直角三角形.解因為解因為AB=√00-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7,AC=√(2-4)2+(4-1)2+(3-9)2=7,BC=√(2-10)2+(4+1)2+(3-6)2=7√2,因此△ABC是等腰直角三角形.15.設(shè)已知兩點M?(4,√2,1)和M?(3,0,2).計算向方向余弦和方向角.解MM?=(3-4,0-√2,2-1)=(-1,√2,1);MM?F√(-1)2+(√2)2+l2=2;**5555解(1)當(dāng)解(1)當(dāng)cosa=0時，向量垂直于x軸，或者說是平行于yOz面.直于xOy面.17.設(shè)向量r的模是4,它與軸u的夾角是60°,求r在軸u上的投影.39/317影依次為4,-4,7.求這向量的起點A的坐標(biāo).解得x=-2,y=3,z=0.點A的坐標(biāo)為A(-2,3,0).解因為解因為所以a=4m+3n-p在x軸上的投影為13,在y軸上的分向量7j.練習(xí)練習(xí)7-2解(1)ab=3×1+(-1)×2+(-2)×(-1)=3,(2)(-2a)·3b=-6a:b=-6×3=-18,a×2b=2(a×b)=2(5i計j+7k)=10i+2j+14k.于是M?M?同時垂直的單位向量.解M?M?=(3-1,3+1,1-2)=(2,4,-1),M?M?=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2,2).n=√36+16+16=2√17,所求向量為4.設(shè)質(zhì)量為1004.設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點Mi(3,1,8)沿直線稱動到點M?(1,4,2),計算重力所作的功(長度單位為m,重力方向為z軸解F=(0,0,-100×9.8)=(0,0,-980),S=M,M?=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6).W=F:S=(0,0,-980)·(-2,3,-6)=5880(焦耳).5.在杠桿上支點O的一側(cè)與點O的距離為xi的點P?處，有一與成角01的力Fi作用著；在O的另一側(cè)與點O的距離為x?的點符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡?解因為有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，解因為有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，x1|Fi?|·sinθ?-x2|F?|·sinθ?=0,6.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影.解Aa+μb與z軸垂直??(3A+2μ,5A+μ,-2A+4)-(0,0,1)=0,8.試用向量證明直徑所對的圓周角是直角.42/317OB=-OA,|OC=OA|.因為=(OC-Q4)·(OC+OA)=OCl2-|OA|2=0,所以AC⊥BC,∠C=90°.(a·b)c-(a·c)b=8c-8b=8(c-b)=8[(i-2j)-(i-j+3k)]=-8j-24k.b+c=2i-3j+3k,解(a×b)·c=-8×1+(-5)×(-2)+1×0=2.10.已知OA=i+3j,OB=j+3k,求△OAB的面積.43/317解根據(jù)向量積的幾何意義，|解根據(jù)向量積的幾何意義，|OAxOB|表示以O(shè)A和OB為鄰邊因為0A×OB=√(-3)3+(-3)2+l2=√19,所以三角形△OAB的面積為解解設(shè)a=(a?,a2,a?),b=(b?,b?,b?),則有a·b=al-lb|cos(a,b)≤|al·lb于是√a2+a2+a}√b2+b2+b3≥qb?+a?b?+a?b?I,其中當(dāng)cos(a,b)=1時，即a與b平行是等號成立.練習(xí)7-31.一動點與兩定點(2,3,1)和(4,5,6)等距離，求這動點的軌跡方程.解設(shè)動點為M(x,y,z),依題意有(x-2)2+(y-3)2+(z-1)2=(x-4)2+(v-5)2+(z-6)2,4x+4y+10z-63=0.球面方程為(x-12+(v-3)2+(z+2)2=14,即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0.解由已知方程得解由已知方程得(x2-2x+l)+(y2+4y+4)+(z2+2z+1)=1+4+1,即(x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=(√6)2,45/317解將方程中的解將方程中的x換成±√x2+y2得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2+y2+z2=9.7.將xOy坐標(biāo)面上的雙曲線4x2-9y2=36分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解雙曲線繞解雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x2-9y2-9z2=36.雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x2+4z2-9y2=36.8.畫出下列方程所表示的曲面：AZyZ23XZZkxZZ22x9.指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別(1)x=2;解在平面解析幾何中，解在平面解析幾何中，x=2表示平行于y軸的一條直線；在空間解析幾何中，x=2表示一張平行于yOz面的平面.47/317(2)y=x+l;(3)x2+y2=4;(4)x2-y2=1.10.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：是zOx面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.(3)x2-y2-z2=1;48/317或是yOz面上的曲線(z-a)2=y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.11.畫出下列方程所表示的曲面：ZZXZZAyLIE/6tXAOZAZZZoyFx表示橢圓柱面與其切5.