專題53 最值、范圍問(wèn)題解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題53最值、范圍問(wèn)題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)1】最值問(wèn)題 9【考點(diǎn)2】范圍問(wèn)題 19【分層檢測(cè)】 32【基礎(chǔ)篇】 32【能力篇】 42【培優(yōu)篇】 47真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．二、解答題2．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．(1)求橢圓方程．(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．參考答案：題號(hào)1答案C1．C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.2．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).3．(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過(guò)定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過(guò)定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過(guò)尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過(guò)程同解法一；法三：通過(guò)設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過(guò)定點(diǎn)，省去聯(lián)立過(guò)程，也不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法．4．(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡(jiǎn)可得，由柯西不等式即可求出最小值．【詳解】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查最值的計(jì)算，第一問(wèn)利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問(wèn)思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較大，求最值的過(guò)程中還使用到柯西不等式求最值，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】最值問(wèn)題一、解答題1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）求面積的最大值．2．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)且.(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)，求證：.4．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).(1)求雙曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過(guò)且斜率非負(fù)的直線與的左?右支分別交于.過(guò)做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為與重合）.為圓上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線：上的一點(diǎn)，直線交于A，B兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為2.(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)求的最小值.6．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)是上兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線斜率的最大值.參考答案：1．(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.（2）（i）由（1）知，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意，因此，直線：恒過(guò)定點(diǎn).（ii）由（i）知，，則，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.2．(1)(2)或．(3)．【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得，即可求解；（2）由題意設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，結(jié)合的面積建立方程，計(jì)算即可求解；（3）由（2）可得，進(jìn)而，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長(zhǎng)為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．（3）由（2）可知，因?yàn)榈男甭适堑男甭实?倍，所以，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．

3．(1)(2)或.(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)雙曲線的漸近線為，將代入漸近線方程，得出方程.，解出c，綜合解出即可.（2）斜率不存在是剛好滿足，斜率存在與漸近線平行時(shí)也成立，分情況討論，求出直線方程即可.（3）用弦長(zhǎng)公式求出，看做k的函數(shù)，后借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)最小值，結(jié)合放縮即可證明.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的漸近線為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，所以，又，故，又解得，故雙曲線的方程為.（2）如圖，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，滿足題意；如圖，當(dāng)斜率存在時(shí)，由雙曲線的性質(zhì)結(jié)合看圖可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且平行于雙曲線的漸近線時(shí)，直線與雙曲線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，此時(shí)直線方程為：，即綜上：直線的方程為或.（3）由題，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，Ax1,聯(lián)立，整理得：，則由弦長(zhǎng)公式：令，則,則,，則令,與同正負(fù).，此時(shí)，則，即單調(diào)遞增，則，且，則，使得則當(dāng)，即，則單調(diào)遞減.當(dāng)，即，則單調(diào)遞增.則在出取得最小值,且，故即，原命題得證.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于第二問(wèn)的計(jì)算，計(jì)算過(guò)程十分復(fù)雜，計(jì)算量大，并且基本都是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，要求十分仔細(xì)才可以.4．(1)，(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求雙曲線方程，利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求切線方程即可得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先設(shè)直線的方程，再利用三點(diǎn)共線，可求出直線過(guò)定點(diǎn)，從而把面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩定點(diǎn)上去研究，最后發(fā)現(xiàn)為實(shí)軸兩頂點(diǎn)時(shí)取到最小值，再去研究另一個(gè)圓上動(dòng)點(diǎn)的最小值.【詳解】（1）由題意可知，，即，故的方程為：.因?yàn)樵诘谝幌笙蓿环猎O(shè)，則可變形為，則，代入得：，所以切線方程為，令得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為1,0.（2）

