用好基本圖形角平分線課件2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題

用好基本圖形--角平分線“角平分線”內(nèi)容概述

角平分線是初中階段學(xué)習(xí)的一種基本的幾何圖形，在幾何中占有重要的地位.其中角平分線的性質(zhì)與功能應(yīng)用極其廣泛，是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)考必考的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生形成邏輯推理能力具有重要作用.角平分線也是解決許多問(wèn)題的橋梁與紐帶，很多與角平分線有關(guān)的問(wèn)題都能利用角平分線的性質(zhì)與功能得到解決.

OACB⌒2⌒1角平分線的兩大基本功能1.軸對(duì)稱功能---以角平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造軸對(duì)稱圖形.2.角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形.一、角平分線的軸對(duì)稱功能OACB⌒2⌒1OC為∠AOB的平分線∠1=∠2角平分線具有軸對(duì)稱功能.∟OMPACB∟OCAMBPOACBMP∟NNNRt△PMO≌Rt△PNO

△PMO≌△PNORt△PMO≌Rt△PNO一、角平分線的軸對(duì)稱功能以角平分線的軸對(duì)稱功能進(jìn)行軸對(duì)稱構(gòu)造的三種基本情形：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在射線OC上，點(diǎn)M在射線OA上.圖1圖2圖3例題1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，若CD＝m，AB＝2n，則△ABD的面積是（）A．mn

B．5mn

C．7mn

D．6mnBDCAEAmm2n一、角平分線的軸對(duì)稱功能過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E軸對(duì)稱構(gòu)造△BDC≌△BDECD=DE例題2如圖，在ΔABC中∠ABC=60°，AD,CE分別為∠BAC，∠ACB的平分線，求證：AC=AE+CDODAECBF一、角平分線的軸對(duì)稱功能【觀察與思考】根據(jù)角平分線的軸對(duì)稱功能，我們?nèi)菀紫氲皆贏C上做出AE關(guān)于角平分線AD的對(duì)稱圖形AF.進(jìn)而尋求CF和CD也關(guān)于角平分線CE對(duì)稱，從而實(shí)現(xiàn)邊長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可證：AC=AE+CD.例題2如圖，在ΔABC中∠ABC=60°，AD,CE分別為∠BAC，∠ACB的平分線，求證：AC=AE+CDODAECBF一、角平分線的軸對(duì)稱功能在AC上取AF＝AE，連接OF∠ABC＝60°,AD,CE分別為∠BAC，∠ACB的平分線OC＝OC∠DCO＝∠FCO∠AOC＝180°-(∠OAC+∠OCA)＝120°∠OAC+∠OCA=60°∠AOE＝∠AOF∠AOE＝∠AOF＝∠COD=60°∠COD＝∠COF=60°AC＝AF+CF

＝AE+CD△AEO≌△AFO（SAS）軸對(duì)稱構(gòu)造△FOC≌△DOCCD＝CF例題3如圖，已知點(diǎn)A（0，1）是y軸上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，在∠OAB外部作∠BAE=∠OAB,過(guò)點(diǎn)B作BC?AB，交AE于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y）,當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.xyABC∟ED∟FO一、角平分線的軸對(duì)稱功能xy（x,y）

y1例題3如圖，已知點(diǎn)A（0，1）是y軸上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，在∠OAB外部作∠BAE=∠OAB,過(guò)點(diǎn)B作BC?AB，交AE于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y）,當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.xyABC∟ED∟FO延長(zhǎng)CB交y軸于點(diǎn)F，則可證得:△ABC≌△ABF,BF＝BC，∵∠CDB=∠FOB=90°,∠CBD=∠FBO