將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程：,x=1+v3cost,y=√3sinf,z=0.6.求螺旋線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程.;解圓柱體解圓柱體x2+y2≤ax在xOy面上的投影為x2+y2≤ax,它含在圓柱體的公共部分在xOy面上的投影為x2+y2≤ax.程x2+y2=ax得y2=ax-x2,代入半球面方程z=√a2-x2-y2,得z=√a2-ax(0≤x≤a),于是半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影為8.求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在三坐標(biāo)面上的投影，解令解令z=4得x2+y2=4,于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在x令x=0得z=y2,于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在yOz面上的投影為y2≤z≤4.令j=0得z=x2,于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在zOx面上的投影為x2≤z≤4.1.求過點(3,0,-1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程。解所求平面的法線向量為n=(3,-7,5),所求平面的方程為解所求平面的法線向量為n=(3,-7,5),所求平面的方程為2.求過點Mo(2,9,-6)且與連接坐標(biāo)原點及點Mo的線段OMo垂直的平面方程.解所求平面的法線向量為解所求平面的法線向量為n=(2,9,-6),所求平面的方程為2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0,即2x+9y-6z-121=0.54/3173.求過(1,1,-1)、(-2,-2,2)、(1,-1,2)三點的平面方程.解n?=(1,-1,2)-(1,1,-1)=(0,-2,3),n1=(1,-1,2)-(-2,-2,2)=(3,1,0),所求平面的法線向量為所求平面的方程為4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：解解x=0是yOz平面.(2)3y-1=0;解3解3y-1=0是垂直于y軸的平面，它通過y軸上的點(0,,0).(3)2x-3y-6=0;別是3和-2.(4)x-√3y=0;解x-√3y=0是通過z軸的平面，它在xOy面上的投影的斜率為(5)y+z=1;(6)x-2z=0;解解x-2z=0是通過y軸的平面.(7)6x+5-z=0.解解6x+5-z=0是通過原點的平面.解此平面的法線向量為n=(2,-2,1)此平面與yOz面的夾角的余弦為此平面與zOx面的夾角的余弦為此平面與xOy面的夾角的余弦為試求這平面方程.解所求平面的法線向量可取為7.求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交點.56/317解解線性方程組得x=1,y=-1,z=3.三個平面的交點的坐標(biāo)為(1,-1,3).8.分別按下列條件求平面方程：解所求平面的法線向量為j=(0,1,0),于是所求的平面為解所求平面的法線向量為j=(0,1,0),于是所求的平面為0-(x-2)-5(y+5)+0·(z-3)=0,即y=-5.解所求平面可設(shè)為Ax+By=0.-3A+B=0,將B=34代入所設(shè)方程得Ax+3Ay=0,所以所求的平面的方程為x+3y=0,57/317解所求平面的法線向量可設(shè)為解所求平面的法線向量可設(shè)為n=(0,b,c).因為點(4,0,-2)與n是垂直的，即b+9c=0,b=-9c,所求平面的方程為9(y-0)-(z+2)=0,即9y-z-2=0.9.求點(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離.解點(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離為1.求過點(4,-1,3)且平行于直線的直線方程.解所求直線的方向向量為解所求直線的方向向量為s=(2,1,5),所求的直線方程為2.求過兩點M(3,-2,1)和M?(-1,0,2)的直線方程.解所求直線的方向向量為s=(-1,0,2)-(3,-2,1)=(-4,2,1),所求的直線方程為3.用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線所求直線的方向向量為所求直線的對稱式方程為參數(shù)方程為x=3-2t,y=t,z=-2+3t.解所求平面的法線向量解所求平面的法線向量n可取為直線的方向所平面的方程為5.求直與直線的夾角的余弦.為的方向向量分別6.證明直線與直線平行.f。因為s?=-3s?,所以這兩個直線是平行的.的平面方程.60/317解所求平面的法線向量與直線的方向向量所求平面的方程為s=(1,1,3)×(1,-1,-+4j-2k=2(i+2j-k因為10.試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系：為n=(4,-2,-2).解所給直線的方向向量為s=(3,-2,7),所給平面的法線向量為解所給直線的方向向量為s=(3,-2,7),所給平面的法線向量為n=(3,-2,7).因為s=n,所以所給直線與所給平面是垂直的.n=(1,1,1).62/317直線的方向向量為重重將此方程化為參數(shù)方程x=-1+t,y=2+2t,z=—t(-1+f)+2(2+2t)-(-t)+1=0,的距離.過點P且與已知直線垂直的平面的方程為解線性方程組;14.設(shè)M是直線L外一點，M是直線L上任意一點，且直線的方向向量為s,試證：點Mo到直線L的距離LSModMN程.解過直線的平面束方程為(4-l,1)·(2+3A,-4-A,1-2A)=0,故投影直線的方程(1)x=0,y=0,z=0,x=2,y=1,3x+4y+2z-12=0;Z634X(2)x=0,z=0,x=l,y=2,Z1122 0kX0y向量OM的坐標(biāo)為67/317解解M(x-xo,y-y?,2-20),OM=(x,y,z)個向量是的.解共面。解共面。解3.解3.所以=3.解解于是解36.解36.