結構不良題-數列（一）

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁結構不良題-數列（一）一、解答題（本大題共25小題）1.已知數列的前n項和為，，(1)求數列的通項公式；(2)記，是數列的前n項和，若對任意的，，求實數k的取值范圍．在下面三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．①；②；③.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．2.已知公差不為0的等差數列滿足：①，②成等比數列；③．從①②③中選擇兩個作為條件，證明另一個成立．注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個解答計分．3.從條件①，，②，③，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)表示不超過的最大整數，記，求的前100項和.4.已知數列{an}的各項為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數列{an}是等差數列；②數列{}是等差數列；③a2＝3a1.5.在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答．已知等差數列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和為，求證：．6.已知數列的前n項和為，數列的前n項和為，從下面①②③中選擇兩個作為條件，證明另外一個成立.①，②，③.7.在①，；②，；③，這三個條件中任選一個，補充在下列問題中的橫線上，并解答（若選擇兩個或三個按照第一個計分）.已知等差數列的前項和為，，數列是公比為2的等比數列，且.求數列，的通項公式.8.已知數列的前項和滿足．(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前項和．從下列三個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線中，然后對第（2）問進行解答．條件：①；

②；③注：如果選擇多個條件分別解答，以第一個解答計分．9.設正項數列的前n項和為，，且滿足.給出下列三個條件：①，；②；③.請從其中任選一個將題目補充完整，并求解以下問題：(1)求數列的通項公式；(2)設，是數列的前n項和，求證：.10.給出以下條件：①，，成等比數列；②，，成等比數列；③．從中任選一個條件，補充在題目中的橫線上，再解答．已知單調遞增的等差數列的前n項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)若是以2為首項，2為公比的等比數列，求數列的前n項的和．11.設數列的前項和為，已知，再從以下三個條件中，任意選擇一個，并解決下面兩個問題．①；②；③．(1)求數列的通項公式，(2)若數列滿足，求數列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．12.在公差不為零的正項等差數列中，為數列的前項和，請在①，；②；③，，成等比數列，三個條件中，任選一個完成下面的問題．(1)求數列的通項公式；(2)正項數列滿足，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．13.已知數列{}，其n項和為，滿足?．請你從①，；②；③，．這三個條件中任選一個，補充在上面的“?”處，并回答下列問題：(1)求數列{}的通項公式；(2)當，求n的最大值．14.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．問題：在等差數列中，且，9，成等比數列．(1)求的通項公式．(2)設，數列的前n項和為．若選擇條件①，求使成立的n的最小值；若選擇條件②，求使成立的n的最小值．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）15.已知等差數列的前項和為，，請從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解決下面的問題：(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，求數列的前項和．條件①：；條件②：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．16.記正項數列的前n項和為，已知，．從①；②；③這三個條件中選一個補充在上面的橫線處，并解答下面的問題：(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項的和，求證：．17.已知正項遞增的等比數列的前n項的和為，，且，現(xiàn)有以下條件:①;②;③是和的等差中項.請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：(1)求數列的通項公式；(2)若，求的前n項和.18.已知為等差數列的前項和，，．(1)求數列的通項公式及前項和；(2)設數列，求數列的前項和．