顯然直線的斜率存在且不為，設(shè)，則，聯(lián)立方程，整理得：，，由三點(diǎn)共線得：，即，整理得：，所以，整理得，滿足，所以直線過(guò)定點(diǎn)，則且線段垂直于x軸，令分別表示到的距離，結(jié)合圖，顯然，僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)兩式中等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)思想來(lái)研究某點(diǎn)處的切線方程；對(duì)于面積問(wèn)題，本題是要轉(zhuǎn)移到一邊已知，從而把面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到這邊距離的最小值問(wèn)題.5．(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求出，則得到準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)點(diǎn)，計(jì)算斜率得到，聯(lián)立直線與拋物線得到，則得到韋達(dá)定理式，代入即可得到，則，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到最值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在：y2=2pxp>0所以，解得.所以的準(zhǔn)線方程為.（2）由（1）知：，設(shè)Ax1,y1，同理可得，所以，即.聯(lián)立得，由得.（*），，，所以，整理得.所以，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，滿足（*）式，故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)斜率之積的式子得到，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再代入得到，最后統(tǒng)一變量得到利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.6．(1)(2)【分析】（1）首先由條件求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式，即可求解；（2）首先聯(lián)立直線與拋物線方程，利用，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示直線的斜率，即可求解.【詳解】（1）由拋物線的定義可知.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，解得，故的方程?（2）由題意知AB斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立方程得，，則因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，則，即，解得，所以.又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故直線斜率的最大值為.反思提升：處理圓錐曲線最值問(wèn)題的求解方法圓錐曲線中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.【考點(diǎn)2】范圍問(wèn)題一、解答題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：，直線與E交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上（不含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P的另一條直線與E交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，點(diǎn)A在第二象限，求直線的斜率；(3)若直線MA，MB的斜率之和為2，求直線的斜率的取值范圍.2．（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．3．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線C：上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．(1)若點(diǎn)P是直線與圓的交點(diǎn)，求a；(2)求的取值范圍．4．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于D、E兩點(diǎn).(1)若，試求直線的斜率;(2)記雙曲線的兩條漸近線分別為，過(guò)曲線的右支上一點(diǎn)作直線與，分別交于M、N兩點(diǎn)，且M、N位于軸右側(cè)，若滿足，求的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.5．（2024·重慶·三模）設(shè)圓D：與拋物線C：交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，已知(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)A在第一象限，動(dòng)點(diǎn)異于點(diǎn)A，在拋物線C上，連接MB，過(guò)點(diǎn)A作交拋物線C于點(diǎn)N，設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左邊時(shí)，求：①點(diǎn)P的軌跡方程；②面積的取值范圍.6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)(0，1)距離與點(diǎn)P到直線距離的差為﹣1，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（i）求W在點(diǎn)P處的切線的斜率(用表示)；（ii）直線l與W分別交于點(diǎn)A，B．若，求直線l的斜率的取值范圍(用表示).參考答案：1．(1)(2)(3).【分析】（1）把點(diǎn)代入方程列方程組求解即可；（2）①設(shè)直線方程為，代入橢圓E的方程可得，結(jié)合判別式與韋達(dá)定理，由，求出直線斜率即可；②由,可知，代入，，可得或，利用判別式求解的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以解得，.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，得，即，，，.

由得，則，則.由得：，即，

代入得，，，解得：，，.故直線的斜率為.（3）由,可知，即，即，即，

代入，，得，即，故，故或.

當(dāng)時(shí)，直線過(guò)，此時(shí)點(diǎn)重合，與條件矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，由，所以，即從而直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化等價(jià)條件，利用判別式和韋達(dá)定理，向量的共線問(wèn)題求解，求解參數(shù)的范圍.2．(1)(2)【分析】(1)利用橢圓的定義，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，解出a，b即可得橢圓方程；(2)設(shè)的方程為代入橢圓方程，求出M的坐標(biāo)，可得，用代替k，可得，求出的面積S，可得，解不等式可得k的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性知四邊形是平行四邊形，所以，．由橢圓定義知，則，．設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．則，所以直線，如圖所示，