解設(shè)所求點為解設(shè)所求點為M(0,y,0),則有解線段AB的中點的坐標(biāo)為d=√(4+1)2+(-1-1)2+(3-2)2=√30.ABD解C69/317所以從而DE//BC,且.B?CDE解得z=1.a-b|2=(a-b)-(a-b)設(shè)向量a+b與a-b的夾角為0,則所以(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b)=0,得z=-4.當(dāng)z=-4時，,所以形的面積.解(a+2b)×(a-3b)=-3a×b+2b×a=5b×a.以a+2b和a-3b為邊的平行四邊形的面積為。解解設(shè)j=(x,y,z).因為rla,rlb,所以r.a=0,rb=0,即解線性方程組72/31712.設(shè)a=(-1,3,2),b=(2,-3,-4),c=(-3,12,6),證明三向量ab、c共面，并用α和b表示c.(-λ+2μ,3A-3μ,2λ-4)=(-3,12,6),13.已知動點M(x,y,z)到xOy平面的距離與點M到點(1,-1,2)的距離相等，求點M的軌跡方程.解根據(jù)題意，有|z=√(x-D)2+(y+1)2+(z-2)2,z2=(x-1)2+(v+12+(z-2)2,(x-1)2+(y+1)2=4(z-1),14.指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸：(1)z=2(x2+y2);解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為zOx面上的曲線z=2x2,旋轉(zhuǎn)軸為z軸.(3)z2=3(x2+y2);旋轉(zhuǎn)軸為z軸.心聲解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為xOy面上的曲線心聲旋轉(zhuǎn)軸為x軸.方程.74/317按要求有5(x-3)±√26y+3z=0,解直線解直線s=(0,1,-1)×(1,0,0)=(0,-1,-l).:3(-1+t)-4(3+t)+2t-l=0,所求直線的方向向量為所求直線的方程為重重△ABC的面積最小.。因為令所求點為19.求曲線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.77/317即20.求錐面z=√x2+y2與柱面z2=2x所圍立體在三個坐標(biāo)面上的投影.和5OyxZ0y1x(3)圓錐面z=√x2+y2及旋轉(zhuǎn)拋物面z=2-x2-y2;Z21.判定下列平面點集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集?并分別指出它們的聚點所成的點集(稱為導(dǎo)集)和邊界.(1){(x,y)x≠0,y≠0};解開集，無界集，導(dǎo)集為R2,邊界為{(x,y)x=0或y=0}.(2){(x,y)l<x2+y2≤4};邊界為{(x,v)x2+y2=1或x2+y2=4}.(3){(x,y)y>x2};解開集，區(qū)域，無界集，導(dǎo)集為{(x,y|解開集，區(qū)域，無界集，導(dǎo)集為{(x,y|yzx2},邊界為{(x,y|y=x2}.解閉集，有界集，導(dǎo)集與集合本身相同，解閉集，有界集，導(dǎo)集與集合本身相同，邊界為{(x,y)|x2+(y-1)2=1}u{(x,yx2+(y-2)2=4}.3.試證函數(shù)F(x,y)=Inx-Iny滿足關(guān)系式：F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,)+F(y,v).證明證明F(xy,av)=In((x,y)-In(uv)=(nx+Iny)(nu+Inv)=Inx.nu+Inx.nv+hnylnu+Inylnv=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).5.求下列各函數(shù)的定義域：解要使函數(shù)有意義，必須x+y>0,x-y>0,解要使函數(shù)有意義，必須x+y>0,x-y>0,故函數(shù)的定義域為D={(x,y|x+y>0,x-y0}.故函數(shù)的定義域為D={(x,y|y-x>0,x≥0,x2+y2<1}.81/317解要使函數(shù)有意義，必須解要使函數(shù)有意義，必須R2-x2-y2-z2≥0且x2+y2+z2-r2>0,故函數(shù)的定義域為D={(x,y,z)|r2<x2+y2+z2≤R2}.6.求下列各極限：解解解82/317解7.證明下列極限不存在：證明如果動點p(x,y)沿y=0證明如果動點p(x,y)沿y=0趨向(0,0),因此，極限不存在.83/317證明如果動點證明如果動點p(x,y)沿y=x趨于(0,0),因此極限不存在.8.函數(shù)在何處間斷?9.證明證明因為證明因為所以故,在(xo,yo)處連續(xù).從而|F(x,y)-F(xo,yo)=lf(x)-f(xo)<c,所以F(x,y)在點(xo,yo)處連續(xù).解--5解解)(3)z=√In(xy);解解根據(jù)對稱性可知解解解解..(8)u=arctan(x-y);解。,試證所以,求證;所以求f(x,1).所以5.曲線在點(2,4,5)處的切線與正向x軸所成的傾角是多少?,解,;56.求下列函數(shù)的5解;;3**);解5·解5解··;;及fzx(2,0,1).解因為解因為f=y2+2xz,fx=2z,f=2x,f=2yz+x2,f=2y,fzx=0,所以fxx(0,0,1)=2,fx?(1,0,2)=2,f?(0,-1,0)=0,fzx(2,0,1)=0.8.設(shè)z=xln(xy),求解;·西西(1)y=e-kn2tginnx滿足證明因為聲88/317證明;,;,因此1.求下列函數(shù)的全微分：解解所以89/317解因為s,n,n所以du=yzxyz-1dx+zXvzInxdy+jwyzInxdz2.求函數(shù)z=In(1+x2+y2)當(dāng)x=1,y=2時的全微分.解因為35所以3.求函數(shù)當(dāng)x=2,y=1,Ax=0.1,Av=-0.2時的全增量和全微分.門解因為門54.4.求函數(shù)z=e當(dāng)x=1,y=1,△x=0.15,△y=0.1時的全微分解因為dz=e-0.15+e·0.1=0.25e所以取x=1,y=2,△x=0.02,△y=-0.03可得90/317當(dāng)x=6,y=8,△x=0.05,△y當(dāng)R=4,h=20,△R=△h=0.1時，試求利用上述二值來計算斜邊長度時的絕對誤差.和相對誤差.所以三角形面積的近似值為2127.82m2,所以三角形面積的近似值為2127.82m2,*11.