請在①，②，③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答．19.在①，②這兩個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解知．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）已知等差數列的前項和為，數列是正項等比數列，且，，．(1)求數列和的通項公式；(2)若，求數列的前項和．20.請你從下列兩個遞推公式中，任意選擇一個填入題中橫線上，并解答題后的兩個問題：①②已知數列的前項和為，且，.(1)求；(2)猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明.21.設數列是等比數列，其前項和為.(1)從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求的通項公式；①是等比數列；②.(2)在（1）的條件下，若，求數列的前項和.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.22.在①成等比數列，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答．問題：在公差不為0的等差數列中，其前項和為，，是否存在正整數，使得？若存在，求出所有的正整數；若不存在，請說明理由．23.在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．已知是公差為的等差數列，為數列的前項和，是正項等比數列，，，試比較與的大小，并說明理由．24.已知數列滿足.(1)請在集合中任取一個元素作為的值，求數列的通項公式；(2)①若第（1）問取，令，求數列的前項和．②若第（1）問取，求數列的前項和．注：如果同時選擇的兩個取值分別解答，按第一個解答計分．25.設數列的前項和為，，.給出下列三個條件：條件①：數列為等比數列，數列也為等比數列；條件②：點在直線上；條件③：.試在上面的三個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案1.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：根據與的關系即可求解；選②：根據已知有時，，兩式相減即可求解；選③：根據已知有時，，兩式相除即可求解；（2）利用裂項相消求和法求出，則原問題等價于，令，判斷數列的單調性，求出數列的最大值即可得答案.【詳解】（1）解：選①：當時，，，，時，，兩式相減得，數列是以2為首項2為公比的等比數列，；選②：，時，，兩式相減得，即，又當時，，，滿足上式，；選③：，時，，兩式相除得，當時，，滿足上式，；（2）解：∵∴，∵對任意的，即對任意的都成立，∴對任意的都成立，，令，則，∵，，即，數列是遞減數列，，，，∴的取值范圍是.2.【答案】證明見解析【分析】根據等差數列的通項公式與求和公式，結合等比數列的性質聯(lián)合求解即可.【詳解】解：選①②：設等差數列的公差為，則，又因為成等比數列，所以，即，聯(lián)立解得：.所以.所以.選①③：設等差數列的公差為，則，，聯(lián)立解得：.所以，，，，，所以成等比數列.選②③：設等差數列的公差為，因為成等比數列，所以，即，，聯(lián)立解得：，所以.所以.3.【答案】(1)若選①或②，；選③，(2)若選①或②，92；選③，145【分析】（1）①②都是利用的方法進行化簡，然后得到與的關系，進而得到通項公式；③利用的方法進行化簡，得到與的關系，進而得到通項公式；（2）利用①②③的結果代入，然后討論的具體值，通過求和得到答案【詳解】（1）若選擇①，因為，所以，兩式相減得，整理得，即，所以為常數列，，所以，若選擇②，因為，所以，兩式相減，得，因為，∴，所以是等差數列，所以；若選擇③，（1）由變形得，，所以，易知，所以，所以為等差數列，又，所以，，∴，又時，也滿足上式，所以；（2）選擇①或②，，，；；，∴，選擇③，，；；，∴.4.【答案】證明見解析【分析】首先確定條件和結論，然后結合等差數列的通項公式和前項和公式證明結論即可．【詳解】選擇①③為條件，②結論．證明過程如下：由題意可得：，，數列的前項和：，故，據此可得數列是等差數列．選擇①②為條件，③結論：設數列的公差為，則：，數列為等差數列，則：，即：，整理可得：，．選擇③②為條件，①結論：由題意可得：，，則數列的公差為，通項公式為：，據此可得，當時，，當時上式也成立，故數列的通項公式為：，由，可知數列是等差數列．5.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）若選①，則由條件可求出，，從而可求出，進而可求出通項公式，若選②，則有，結合可求出，進而可求出通項公式，若選③，則利用可求出，（2）由（1）可得，然后利用裂項相消法可求得結果【詳解】(1)若選擇①，因為，，，，解得，，設公差為d，則有，，解得，，所以．若選擇②，設公差為d，，即，結合，解得，，所以．若選擇③，當時，；當時，，當時亦滿足上式，所以．(2)證明：由（1）得，所以，因為，（），所以，所以．6.