江蘇省東南中學2025屆高考臨考沖刺數(shù)學試卷含解析

江蘇省東南中學2025屆高考臨考沖刺數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度3．隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質量的關注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質量等級，一級空氣質量最好，一級和二級都是質量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B．第二季度與第一季度相比，空氣達標天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質量最好的一個月D．6月份的空氣質量最差.4．已知曲線，動點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，則直線截圓所得弦長為（）A． B．2 C．4 D．5．已知集合，，則（）A． B．C． D．6．已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．17．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．8．下圖為一個正四面體的側面展開圖，為的中點，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．9．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．10．在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質類別，在五者之間，有一種“相生”的關系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.811．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．12．國務院發(fā)布《關于進一步調整優(yōu)化結構、提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實教育投入．某研究機構統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B．年以來，國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在內有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.14．已知△ABC得三邊長成公比為2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_____.15．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學生的成績，并根據(jù)這1000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[250，400)內的學生共有____人．16．等邊的邊長為2，則在方向上的投影為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.19．（12分）已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，.（1）求數(shù)列{an}的通項an；（2）設bn＝an?3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.20．（12分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.（1）求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程；（2）設與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.21．（12分）已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求實數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，滿足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設，則，所以函數(shù)在上單調遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點睛】本題考查了導數(shù)在恒成立問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關系進行判斷即可．詳解：將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B．點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結合和的關系是解決本題的關鍵．3、D【解析】由圖表可知月空氣質量合格天氣只有天，月份的空氣質量最差．故本題答案選．4、C【解析】

設，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進而得到切線方程，將點坐標代入切線方程，抽象出直線方程，且過定點為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設，則的斜率分別為，所以的方程為，即，，即，由于都過點，所以，即都在直線上，所以直線的方程為，恒過定點，即直線過圓心，則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系，拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵，屬于中檔題.5、A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質可知，再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎題.6、C【解析】

利用復數(shù)的四則運算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復數(shù)的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題.7、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.8、C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點重合，記作，取中點，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點重合，記作：則為中點，取中點，連接，設正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應用，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質，以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.10、B【解析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎題.11、C【解析】

設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論．【詳解】設分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．12、C【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，，設，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設，，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調遞增，，，.當時，易知不成立；當時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學生的轉化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關鍵.14、-【解析】試題分析：根據(jù)題意設三角形的三邊長分別設為為a,2a,2a，∵2a>2a>a,∴2a所對的角為最大角，設為θ，則根據(jù)余弦定理得考點：余弦定理及等比數(shù)列的定義.15、750【解析】因為0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1，得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.00516、【解析】

建立直角坐標系，結合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知：，，，則：，，且，，據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）利用，推出，然后利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂項法，即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足且可得，即，所以數(shù)列是公差，首項的等差數(shù)列，故，所以.（2）由（1）知，所以數(shù)列的前n項和：==【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及“裂項法”求解數(shù)列的前n項和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項公式，合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.18、（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)兩個曲線的焦點相同，得到，再根據(jù)與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數(shù)量積得出，則問題得以證明；（3）設直線，直線，、、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為定值，進而可得出結論.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為，也是橢圓的一個焦點，，①又與的公共弦的長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，，②聯(lián)立①②，得，，故的方程為；（2）如圖，，由得，在點處的切線方程為，即，令，得，即，，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.故直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）設直線，直線，、、，則，設向量和的夾角為，則的面積為，由，可得，同理可得，故有.又，故，則，因此，的面積為定值.【點睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關系，考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解，關鍵是聯(lián)立方程，構造方程，利用韋達定理，以及向量的關系，得到關于斜率的方程，計算量大，屬于難題．19、（1）.（2）【解析】

（1）先設等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關于d的方程，解出d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項an；（2）先根據(jù)第（1）題的結果計算出數(shù)列{bn}的通項公式，然后運用錯位相減法計算前n項和Tn.【詳解】（1）由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），則a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，整理，得12d2+7d﹣10＝0，解得d（舍去），或d，∴an＝1（n﹣1），n∈N*.（2）由（1）知，bn＝an?3n?3n＝（2n+1）?3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）?3n﹣1，∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）?3n﹣1+（2n+1）?3n，兩式相減，可得：﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2?3n﹣1﹣（2n+1）?3n＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n＝3+2（2n+1）?3n＝﹣2n?3n，∴Tn＝n?3n.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算，以及運用錯位相減法計算前n項和.考查了轉化與化歸思想，方程思想，錯位相減法的運用，以及邏輯思維能力和數(shù)學運算能力.屬于中檔題.20、（1），；（2）1.【解析】

（1）利用正弦的和角公式，結合極坐標化為直角坐標的公式，即可求得曲線的直角坐標方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標即可；（2）先求出的直角坐標，據(jù)此求得中點的直角坐標，將其轉化為極坐標，聯(lián)立曲線的極坐標方程，即可求得兩點的極坐標，則距離可解.【詳解】（1）：可整理為，利用公式可得其直角坐標方程為：，：的普通方程為，利用公式可得其極坐標方程為（2）由（1）可得的直角坐標方程為，故容易得，，∴，∴的極坐標方程為，把代入得，.把代入得，.∴，即，兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化，涉及參數(shù)方程轉化為普通方程，以及在極坐標系中求兩點之間的距離，屬綜合基礎題.21、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）先求導，然后利用導數(shù)等于求出切點的橫坐標，代入兩個曲線的方程，解方程組，可求得；（2）設與交點的橫坐標為，利用導數(shù)求