利用全微分證明：兩數(shù)之和的絕對誤差等于它們各自的絕對誤差之和.*12.利用全微分證明：乘積的相對誤差等于各因子的相對誤差之和；商的相對誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對誤差之和.由此可得相對誤差：解2.設(shè)z=u2lnv,ī,v=3x-2y,求5解。解(3)u=f(x,xy,xyz).解證明35,解令u=xy,v=y,則z=f(u,v)。96/317和97/317解zx=fi'y2+?'.2xy=y2fi'+2xyfz',zy=fi'2xy+f?'x2=2xyfi'+x2fz';=y4f?"+4xy3fi?"+2yf?"+4x2y2f2?",Zx=2yfi'+y2[fi”·2xy+fi2":x2]+2xf2'+2xy[zi"?2xy+22"x2]=2yfi'+2xy3fii"+x2y2fi2"+2xf2'+4x2y2f2i"+2x3yf22"=2yfi'+2xy3fi"+5x2y2fi?"+2xfz'+2x3yf22",2EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(=),2)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(2a),yi)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(+),4)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(2x),x2)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(fi"2),yfi)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(x),")EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(i2"),x3)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(x21),yh)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(2?),x)"EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(y),”)+f2"c2](4)z=f(sinx,cosy,e+).Zy=fz'(-siny)+f3'e+=-sinyf?'+e+f3',=-sinycosxfi2"+e+cosxfi?'+e+f'-e+sinyf32'+e2(x+f33'Zwy=-cOsyf?'-siny[f22":(-siny)+f23".eX+y]+e+f'+e+[f3z":(-siny)+f33'-e+]5353…證明因為,■■則?2?圈圈,4.設(shè)則cc所以5.設(shè)2sinx+2y-3z)=x+2y-3z,證明證明設(shè)F(x,y,z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z,則2解因為力證明因為8.設(shè)e-xyz=0,Fx=-yz,F=e-xy,555D5331。EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up5(1),.)3手手即32證明由方程組證明由方程組可確定兩個一元隱函練習(xí)8-6解解x'(t)=1-cost,y(t)=sint,。,2.求曲線;即,所求的切線方程為3。即16x+9y-z-24=0..5n=(Fx,Fy,F?)=(2ax,2by,2cz)=(ax,by,cz).n=(Fx,Fy,F?)=(2x,4y,2z)=2(x,2y,z).員。所求切平面方程為即即戶戶■。?3.求函數(shù)在點處沿曲線線方向的方向?qū)?shù).,5處的內(nèi)法向量為2所以5,又因為又因為所以I=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12),并且5522所以為又885尸所以gradf(0,0,0)=3i-2j-6k,尸gradf(1,1,1)=6i+3j.(1)grad(u+v)=gradu+gradv;解=gradu+gradv.(2)grad(wv)=vgradu+ugradv;解=vgradu+ugradv.解解解解解解方程組解解方程組求得駐點為(2,-2),由于A=fx(2,-2)=-2<0,B=fa(2,-2)=0,C=f(2,-2)=-2,AC-B2>0,f(2,-2)=8.2.求函數(shù)f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的極值.解解方程組解解方程組得。fm(x,y)=-2(4y-y2),fo(x,y)=4(3-x)(2-v),f(x,y)=-2(6x-x2).fx=0,fy=24,fy=0,AC-B2=-242<0,fx=0,fo=-24,fy=0,AC-B2=-242<0,fx=-8,fy=0,fy=-18,AC-B2=8x18>0,又A<0,所以f(3,2)=3655s3.求函數(shù)f(x,y)=e2(x+y2+2y)的極值.因為在點,,.3得唯一可能的極值點。解方程組,即■解設(shè)球面方程為解設(shè)球面方程為x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐標(biāo)面的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的一個頂點，則此長方體的長寬高分別為2x,2y,2z,體積為令F(x,y,z)=8xyz+2(x2+y2+z2-a2).得唯一駐點由題意可知這種長方體必有最大體積，所以當(dāng)長方體的長、寬、高都時其體積最大.10.拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離.解設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)解設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)(x,y,z),則原點到橢圓上這一點的距離平方為d2=x2+y2+z2,其中x,y,z要同時滿足z=x2+y2和x+y+z=1.令F(x,y,z)=x2+y2+z2+Ai(z-x2-y2)+h?(x+y+z-1).解方程組得駐點,z=2F√3.