【答案】證明見解析【分析】選①②作為條件證明③，條件①可由項與和的關系利用作差法變化為項的遞推式，得出是等比數列，由等比數列前項和公式求得，得證③；選①③作為條件證明②，條件①可由項與和的關系利用作差法變化為項的遞推式，得出是等比數列，從而可求得，條件③，利用和與項的關系求得，兩者比較可證得②選②③作為條件證明①，同上，由條件③求得，結合②得，然后分組求和得，代入檢驗可證得①．【詳解】選①②作為條件證明③，因為，所以當時，.當時，，兩式相減得，所以，所以.因為，所以，即，所以數列是首項為，公比為的等比數列.所以，所以.選①③作為條件證明②，因為，所以當時，.當時，，兩式相減得，所以，所以，所以，所以數列是首項為，公比為的等比數列.所以，所以.因為，所以當時，；當時，.因為當時也滿足上式，所以，故.選②③作為條件證明①，因為，所以當時，；當時，.因為當時也滿足上式，所以.因為，所以，所以，故.7.【答案】【分析】設等差數列的公差為，根據等差數列的基本量方法，結合等差數列的性質可得，進而根據求得的通項公式即可【詳解】設等差數列的公差為.若選①：根據等差數列的性質，由有，故，所以，解得，故.故，故若選②：由題意，即，解得，故.故，故若選③：由可得，即，解得，故.故，故8.【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由，利用，即可求得數列的通項公式；（2）分別選擇條件①②③，求得數列的通項公式，結合乘公比錯位相減法、裂項法和分類討論，進而求得數列的前項和.【詳解】(1)解：因為在數列中，．當時，；當時，，又因為也滿足，所以數列的通項公式為．(2)解：選擇條件①：由，可得，，兩式相減得，故．選擇條件②：由（1）知，所以∴.選擇條件③：因為，當n為偶數時，；當n為奇數時，，綜上所述：數列的前項和.9.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）選①根據對數的運算性質以及等比中項即可判斷是等比數列，進而可求，選②根據的關系即可求解，選③根據遞推關系即可相減求解，（2）根據裂項求和以及數列的單調性即可證明.【詳解】(1)若選①，因為，所以，所以數列是等比數列設數列的公比為q，由得所以若選②，因為，當時，，所以，即當時，，所以所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列所以若選③，因為，當時，，所以，即當時，，所以，即，當時，上式也成立，所以(2)由（1）得所以∵，∴，∴易證時，是增函數，∴.故10.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，則，解方程求出，從而可求出，若選②，則，解方程求出，從而可求出，若選③，由，得，兩式相減化簡得，從而可求出，（2）結合（1）得，然后利用錯位相減法可求出【詳解】(1)設遞增等差數列的公差為，若選擇條件①，由，，，有，化簡得．解得或（舍去），所以數列的通項公式為．若選擇條件②，由，，，有，化簡得解得或（舍去）所以數列的通項公式為．若選條件③，由，有，兩式相減得：，因為，，所以，故，所以，即，所以數列的通項公式為．(2)由是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，由（1）知，所以，所以，兩邊同乘以2得：，以上兩式相減得：，即，所以．11.【答案】(1)選①②③答案均相同，(2)選①②③答案均相同，【分析】（1）選①，由得出的遞推關系，確定是等比數列，求出后再求；選②，由對數的性質得出數列是等比數列，從而得通項公式；選③，由已知式變形可得數列是等比數列，從而得通項公式；（2）用借位相減法求和．【詳解】(1)選①，；，，又，所以是等比數列，公比為2，，所以，時，，而a1=1符合，綜上，；選②，，即，所以，又，所以是等比數列，公比為2，所以；選③，，，因為，所以，而，所以是等比數列，公比為2，所以；(2)選①②③均相同：由（1）得，則，兩式相減得，所以．12.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：設的公差為，根據等差數列的通項公式的基本量方法列式求解即可；選②：設的公差為，令，結合等差數列的通項公式的基本量方法列式求解即可；選③：設的公差為，根據等比中項的定義，結合等差數列的通項公式的基本量方法列式求解即可；（2）由（1），從而求得，再根據等比數列的求和公式求解即可【詳解】(1)設的公差為，選①：由題意，，即，解得，故選②：令有，即，因為公差不為零的正項等差數列，故解得.令，則，即，故，故選③：因為，，成等比數列，，故，故，因為公差不為零，故解得，故(2)由（1），故，故，故13.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）若選①，則可得數列{}是4為公差，1為首項的等差數列，從而可求出其通項公式，若選②，利用求解通項公式，若選③，則可得數列{}為常數列，從而可求出其通項公式，（2）若選①，則利用等差數列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若選②，則利用等比數列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若選③，則求出常數列的前項和，然后解不等式可得答案，【詳解】(1)若選①，因為，所以，所以數列{}是4為公差，1為首項的等差數列，所以，若選②，當時，，得，當時，由，得，所以，得，所以數列{}是以2為公比，1為首項的等比數列，所以，若選③，因為，所以，所以（），即（），因為，，所以，所以數列{}為常數列，所以(2)若選①，由（1）可知數列{}是4為公差，1為首項的等差數列，所以，當時，，即，解得（），所以n的最大值為7，若選②，由（1）可知數列{}是以2為公比，1為首項的等比數列，所以，當時，，解得（），所以n的最大值為6，若選③，由（1）可知數列{}為常數列，且，所以，當時，（），所以n的最大值為10014.