設(shè)，聯(lián)立，消去并整理得，．．．所以，所以，．．所以，．同理可得：，所以，所以，由，得，整理得，得，．又，所以，所以或．所以的取值范圍為．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的三角形面積問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于計(jì)算過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，計(jì)算量較大，并且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，十分容易出錯(cuò).3．(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程運(yùn)算求解即可；（2）設(shè)，，根據(jù)中垂線方程以及雙曲線的切線方程解得，換元令，可得，令，可知關(guān)于x的方程有正根，更換主元法求范圍即可.【詳解】（1）聯(lián)立方程：，解得或，即點(diǎn)為或，將點(diǎn)代入雙曲線C：可得，解得，所以.（2）先證：在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，顯然直線過(guò)點(diǎn)，即，，聯(lián)立方程，消去y可得，即，則，解得，所以在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.設(shè)，，則，可得線段OP的垂直平分線為，即，設(shè)直線與雙曲線C切于點(diǎn)x1,y1則，即，且，即，整理可得，又因?yàn)樵陔p曲線C上，則，即，可得，解得（舍負(fù)），則，令，則，可得，令，則關(guān)于x的方程有正根，即關(guān)于t的方程在內(nèi)有根，設(shè)，若，即，則，不合題意；若，即，則，解得，不合題意；若，即，則，解得；綜上所述：，則，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍問(wèn)題的方法一般題目中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．4．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，根據(jù)垂直得到，再展開(kāi)代入韋達(dá)定理式求解值，最后檢驗(yàn)即可；（2）設(shè),得到相關(guān)向量，根據(jù)向量共線得到方程組，解出，再將其代入雙曲線方程化簡(jiǎn)得到，最后利用面積公式和導(dǎo)數(shù)求出面積范圍即可.【詳解】（1）由題意知直線的斜率一定存在.設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，化簡(jiǎn)得:，其中所以，因?yàn)?，所?即:，換元后有:.所以，化簡(jiǎn)得:.解得:或.當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，代入得，滿足題意.所以.（2）設(shè)，則.由可知:，因?yàn)?，所以，且有，化?jiǎn)得:.又，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，在定義域上單減;當(dāng)時(shí)，在定義域上單增.所以.所以的取值范圍是:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用定比公式得到，再將其代入回雙曲線方程化簡(jiǎn)整理出關(guān)鍵的，最后得到面積表達(dá)式，求出其范圍即可.5．(1)(2)①且；②【分析】（1）求得圓心，半徑為，設(shè)與軸交于點(diǎn)，在直角中，求得，結(jié)合拋物線C過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組取得，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，得到的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線方程，聯(lián)立方程組求得，進(jìn)而且，得出點(diǎn)P的軌跡方程；再設(shè)Px,y，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得的表達(dá)式，結(jié)合且，進(jìn)而的其取值范圍.【詳解】（1）解：由圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓心，半徑為，設(shè)與軸交于點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)閳AD和拋物線C都關(guān)于x軸對(duì)稱，則E，F(xiàn)兩點(diǎn)也關(guān)于x軸對(duì)稱，且，所以在直角中，，所以，則，又由拋物線C過(guò)點(diǎn)，即，則，所以拋物線C方程為.（2）聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)，，則，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則直線的斜率為，直線，直線的斜率為，直線，將拋物線C代入直線AN得，解得點(diǎn)，則直線BN的斜率為，所以直線，①聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l的左邊，則，即，所以，則，又因?yàn)椋?，由，可得且，所以點(diǎn)P的軌跡方程為且.②設(shè)Px,y，則P到直線l的距離，因?yàn)?，則，則，又因?yàn)榍?，所以，所以【點(diǎn)睛】方法策略點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；3、涉及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應(yīng)用.6．(1)(2)（i），（ii）答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用距離公式列式化簡(jiǎn)求解即可；（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率；（ii）分析直線l斜率存在設(shè)為，與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，表示出線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系得，從而，根據(jù)，得，分類(lèi)討論解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意得，即，所以或整理得或故W的方程為.（2）（i）因?yàn)閃為，所以．所以W在點(diǎn)P處的切線的斜率為：；（ii）設(shè)直線l為，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不合題意，所以；因?yàn)辄c(diǎn)A，B滿足所以滿足，從而因?yàn)橹本€PM的方程為，所以，即，從而.因?yàn)?，所以，即，等價(jià)于(其中).①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有，此時(shí)，③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有，其中，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.反思提升：解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：與拋物線：交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C．2 D．42．（2024·河南·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．23．（2021·云南文山·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)P，Q，右頂點(diǎn)為A，線段的中點(diǎn)為E，直線交x軸于，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2021·江西九江·一模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知橢圓，且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．的周長(zhǎng)為12C．的最小值為3 D．的最大值為166．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，且一條漸近線的方程為，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的方程為 B．C．點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積為 D．的最小值為17．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)不在拋物線上（）A．若直線過(guò)點(diǎn)，且與軸垂直，則B．若的最小值為3，則C．若直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，則直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率，滿足D．若過(guò)，所作的拋物線的兩條切線互相垂直，且，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和的最小值為2，則三、填空題8．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值為．9．（2021·山東德州·二模）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)作平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是．10．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知拋物線方程為，直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為．四、解答題11．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求p的值和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．12．（23-24高三上·天津南開(kāi)·期末）設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求橢圓的方程；(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，且兩條對(duì)角線均過(guò)的右焦點(diǎn)，求的最小值.參考答案：題號(hào)1234567答案ADDCBDACDACD1．A【分析】解法一：確定外接圓的方程，與橢圓聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程即可得解；解法二：根據(jù)橢圓和拋物線的對(duì)稱性知的外接圓的圓心必在x軸，設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為，結(jié)合圓的性質(zhì)可得、進(jìn)而得，代入橢圓方程計(jì)算即可求解.【詳解】解法一：設(shè)，則，，由橢圓和拋物線的對(duì)稱性，知的外接圓的圓心必在x軸，又圓過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，所以該圓的圓心為，半徑為，所以該圓的方程為，由點(diǎn)為圓與橢圓的交點(diǎn)，由，解得，所以.解法二：設(shè)，則，.由題意知，四點(diǎn)共圓，由橢圓和拋物線的對(duì)稱性，知的外接圓的圓心必在x軸，設(shè)與x軸相交于點(diǎn)D，則，在圓中，由相交弦定理可得有，即，又，所以，解得，①代入，得，②將①②代入橢圓方程，得，整理，得，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意.故實(shí)數(shù)p的值為.故選：A.2．D【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳解】依題意，橢圓短軸長(zhǎng)為，得，則，又的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以，則其焦距為.故選：D3．D【解析】由雙曲線的對(duì)稱性及題意可知M為的重心可得的值，進(jìn)而可得解.【詳解】由已知得M為的重心，∴，又，∴，即.故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的性質(zhì)及基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】根據(jù)題意得點(diǎn)在以為直徑的圓上或圓內(nèi)，即，結(jié)合為雙曲線上一點(diǎn)，然后解不等式即可【詳解】解：要使得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上或圓內(nèi)，，又，且，，故選:C.5．BD【分析】由題，利用離心率公式、橢圓的定義和基本不等式即可一一判斷．【詳解】橢圓，則對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C：的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：BD．6．ACD【分析】由漸近線的方程可得，又點(diǎn)在雙曲線上，可求出雙曲線的方程，可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)條件可得，可判斷選項(xiàng)B;設(shè)點(diǎn)由點(diǎn)到直線的距離結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的方程為，所以，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，所以，得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選項(xiàng)A正確；易知，所以，所以，所以選項(xiàng)B不正確；設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積為，所以選項(xiàng)C正確；當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值為1，所以選項(xiàng)D正確．故選：ACD．7．ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)求出，可知A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在拋物線的外部時(shí)，求出，可知B不正確；對(duì)于C，利用斜率公式計(jì)算可得，可知C正確；對(duì)于D，設(shè)，，利用兩條切線互相垂直求出，根據(jù)的最小值，得到的坐標(biāo)，再求出三角形的面積，可知D正確.【詳解】若直線過(guò)點(diǎn)，且與軸垂直，則，所以，所以A正確.當(dāng)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部時(shí)，設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，由得；當(dāng)點(diǎn)在拋物線的外部時(shí)，連接，則的最值為，所以，得，所以B不正確.易知直線的斜率存在，設(shè)直線：，與聯(lián)立，消去得，設(shè)，，則，從而可得，所以，所以C正確.設(shè)，，由得，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，所以，所以，即，，因?yàn)辄c(diǎn)，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8．【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可聯(lián)立方程求解.【詳解】因?yàn)闉闄E圓的右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則，由橢圓的定義，得，當(dāng)為射線與橢圓交點(diǎn)時(shí)，取最小值，因?yàn)橹本€方程為，設(shè)Px,y，聯(lián)立，消去得或，由于，所以，故答案為：