它們是可能的兩個極值點，由題意這種距離的點處所以d?=√9+5√3為最長距離；d?=√9-5√31.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的在點連續(xù)是f(x,y)在該點可微分的條件。解充分；必要.解充分；必要.解必要；充分.解必要；充分.解充分解充分.解充分解充分.解函數(shù)的定義域為{解函數(shù)的定義域為{(x,y)|0<x2+y2<1,y2≤4x}4.證明極不存在.所以不存在.5.設(shè),求fx(x,y),fy(x,y).因此3解3解ssee5;解2解nn解=efi+xe2fll+e'fl+xe'f+fy·解得du=e=“cosvdx+e-"sinvdy,dv=-e?"sinvdx+e-“cosvdy.又由z=uv得=v(e“cosvdx+e-“sinvdy)+u(-e-“sinvdx+e-“cosvdy)從而13.求螺旋線x=acosθ,y=asinθ,z=b0在點(a,0,0)處的切線及法平面方程.解點解點(a,0,0)對應(yīng)的參數(shù)為O=0,所以點(a,0,0)處的切向量為a(y-0)+b(z-0)=0,即ay+bz=0.14.在曲面z=xy上求一點，使這點處的法線垂直于平面x+3y+z+9=0,并寫出這法線的方程.解已知平面的法線向量為解已知平面的法線向量為no=(1,3,1).設(shè)所求的點為(xo,yo,zo),則曲面在該點的法向量為n=(vo,xo,-1).由題意知n//no,即于是xo=-3,yo=-1,zo=xovo=3,9于0.因為因此及.最短的點. 令令解方程組得,即。切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為;:,33下的最大值的問令;此時最小體積練習(xí)9-1其中D?={(x,y)|-1≤x≤1,-2≤y≤2};證明即解區(qū)域D解區(qū)域D解區(qū)域D解區(qū)域D與即即9≤x2+4y2+9≤4(x2+y2)+9≤25.即練習(xí)9-2解積分區(qū)域可表示為D:-1≤x≤1,-1≤y≤1.于是解積分區(qū)域可表示為D:0≤x≤2,0≤y≤2-x.于是o解角形閉區(qū)域.y=5D={(x,y)-1≤x≤0,-x-1≤y≤x+1}u{(x,y)|O≤x≤1,x-1≤y≤-x+1}.證明而而故恩所以=4xD=o恩所以=4xD=oD={(x,y)-r≤x≤r,0≤y≤√r2-x2},242-2所以,或所以,可o丘解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D={(x,y)1≤x≤e,O≤y≤Inx},如圖.因為積分區(qū)域還可以表示為D={(x,y)|-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}U{(x,y)|0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny},所以8.計算由四個平面x=0,y=0,x=1,y=1所圍成的柱體被平面z=0及解立體在xOy面上的投影區(qū)域為D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1-x},所求立體的解積分區(qū)域D解積分區(qū)域Dp-h138/317(4){(x,y)|0≤y≤1-x,0≤x≤1}.22解積分區(qū)域D如圖所示.因為所以解積分區(qū)域解積分區(qū)域D如圖所示，并且c9o-ooo《p-2所以所以oop=1解因為積分區(qū)域可表示為D={(x,y)|a≤y≤3a,y-a≤x≤y},所以解在極坐標(biāo)下D={(p,0)|0≤O≤2π,a≤p≤b},所以D16.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線p=20上一段引與直線所圍成，它的面密度為A(x,y)=x2+y2.求這薄片的質(zhì)量.解區(qū)域如圖所示.在極坐標(biāo)下,0≤p≤20},所以所求質(zhì)量為17.求由平面y=0,y=kx(k>0),z=0以及球心在原點、半徑為R的上半球面所解此立體在x0y面上的投影區(qū)域D={(x,y)|0≤Okarctank,O≤p≤R}.18.計算以xOy平面上圓域x2+y2=ax圍成的閉區(qū)域為底，而以曲面z=x2+y2解曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域為D={(x,y)x2+y2≤ax}.在極坐標(biāo)下,0≤p≤acosθ},所以1.化三重積分解積分區(qū)域可表示為Ω={(x,y,z)|0≤z≤xy,0≤y≤1-x,0≤x≤1},解積分區(qū)域Q可表示為x2+2y2≤z≤2-x2,-√1-x2≤y≤√1-x2于是于是解解證明解積分區(qū)域可表示為解積分區(qū)域可表示為Q={(x,y,z)|0≤z≤xy,0≤y≤x,0≤x≤1},xZ=xyAy0Z55.計其中Ω為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四解積分區(qū)域可表示為Ω={(x,y,z)|0≤z≤1-x-y,O≤y≤1-x,O≤x≤1},x+y+z=11于是解積分區(qū)域可表示為于是7.計其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及拋物柱面y=x2所解積分區(qū)域可表示為8.計算,其中Ω是由錐面與平面z=h(R>0,h>0)為面積為于是0≤O×2π,O≤p≤1,p2≤z≤√2-p2,解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為5于是解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為于是解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Q可表示為2于是az=√x2+y2ax0解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為于是ZZr=Cosθ于是O0x解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為y解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Q可表示為于是解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為0≤O≤2π,a≤r≤A,并且x2+y2=r2sin2pcos2φ+r2sin2φsin20=r2sin2φ,于是0aAyZZZ6解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為于是0xz=pz=6-p解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Q可表示為于是Z=r0aFxr=2acosφZaZZ解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域O可表示為于是xZ=p0ZZ解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為VxyO于是z=√a2-x2-y25a于是25于是的表面積.