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文檔簡介
2025屆山西省長治市二中高考數(shù)學五模試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=,若關于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知橢圓的焦點分別為,,其中焦點與拋物線的焦點重合,且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.設復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi)的對應點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲5.已知定義在上的奇函數(shù),其導函數(shù)為,當時,恒有.則不等式的解集為().A. B.C.或 D.或6.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立7.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.8.已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為().A. B. C. D.9.已知,若對任意,關于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.10.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形11.函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,aβ,bα,則“ab“是“αβ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的一條漸近線為,且經(jīng)過拋物線的焦點,則雙曲線的標準方程為______.14.過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.15.若方程有兩個不等實根,則實數(shù)的取值范圍是_____________.16.已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)年,山東省高考將全面實行“選”的模式(即:語文、數(shù)學、外語為必考科目,剩下的物理、化學、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進行考試).為了了解學生對物理學科的喜好程度,某高中從高一年級學生中隨機抽取人做調(diào)查.統(tǒng)計顯示,男生喜歡物理的有人,不喜歡物理的有人;女生喜歡物理的有人,不喜歡物理的有人.(1)據(jù)此資料判斷是否有的把握認為“喜歡物理與性別有關”;(2)為了了解學生對選科的認識,年級決定召開學生座談會.現(xiàn)從名男同學和名女同學(其中男女喜歡物理)中,選取名男同學和名女同學參加座談會,記參加座談會的人中喜歡物理的人數(shù)為,求的分布列及期望.,其中.18.(12分)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點為F,P是拋物線Γ上一點,且在第一象限,滿足(2,2)(1)求拋物線Γ的方程;(2)已知經(jīng)過點A(3,﹣2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點,經(jīng)過定點B(3,﹣6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點L,問直線NL是否恒過定點,如果過定點,求出該定點,否則說明理由.19.(12分)已知.(1)解不等式;(2)若均為正數(shù),且,求的最小值.20.(12分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的中心為坐標原點焦點在軸上,右頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若是橢圓上關于軸對稱的任意兩點,設,連接交橢圓于另一點.求證:直線過定點并求出點的坐標;(3)在(2)的條件下,過點的直線交橢圓于兩點,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點,,且,證明.22.(10分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個整數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點,作出圖象,由圖可得:點(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時,k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點.作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當直線y=kx-和y=lnx相切時,設切點橫坐標為m,則k==,∴m=.此時,k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個交點,不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力,屬于難題.2、B【解析】
根據(jù)題意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【詳解】易知,且故有,則故選:B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì),考查了學生的計算能力,屬于中檔題3、C【解析】
化簡得到,得到答案.【詳解】,故,對應點在第三象限.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡和對應象限,意在考查學生的計算能力.4、D【解析】
根據(jù)雷達圖對選項逐一分析,由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項,甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項錯誤.對于B選項,甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項錯誤.對于C選項,乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項錯誤.對于D選項,甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項正確.故選:D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎題.5、D【解析】
先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù),再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則由題可知,所以在時為增函數(shù);由為奇函數(shù),為奇函數(shù),所以為偶函數(shù);又,即即又為開口向上的偶函數(shù)所以,解得或故選:D【點睛】此題考查根據(jù)導函數(shù)構(gòu)造原函數(shù),偶函數(shù)解不等式等知識點,屬于較難題目.6、C【解析】
A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯.B:由正弦定理和邊角關系可判斷B錯.C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯.C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯.故選:C【點睛】考查判斷命題的真假,是基礎題.7、A【解析】
根據(jù)焦點到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點,一條漸近線則點到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關系,識記常用的結(jié)論:焦點到漸近線的距離為,屬基礎題.8、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.考點:二項式系數(shù),二項式系數(shù)和.9、B【解析】