9．【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由角平分線性質(zhì)可知，，即可列出等式，確定點(diǎn)的軌跡，轉(zhuǎn)化圓周上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈钠椒志€，且，所以為的中點(diǎn)，為的垂直平分線，所以，在中，、分別為、的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是故答案為：10．【分析】將直線向拋物線平移，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最小，所以只要求與直線平行的切線方程，然后利用兩平行線間的距離公式求解即可【詳解】設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由，得，則，得，所以切線方程為，所以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為，故答案為：11．(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義與方程求解；（2）利用向量處理，結(jié)合韋達(dá)定理代換整理，注意討論直線l斜率是否存在．【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線是，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以；（2）因?yàn)辄c(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．（?。┤糁本€l的斜率不存在，則．由得，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)椋?；因?yàn)?，所以，即，所以，所以因?yàn)?，所以①．（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則．設(shè)．由得，所以，且，所以（*），因?yàn)?，所以，即，所以，所以，得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以則所以，得，所以②，代入（*）得，，所以③，由②得，所以④，所以，所以，⑤由④，⑤知，綜合（?。áⅲ┲本€l在x軸上截距b的取值范圍是．12．(1)(2).【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓所過(guò)點(diǎn)，利用橢圓的定義可求方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，利用二次函數(shù)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.所以橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時(shí)，.②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程，由，得，則，.設(shè)直線的方程為，同理得，所以，設(shè)，則，則，所以時(shí)，有最小值.綜上，的最小值是.【能力篇】一、單選題1．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，滿足在橢圓上存在一點(diǎn)到直線的距離均為，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，圓，為圓上任意一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn).過(guò)作橢圓的兩條切線，，當(dāng)，與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，記兩切線斜率分別為，，則（

