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5.5.1課時1兩角差的余弦公式【教學目標】了解兩角差的余弦公式的推導過程;熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征,并能利用該公式進行求值、計算.【教學活動設(shè)計】教學導入師:同學們,前邊我們學習了誘導公式,利用它們對三角函數(shù)式進行恒等變形,可以達到化簡、求值或證明的目的.這種利用公式對三角函數(shù)式進行的恒等變形就是三角恒等變換.觀察誘導公式,可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角的和或差的三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)的恒等關(guān)系.同學們思考:如果現(xiàn)在把特殊角換成任意角,那么這兩個任意角和的和或差的三角函數(shù)與、的三角函數(shù)會有什么關(guān)系呢?這也就是我們這節(jié)課研究的主題:三角恒等變換.首先我們進入兩角差的余弦公式學習.【設(shè)計意圖】以學生學過的誘導公式等知識引出課程主題,讓學生形成數(shù)學系統(tǒng),對前后知識進行聯(lián)系.教學精講師:同學們,假設(shè)我們已知兩個任意角和,知道它們的正弦、余弦,能不能推導出的正弦、余弦?可以在單位圓中進行研究分析.【情境設(shè)置】通過單位圓分析兩角差的余弦公式不妨令.如圖,設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點,以軸非負半軸為始邊作角,它們的終邊分別與單位圓相交于點,.師:由平面幾何知識,我們可以知道,也就是說,若把扇形繞著點旋轉(zhuǎn)角,則點分別與點重合,根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可以知道,與重合,從而,那如果連接,是不是可以得到?生:與是全等圖形,.師:怎樣用坐標表示和呢?生:在單位圓中,各點都可以用坐標表示,所以可以利用兩點間的距離公式表示出和.師:很好,所以根據(jù)兩點間的距離公式,可以得到:,化簡得.當時,容易證明上式仍然成立.所以可以得到兩角差的余弦公式:【要點知識】兩角差的余弦公式對于任意角有此公式給出了任意角的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記作.【設(shè)情境,巧激趣】以問題引出研究的內(nèi)容,激發(fā)學生興趣點,探求知識的興趣,又結(jié)合之前的知識和單位圓,在熟悉的情境中研究新的內(nèi)容,培養(yǎng)和發(fā)展直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).【說明論證能力】啟發(fā)學生思考,建立對推理問題思考的連貫性,增強對問題情境的認識,提升對知識的說明論證能力.【深度學習】通過師生問答,得到差角的余弦公式,再將公式總結(jié),學生先思考,再總結(jié),實現(xiàn)深度學習.師:由此我們知道,當已知兩個任意角和的正弦、余弦,利用公式求出,的余弦.下面我們利用這個公式證明以下誘導公式.【典型例題】差角的余弦公式的應用——簡單證明例1利用公式證明:(1).師:這兩個式子都是我們很熟悉的誘導公式,現(xiàn)在差角的余弦公式可以給我們提供一種新的證明方法,那也就是把和看作是兩個角,所以可得:,所以結(jié)果等于.那么第二題用同樣的方法,,結(jié)果等于.主要還是通過這兩個小題,我們要加深對公式的理解和記憶.公式巧記為:兩角差的余弦等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和,即余·余+正·正.下面我們探究例2題.【典型例題】差角的余弦公式的應用——簡單計算例2求下列各式的值:(1).(2).(3).【學生獨立思考,獨立完成,教師巡視檢查并予以點評】師:好的,同學們,看到大家完成得都不錯,我們現(xiàn)在來看黑板,關(guān)鍵是熟悉題目計算過程.【典例解析】解:.(2)原式.(3).師:以上是差角的余弦公式的一些簡單應用的解法:(1)兩特殊角之差的余弦值,利用兩角差的余弦公式直接展開求解;(2)含有常數(shù)的式子,先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值,再利用兩角差的余弦公式求解;(3)求非特殊角的三角函數(shù)值,把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個特殊角的差,然后利用兩角差的余弦公式求解.其實這一部分題目除了以上計算以外,還可以細分為兩種類型:一是“給值求值”,二是“給值求角”.【情境學習】在具體的問題情境下,學生通過將差角的余弦公式利用在具體問題的證明中,增強對所學知識的認識,學習相關(guān)概念,理解運算方法.【以學論教】利用具體問題,練習掌握差角的余弦公式,教師以學生的理解為中心,啟發(fā)學生思考,活學活用,發(fā)展學生邏輯推理等核心素養(yǎng).【概括理解能力】通過對差角的余弦公式的巧妙記憶,歸納總結(jié),熟練掌握,提升概括理解能力.【典型例題】差角的余弦公式的應用——“給值求值”例3已知是第三象限角,求的值.師:對于差角余弦公式的應用,更多的還是體現(xiàn)在求值上,怎樣求值?因為通過公式我們知道,要想求的值,我們要先知道和和,所以可以先根據(jù)已知,求得和,請同學分別計算說一下.生由,得 生2:又由是第三象限角,得 師:很好!做這樣的題,一定要注意其中角的范圍,正負是一定要確定清楚的.得到了和的值,接下來我們利用公式計算,最終計算得到.【分析計算能力】以具體的問題,具體的角度,引導學生結(jié)合差角余弦公式解決問題,不查表,快速對所給角度進行拆分,配湊出特殊角,培養(yǎng)學生的分析計算能力.【教師總結(jié)】給值求值的解題策略:(1)已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系,即拆角與湊角.(2)由于和、差角與單角是相對的,因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換.常見角的變換有:①;②;③;④.師:一般情況下,對于差角的余弦公式有如下變形:【要點知識】兩角差的余弦公式的逆用以及變換使用1.逆用:.2.角變換后使用:.3.移項使用:.4.特殊化使用導出誘導公式:.【分析計算能力】讓學生獨立完成解題,增強對差角的余弦公式的理解,靈活掌握、應用公式,提升對題目的分析計算能力.【深度學習】在知識、方法的基礎(chǔ)上,整理總結(jié)相關(guān)題型,通過對題型和方法的分類,加深對差角的余弦公式的理解,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).師:因為涉及差角的余弦公式的計算有很多,所以我們再練習一道補充例題,即“給值求角”.【典型例題】差角的余弦公式的應用——“給值求角”例4已知,且,求的值.【學生獨立思考,獨立完成,教師巡視檢查并予以點評】師:提示一下已知三角函數(shù)值求角的解題步驟:(1)界定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍.(2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.注意:由三角函數(shù)值求角時,易忽視角的范圍,而得到錯誤答案.那我們接下來看一下黑板上完整的解題步驟.【典例解析】解:由,得.由,得.又∵,【以學定教】教師在學生自主練習之后進行題目點評,總結(jié)歸納做題要點,以及結(jié)論,以學生的理解為中心,提升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).【以學論教】教師補充給值求角題型練習,使學生建立對知識,方法,題型的全面認識,以學生的理解為中心,加深學生對這一部分的知識和方法上的理解.師:當由三角函數(shù)值求角時,一定注意角的范圍.解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值,而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的范圍來確定,當所求角范圍是或時,選取求余弦值,當所求角范圍是或時,選取求正弦值.這道題里涉及了差角的正弦,差角的正弦也是有公式存在的,我們下節(jié)課推導后,就可以直接使用公式解題了.接下來,我們再練習幾道題目,鞏固一下.【鞏固練習】兩角差的余弦公式1.利用公式證明:(1).(2).2.利用公式求的值.3.已知,求的值.4.已知是第二象限角
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