解令密度為=1,所求質(zhì)心為(2)D是半橢圓形閉區(qū)域所求質(zhì)心為yD薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為z=1z=pyOXZZaAy/x解解y所以立x求Iy;解積分區(qū)域D可表示為于是(2)D由拋物線與直線x=2所圍成，求I和I;解積分區(qū)域可表示為0≤x≤2,-3√x/2≤y≤3√x/2,于是解解由對稱可知解由對稱性知x=y=0.解Zh0xD={(x,y,0)|R≤√x2+y2≤R?,x≥0},EQ\*jc3\*hps55\o\al(\s\up47(閉),y)EQ\*jc3\*hps55\o\al(\s\up47(區(qū)域),222)則有解解(C).D={(x,y)-a≤x≤a,x≤y≤a},D?={(x,y)|0≤x≤a,x≤y≤a},2.計算下列二重積分：解積分區(qū)域可表示為D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x+1},于是解解yDθRX0因為所以解積分區(qū)域為D=D?+D?,其中所以原D?={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y2},D?={(x,y)|1≤y≤2,0≤x≤√2y-y2}y=√xQyD2Xy—D0解積分區(qū)域可表示為…。…。Q:0≤0≤2π,R,R-\R2-p2≤z≤RJR2-p2所以所以x=55Z所以0x8.求平Cx≥0,y≥0},于是aFxZ亦即解得所求轉(zhuǎn)動慣量為練習(xí)10-1d=y2A(x,y)ds,dly=x2a(x,y)ds.。:2證明劃分L,使得L?和L?解:=汽，=x(0sxs號4,因而解解解T=AB+BC+CD,其中BC:x=t,y=0,z=2(0≤t≤3),CD:x=1,y=t,z=2(0≤t≤3),(0≤t≤2π);角88解解所以圓弧的重心為故重心坐標(biāo)為則L:x=a,y=t,t從b?變到b?.于是證明L:x=x,y=0,t從a變到b,所以L?:x=a+acost,y=asint,t從0變到π,L?:x=x,y=0,x從0變到2a.L?(x-a)2+y2=a22axL?0解解T=AB+BC+CA,其中AB:x=x,y=1-x,z=0,x從1變到0,CA:x=x,y=0,z=1-x,x從0變到1,0A4AxByx00x解L:x=3y-2,y=y,y從1變到2,故y0XL?:x=1,y=y,y從1變到2,L?:x=x,y=2,x從1變到4,0x解L:x=2t2+t+1,y=t2+1,t從0變到1,故5.一力場由沿橫軸正方向的常力F所構(gòu)成，試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿圓周x2+y2=R2按逆時針方向移過位于第一象限的那一段時場力所作的功.解已知場力為F=(|F,0),曲線L的參數(shù)方程為7.把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線y故y故0把對坐標(biāo)的曲線積分練習(xí)10-解解L=L?+L?+L?+L?,故L?2DL?而所以L?L?yO2x解解橢圓9x2+16y2=144的參數(shù)方程為x=4cosθ,y=3sinθ,0≤0≤2π,故3.計算曲線積向為逆時針方向.,其中L為圓周(x-1)2+y2=2,L的方cL即D:從1變到2,則180/3170D解解P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+BL-A0x故D寸LD故A(1,1)X6.驗證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)證明因為個xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分.定義在整個xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分.解因為所所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy義在整個xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分.(5)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy.某個函數(shù)u(x,v)的全微分=y2sinx+x2cosy+C.7.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為X=x+y2,Y=2xy-8,這變力確證明劃分21為m有心心故dS=√1+z2+z2dxdy=√1+4x2+4y2drdy.因此(3)f(x,y,z)=3z.5.計其中2是：解將2分解為Z=21+22,其中Z?:z=1,D?:x2+y2≤1,dS=dxdy;因而6.計算下面對面積的曲面積分：解有限部分.ds=√1+z2+z2dxdy=√1+x2+y2dxdy.因此zZ24:z=1-x-y,Dy:0≤x≤1,0≤y≤1-x.2Z?/xn=(F,F,F)=(3,2,2√3),于是n=(Fx,Fy,F?)=(2x,2y,1),解由高斯公式解由高斯公式解由高斯公式解由高斯公式4解由高斯公式解由高斯公式解解P=yz,Q=xz,R=xy,解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,半徑R=3的球面，流向外側(cè).3.