）A．橢圓的離心率為 B．的最小值為1C．的最大值為 D．三、填空題3．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線是雙曲線的兩條漸近線，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是，則點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是．四、解答題4．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，P是E的右支上一點(diǎn)，且，的面積為3．(1)求E的方程；(2)若E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)的直線l與E的右支交于M，N兩點(diǎn)，直線AM和BN的斜率分別即為和，求的最小值．參考答案：題號(hào)12答案BAC1．B【分析】設(shè)，根據(jù)距離公式可得是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，整理得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，求解得，結(jié)合不等式即可得最大值.【詳解】

由題可設(shè)，則到直線的距離為，到直線的距離為，所以是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，該方程即，于是．又，所以，同理，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：B.2．AC【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷選項(xiàng)A，再由兩點(diǎn)間距離，判斷BC，利用切線方程的斜率和韋達(dá)定理求解判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，，則，故，故A正確；對(duì)于BC，設(shè)，則，而圓的圓心O0,0，半徑為，則，因?yàn)?，所以，則，所以，即，所以的最小值為，最大值為，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，聯(lián)立，，根據(jù)直線與橢圓的相切，則，化簡(jiǎn)可得，，可知是方程的兩個(gè)根，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：AC3．【分析】設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合P的坐標(biāo)滿足雙曲線的方程，可得P到兩漸近線的距離之積為定值，由反比例的性質(zhì)，可得所求范圍．【詳解】設(shè)點(diǎn)，