，BC＝BF，∴△CDB≌△FOB

又易證：△ABO∽△BFO

解：當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸上時(shí)，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則CD=y，OD=x.一、角平分線的軸對(duì)稱功能xy（x,y）

y1∟OMPACB∟OCAMBPOACBMP∟NNNRt△PMO≌Rt△PNO

△PMO≌△PNORt△PMO≌Rt△PNO一、角平分線的軸對(duì)稱功能以角平分線軸對(duì)稱功能進(jìn)行軸對(duì)稱構(gòu)造的三種基本情形：

遇到有角平分線的問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)想到它的軸對(duì)稱功能，不論在什么樣的綜合題中，角平分線的“軸對(duì)稱功能”都常是解法獲得的有力指導(dǎo).我們應(yīng)當(dāng)時(shí)刻注意發(fā)揮角平分線這一功能的重要作用.二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形OPACBOPACB⌒1⌒2⌒2⌒1M⌒3N⌒4⌒3OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PM∥OBOC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OA上，PN∥OC

MO=MP,△PMO為等腰三角形

ON=OP,△PON為等腰三角形（圖1）（圖2）角平分線與平行線結(jié)合能構(gòu)造等腰三角形MEFCDBA例題4如圖，在?ABCD中，線段AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E,F，線段AE,BF相交于點(diǎn)M.（1）試說(shuō)明：AE?BF二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形【觀察與思考】問(wèn)題(1)要說(shuō)明AE⊥BF,由角平分線平分角的功能及平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°，容易求出∠AMB=90°即可得證.MEFCDBA例題4如圖，在?ABCD中，線段AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E,F，線段AE,BF相交于點(diǎn)M.（1）試說(shuō)明：AE?BF（1）證明：∵在?ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF∴2∠BAE+2∠ABF＝180°即∠BAE+∠ABF＝90°∴∠AMB＝90°∴AE⊥BF二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形例題4如圖，在?ABCD中，線段AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E,F，線段AE,BF相交于點(diǎn)M.（2）試判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說(shuō)明.二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形【觀察與思考】問(wèn)題（2），要判斷DF與CE的大小關(guān)系，由條件可知AE是∠DAB的平分線，結(jié)合平行四邊形中有CD∥AB，從而構(gòu)造了等腰△ADE.則有AD=DE.同理，BF是∠ABC的平分線，結(jié)合CD∥AB，也構(gòu)造了等腰△BCF，則有BC=CF.又?ABCD中，AD=BC，所以DE=CF，所以DE﹣EF＝CF﹣EF，即DF=CE.MEFCDBA例題4如圖，在?ABCD中，線段AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E,F，線段AE,BF相交于點(diǎn)M.（2）試判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說(shuō)明.二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形MEFCDBA（2）線段DF與CE是相等關(guān)系，即DF＝CE，∵在?ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB．又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB．∴∠DEA＝∠DAE．∴DE＝AD．同理可得，CF＝BC．又∵在?ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF．∴DE﹣EF＝CF﹣EF．即DF＝CE．二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形

平行四邊形本身就帶有平行線，結(jié)合角平分線，自然就構(gòu)造了等腰三角形，從而得到了相等的邊，實(shí)現(xiàn)了邊長(zhǎng)之間的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得到解決.而除一般的平行四邊形外，還有矩形、菱形、正方形及梯形都帶有平行線，當(dāng)這些圖形與角平分線相結(jié)合時(shí)，必然也會(huì)形成等腰三角形，這為我們解決問(wèn)題又提供了依據(jù).

而有時(shí)當(dāng)我們遇到有角平分線的條件，但并未出現(xiàn)平行線時(shí)，需要作出平行線來(lái)構(gòu)造等腰三角形解決問(wèn)題.BDCAE二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形例題5：如圖，在△ABC中，AD是它的角平線求證：方法一：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．BE∥ACBE∥AC△BDE∽△CDAAD是∠BAC的平分線

△ABE是等腰三角形，

BE＝AB構(gòu)造例題5：如圖，在△ABC中，AD是它的角平線求證：BDCAF二、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造等腰三角形方法二：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．CF∥ADAD是∠BAC的平分線CF