求下列向量A的散度：解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,解P=e,Q=cos(xy),R=cos(xz2),解P=y2,Q=xy,R=xz,5-pzcOsadS,-pzcosβdS,-pzCosydS,之,其中T為橢圓x2+y2=a2,解設(shè)∑為平于是 (1)A=(2z-3y)i+(3x-2)j+解解解解=[xsin(coy)-xy2cos(xz)]i-ysin(cos)j+[y2zcos(xz)-x2cosy]k.3.利用斯托克斯公式把曲面積分化為曲線積分，并計算積分值，其中A、Z及n分別如下：解設(shè)解設(shè)∑的邊界F:x2+y2=1,z=0,取逆時針方向，其參數(shù)方程為x=cosθ,y=sinθ,z=0(0≤O≤2π,(2)A=(y-z)i+yzj-xzk,Z為立方體0≤x≤2,0≤y≤2,0≤z≤2的表面外側(cè)去掉xOy面上的那個底面，n是Σ的單位法向量.解4.求下列向量場A沿閉曲線T(從z軸正向看依逆時針方向)的環(huán)(1)4=-yi+xj+ck(c為常量解(2)A=(x-2)i+(x3+y2)j-3xy2k,其中I為圓周z=2-√x2+y2,z=0.解有向閉曲線T的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=2sinθ,z=0(0≤≤2π).向量場A沿閉曲線T的環(huán)流量為5.證明rot(a+b)=rota+rotb.b=P?(x,y,z)i+Q?(x,y,z)j+R?(x,y,z)k,解;(D解(C).解(C).解解曲線T的一般方程為其參數(shù)方程為從0變到2π.于是于是而所以其中Z為曲面p=√x2+y2.解場力沿路徑解場力沿路徑L所作的功為令5;Q={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}解解解解解一般項為解一般項為解一般項解一般項為解一般項為解一般項為解一般項為解32是收斂的.練習(xí)11故所給級數(shù)發(fā)散.解因為2.用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性：解級數(shù)的一般項為因為所以級數(shù)發(fā)散.所以級數(shù)收斂.所以級數(shù)收斂.所以級數(shù)收斂.3.用根值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性：210/317所以級數(shù)收斂.解這因為所以級數(shù)收斂.解這里因為所以級數(shù)收斂.故所給級數(shù)發(fā)散.條件收斂?解這是一個交錯級數(shù)解這是一個交錯級數(shù)其中因為顯然ua≥ua+1,并且,所以此級數(shù)是收斂的.解這是交錯級解這是交錯級,并且因為級是收斂的，所以原級數(shù)也收斂，并且絕對收斂.解這是交錯級數(shù)解這是交錯級數(shù)其中因為un≥Un+1,并,所以此級數(shù)是收斂的.又因為而級發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，從而原級數(shù)是條件收斂的..所以級數(shù)發(fā)散.練習(xí)1131.求下列冪級數(shù)的收斂域：解故收斂半徑為R=1.所以收斂域為[-1,1].解則則則練習(xí)11-4因為所以所以5所以所以所以所以解因為即的冪級數(shù).解解即而即即因此解又2故2220/317解由于故故2221/317解解2解5因為5解因為2子子所以因此(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,.·).(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,.·).(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,.).和和2(-π<X<π).同理解因為解因為f(x)為奇函數(shù)，故an=0(n=0,1,2,…·),而(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,·).解作奇延拓得F(x):因為an=0(n=0,1,2,…),而故級數(shù)在x=0處收斂于0.級數(shù)在x=0處收斂于0.(k=1,2,…);因為(k=1,2,…)解因為所以a?k+1=0(k=1,2,.)練習(xí)11-8解230/317解ao=0(n=0,1,2,.),故bn=0(n=1,2,..·),故ao=0(n=0,1,2,.…),故bn=0(n=1,2,·),故收斂的條件；解因為解因為解因為解因為解因為證明因為和都收斂，所3。斂?試說明理由.解級不一定收斂.解解是p級數(shù).故當(dāng)p>1時級是收解因為解因為解因為解因為236/317解令解令因為故由比值審斂法知級收斂，解設(shè)的前n項部分和.所3因所3數(shù)發(fā)散.因為所以級數(shù)天均發(fā)散，從而收斂域時，冪級數(shù)發(fā)散.解.即口解因為勇勇解因為故解解即12.將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).243/317an=0(n=0,1,2,…),bn=0(n=1,2,…),解三階解三階.解二階解二階.解一階.解一階.y"=CA2ex+C?2?2e^?x.2x-y-xy'+2yy2=0,,艮246/317(3)y=C?sin(c-C?),yk=n=1,y'x==0.解y'=C?cos(x-C?).由yk==1,y'kx==0得5.寫出由下列條件確定的曲線所滿足的微分方程：的變化率與氣壓成正比，所溫度的平方成反比.(2)曲線上點P(x,y)處的法線與x軸的交點為Q,且線段PQ被由條件第PQ中點的橫坐標(biāo)為0,所以Q點的坐標(biāo)為(-x,0),從而有.56.用微分方程表示一物理命題：某種氣體的氣壓P對于溫度T解其中k為比例系數(shù).(1)xy'-ylny=0;解分離變量得解分離變量得兩邊積分得為任意常數(shù).解分離變量得兩邊積分得分離變量得兩邊積分得解分離變量得即In(tany)=-ln(tanx)+InC,解分離變量得兩邊積分得或10-=10~+C,解方程變形為e'(e+1)dy=e*(1-e)dx,解分離變量得故通解為sinxsiny=C.解分離變量得即250/317解分離變量得解分離變量得即即或解分離變量得即即或-ln(cosy)=-ln(cosx)-InC,251/317解分離變量得即即或■解分離變量得即即或解分離變量得兩邊積分得即即或Iny=-2lnx+lnC,y=Cx-2.所以特解為3.