【答案】(1)(2)選,①，n的最小值為6；選②，n的最小值為7【分析】（1）先設數列的公差為d，根據題意，列出等量關系，求得，從而得到的通項公式；（2）若選擇條件①，利用裂項相消法求和，求解不等式得結果；若選擇條件②，用分組求和法，求解不等式得結果.【詳解】(1)設數列的公差為d，由題意知，∴，解得．∴的通項公式告．(2)選擇條件①：由（1），得，∴，由，得，解得．∴所求的n的最小值為6．選擇條件②：由（1），得．∴．由可得，解得，∴所求的n的最小值為7．15.【答案】(1)(2)【分析】（1）選擇條件①：由等差通項公式列出方程，得出數列的通項公式；選擇條件②：由等差求和公式列出方程，得出得出數列的通項公式；（2）由，結合等比求和公式得出數列的前項和．【詳解】(1)選擇條件①：設公差為，因為，，所以解得，所以.選擇條件②：設公差為，因為，，所以解得，所以.(2)因為，所以所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以16.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）選擇①利用可得答案；選擇②利用累乘法可得答案；選擇③利用等差數列的定義可得答案；（2）利用裂項相消求和可得答案.【詳解】(1)選擇①，當時，而時，滿足左式，∴．選擇②，，選擇③，由，得，從而得．(2)因為，所以因為，所以，∴.17.【答案】(1)(2)【分析】（1）設正項等比數列的公比為，若選擇條件①：由，得，又，所以解得即可求出的通項公式；若選擇條件②：由，則，又，即，解得即可求出的通項公式；若選擇條件③：是和的等差中項，可得，又，則解得即可求出的通項公式；（2）由（1）可知，則，利用裂項相消即可求出．【詳解】(1)設正項等比數列的公比為，若選擇條件①：由，得，又，所以，即解得或（舍去），所以；若選擇條件②：由，則，又，即，所以，解得或（舍去），所以；若選擇條件③：是和的等差中項，可得，又，則，即解得或（舍去），所以；(2)由（1）可知，則，所以．18.【答案】(1)，(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）設等差數列的公差為，利用，求出，再由等差數列的前項和公式可得答案.（2）若選①，由（1）得，由裂項相消求和可得答案；若選②，由（1）得，利用錯位相減求和可得答案；若選③，由（1）得，，由等差數列求和公式可得答案.【詳解】(1)設等差數列的公差為，因為，，所以，所以，所以，.(2)若選①，由（1）得，所以．若選②，由（1）得，所以，（*）（*）兩邊同時乘以2，得，（**）（*）（**），得，所以，若選③，由（1）得，，所以．19.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用等差數列和等比數列的通項公式及其等差數列的前項和公式求解即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】(1)選①：設數列的公比為，∵，得，則．已知數列為等差數列，設等差數列的公差為d，∵，得，∴解得，，故數列和的通項公式分別為，選②：∵數列為等差數列，設數列的公差為，數列的公比為，∵，得，∴解得，，，故數列和的通項公式分別為，；(2)由（1）知，∴，，①-②得，，∴．20.【答案】(1)(2)猜想，證明見解析【分析】（1）選擇條件①，分別令，3，4，能夠求出，，．選擇條件②，分別令，2，3，能夠求出，，．（2）由（1）猜想數列的通項公式：，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明當時命題也成立．【詳解】(1)解：選擇條件①，當時，，即，當時，，所以，即，當時，，即，故分別為3，5，7.選擇條件②，當時，，當時，.當時，故分別為3，5，7.(2)解：猜想，理由如下：選擇條件①時，由題知，，猜想成立，假設時，，則，所以兩式相減得：即所以，時成立，綜上所述，任意，有．選擇條件②時，由題知，，猜想成立，假設時，則所以，時成立，綜上所述，任意，有．21.【答案】(1)(2)【分析】設等比數列的公比為（1）若選①，根據是等比數列可知，再化簡求解即可；若選②，根據兩式相減可得公比，再代入求得即可（2）代入（1）中可得，再根據等比數列的前項和公式求解即可【詳解】(1)設等比數列的公比為，若選①，根據是等比數列可知，又，故，，故，，，故，即，解得，故，此時，故即為等比數列符合題意，故若選②，由可得，即，故，故，解得，故(2)，故22.【答案】答案見解析【分析】設數列的公差為，選擇①：由成等比數列，得，又，可得，從而求得，由得，解不等式根據為正整數可得答案