構(gòu)造函數(shù)(),求導可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設,,則,當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.10、B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應用,兩角差的正弦公式的應用,解題的關鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎題.11、C【解析】
顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應用,屬于基礎題.12、D【解析】
根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.【詳解】解:a?α,b?β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α與β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a與b異面,∴a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,a∥β,b∥α,則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷,考查面面平行的判定與性質(zhì),屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設以直線為漸近線的雙曲線的方程為,再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點,能求出雙曲線方程.【詳解】解:設以直線為漸近線的雙曲線的方程為,∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點,∴,∴雙曲線方程為,故答案為:.【點睛】本題主要考查雙曲線方程的求法,考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用,屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù)與已知直線垂直關系,設出所求直線方程,將已知圓圓心坐標代入,即可求解.【詳解】圓心為,所求直線與直線垂直,設為,圓心代入,可得,所以所求的直線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查圓的方程、直線方程求法,注意直線垂直關系的靈活應用,屬于基礎題.15、【解析】
由知x>0,故.令,則.當時,;當時,.所以在(0,e)上遞增,在(e,+)上遞減.故,即.16、【解析】
根據(jù)等差中項性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求得公比;代入表達式,結(jié)合對數(shù)式的化簡即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項公式可知,所以,解得或(舍),所以由對數(shù)式運算性質(zhì)可得,故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的簡單應用,等比數(shù)列通項公式的用法,對數(shù)式的化簡運算,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有的把握認為喜歡物理與性別有關;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)題目所給信息,列出列聯(lián)表,計算的觀測值,對照臨界值表可得出結(jié)論;(2)設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人,女同學有人,則,確定的所有取值為、、、、.根據(jù)計數(shù)原理計算出每個所對應的概率,列出分布列計算期望即可.【詳解】(1)根據(jù)所給條件得列聯(lián)表如下:男女合計喜歡物理不喜歡物理合計,所以有的把握認為喜歡物理與性別有關;(2)設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人,女同學有人,則,由題意可知,的所有可能取值為、、、、.,,,,.所以的分布列為:所以.【點睛】本題考查了獨立性檢驗、離散型隨機變量的概率分布列.離散型隨機變量的期望.屬于中等題.18、(1)y2=4x;;(2)直線NL恒過定點(﹣3,0),理由見解析.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的方程,求得焦點F(,0),利用(2,2),表示點P的坐標,再代入拋物線方程求解.(2)設M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因為A(3,﹣2),B(3,﹣6)在這兩條直線上,分別代入兩直線的方程可得y1y2=12,然后表示直線NL的方程為:y﹣y1(x),代入化簡求解.【詳解】(1)由拋物線的方程可得焦點F(,0),滿足(2,2)的P的坐標為(2,2),P在拋物線上,所以(2)2=2p(2),即p2+4p﹣12=0,p>0,解得p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;(2)設M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),則y12=4x1,y22=4x2,直線MN的斜率kMN,則直線MN的方程為:y﹣y0(x),即y①,同理可得直線ML的方程整理可得y②,將A(3,﹣2),B(3,﹣6)分別代入①,②的方程可得,消y0可得y1y2=12,易知直線kNL,則直線NL的方程為:y﹣y1(x),即yx,故yx,所以y(x+3),因此直線NL恒過定點(﹣3,0).【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關系,直線過定點問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用零點分段討論法可求不等式的解.(2)利用柯西不等式可求的最小值.【詳解】(1),由得或或,解得.(2),所以,由柯西不等式得:所以,即(當且僅當時取“=”).所以的最小值為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖象法、平方法等,利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇,利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負,而利用圖象法求解時注意圖象的正確刻畫.利用柯西不等式求最值時注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式,本題屬于中檔題.20、(1);(2)證明詳見解析,;(3).【解析】
(1)根據(jù)題意列出關于的等式求解即可.(2)先根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,再設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,進而求得的方程,并代入,化簡分析即可.(3)先分析過點的直線斜率不存在時的值,再分析存在時,設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得出韋達定理再代入求解出關于的解析式,再求解范圍即可.【詳解】解:設橢圓的標準方程焦距為,由題意得,由,可得則,所以橢圓的標準方程為;證明:根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,由題意可知直線的斜率存在,設直線的方程為,聯(lián)立,消去得到,設點,則.所以,所以的方程為,令得,將,代入上式并整理,,整理得,所以,
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