有一盛滿了水的圓錐形漏漏斗，高為10cm,頂角為60°,漏斗下面有面積為0.5cm2的孔，求水面高度變化的規(guī)律及流完所需的時間.解設(shè)t時該已流出的水的體積為V,高度為x,則由水力學(xué)有即因此故水從小孔流出的規(guī)律為令x=0,得水流完所需時間約為10s.4.質(zhì)量為1g(克)的質(zhì)點受外力作用作直線運動，這外力和時間成正比，和質(zhì)點運動的速度成反比.在t=10s時，速度等于50cms,外力為4gcm/s2,問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少?252/317■試求鐳的量R與時間t的函數(shù)關(guān)系.解由題設(shè)知，InR=-At+C?,又由于當(dāng)t=1600時，,,從而因此:;254/317.5dx=kat(h-at)dt,。練習(xí)12-3解原方程變?yōu)閯t原方程化為8383將將解原方程變?yōu)閯t原方程化為將將解這是齊次方程.即y=xu,則原方程化為4解這是齊次方程.解這是齊次方程.即y=xu,則原方程化為3解原方程變將代入上式得原方程的通解將解原方程變解原方程變則原方程化為,即分離變量得兩邊積分得將解這是齊次方程.即y=xu,則原方程化為(x2u2-3x2)(udx+xdu)+2x2udx=0,將代入上式得原方程的通解將兩邊積分得將代入上式得原方程的通解y2=2x2(Inx+C).(3)(x2+2xy-y2)dx+(y2+2xy-x2)dy=0,yk=1=1.解這是齊次方程.令即y=xu,則原方程化為(x2+2x2u-x2u2)dx+(x2w2+2x2u-x2)(udx+xdu)=0,即即或兩邊積分得將代入上式得原方程的通解x+y=C(x2+y2).3.設(shè)有連結(jié)點0(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲線弧OA,對于OA上任一點P(x,y),曲線弧OP與直線段OP所圍圖形的面積為x2,求曲線弧OA的方程.,,,,解解原方程變?yōu)榻饨饨饨饨庠匠套冃螢榻饨?:5.解22寸寸解5解y=el*(J2xeldx+C)=e*(2?xe*dx+C),,即,:即或解原方程可變形為解原方程可變形為解原方程可變形為解原方程可變形為即265/317解原方程可變形為即解原方程可變形為解原方程可變形為解原方程可變形為即.即dx=-udu.。兩邊積分得,,解原方程變形為令u=y+sinx-1,則原方程化為將u=y+sinx-1代入上式得原方程的通解解原方程變形為解原方程變形為令u=xy,則原方程化為將u=xy代入上式得原方程的通解即2x2y2lny-2xy-1=Cx2y2(C=2C?).練習(xí)12-即解這里P=a2-2xy-y2,Q=-(x+y)2.因為解這里P=e,Q=xe"-2y.因為269/317解這里P=x2-y,Q=-x.因為所以此方程是全微分方程，其通解為即解這里P=y(x-2y),Q=-x2.因為所以此方程不是全微分方程.所以此方程是全微分方程，其通解為日口SHp(e20+1)=C.(8)(x2+y2)dx+xydy=0.解這里P=x2+y2,Q=xy.因為,n,n9所以此方程不是全微分方程.270/317解方程兩邊同時乘以解方程兩邊同時乘以得解方程兩邊同時乘以解方程兩邊同時乘以得,即2解原方程變形為解原方程變形為兩邊同時乘并整理得解方程兩邊同時乘解方程兩邊同時乘得,即門解原方程變形為解原方程變形為2所以5.其通解為即其通解為即解原方程變?yōu)槠浞e分因子為在方程的兩邊乘以x2得x2y'+2xy=4xInx,即(x2y)=4xlnx,x2y=J4xlnxdx=2x2lnx-x2+C,解積分因子為cosx.y-sinx.y=xcosx,即(cosx.y)=xcosx,解原方程的通解為原方程的通解為解兩邊積分得arctanp=x+C1,即y'=p=tan(x+C1),原方程的通解為y=-1n|cos(x+C?)|+C?.(5)y'=y'+x;p'-p=x,即y=C?Inx+C?.,即2922兩邊積分得arcsinC1y)=±Cix+C?,√Cy2-1=±(Cx+C?)由;即;■故所求特解為C?=-1,y'=±√e2y-1,333即pdp=3√ydy,。55。于是從,In(ev+√e2y-1)=±x+C?.解■■練習(xí)12-7(2)x,2x;解因解因為不恒為常數(shù)，所以e-;e是線性無關(guān)的.(5)cos2x,sin2x;解因為解因為(7)sin2x,cosx.sinx;線性無關(guān)的.(9)lnx,xlnx;解解因為不恒為常數(shù)，所以Inx,xlnx是線性無關(guān)的.(10)e*,e"(a≠b).解解因為不恒為常數(shù)，所以e“,ex是線性無關(guān)的.22.驗證yi=COsax及y?=sinox都是方程y'+o2y=0的解，并寫出該方程的通解.yi"+w2yi=-w2cosox+w2coscx=0,并不恒為常數(shù)，所以y?=cOsax與y?=sinax是方程的y=C?cosax+C?sinox.283/317y-4xy{+(4x2-2)y?=2e22+4x2e22-4x·2xe2+(4x2-2)-e2=0,1-.1-.,,的通解.解令解令yi=x?,;因為且11::5因為286/317y?(4)-y=e*-e=0,y?(4)-y2=e--e-*=0,y?4)-y?=sinx-sinx=0,并且從而Y=Cie+C?e+C?cosx+C4sinx是方程的通解.y*(4_y*=0-(-x2)=x2,所以y*=-x2是方程y(4y=x2的特解.因此y=Cie*+C?e?*+C?Cosx+C?sinx-x2是方程y(4-y=x2的通解.令kie?+k?e-×+k?cosx+k?sinx=0,kie+k?e--k?cosx-k?sinx=0,kie+k?e×+k?sinx-k?cos解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為其根為r?=1,r2=-2,故微分方程的通解為287/317解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為288/317解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為r?-1=0,即(r-1)(r+1)(r2+1)=0y=C?e?+C?e-*+C?cosx+C?sinx.(8)y?+2y"+y=0;解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為其根為r1=F2=-i,r3=r4=