湖北省武漢市江岸區(qū)高三上學(xué)期11月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2024～2025學(xué)年度高三十一月數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算法則計算可得.【詳解】由題意，因?yàn)椋?，故選：B.3.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法可求得結(jié)果.【詳解】對于A：因?yàn)?，利用不等式的性質(zhì)得，故A錯誤；對于B：根據(jù)不等式可加性可知：，則，故B錯誤；對于C：作差可得，因?yàn)椋?，則，故C正確；對于D：，則，根據(jù)不等式可加性可知：，故D錯誤.故選：C.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，解?故選：B.5.若向量，，且，，三點(diǎn)共線，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得∥，根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：由，，三點(diǎn)共線，得∥，得，解得.故選：B.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式求，結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，且，可得，則，，所以，故選：A.7.定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，判斷，在上單調(diào)遞增，且，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題意可得，，在上單調(diào)遞增，且，由，得，或，時，，或，又，即，或，故，解得，時，，或，又，即，故，解得，或，則不等式的解集為：，故選：D.8.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，若點(diǎn)是與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且,設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為,,由題意可得，用表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出范圍.詳解】如圖所示：設(shè)橢圓與雙曲線的焦距為,,由題意可得，，即，即，由可知，令，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線和橢圓的性質(zhì)以及離心率的問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.近年來，我國持續(xù)釋放旅游消費(fèi)潛力，推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，如圖所示，是我國從2014年到2023年國內(nèi)游客出游花費(fèi)統(tǒng)計，下列說法正確的是（）A.從2014年到2023年，這10年的國內(nèi)游客出游花費(fèi)的第75百分位數(shù)為4.9B.從2014年到2023年，這10年的國內(nèi)游客出游花費(fèi)的中位數(shù)為3.4C.從2014年到2023年，這10年的國內(nèi)游客出游花費(fèi)的極差為2.7D.從2014年到2019年，國內(nèi)游客出游花費(fèi)呈現(xiàn)上升趨勢【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，將其從小到大一排列，即可逐一求解.【詳解】由圖可知：10年游客出游花費(fèi)從小到大排列為2，2.2，2.9，3，3.4，3.9，4.6，4.9，5.1，5.7，故，故第75百分位數(shù)為第八個數(shù)4.9，A正確，中位數(shù)為，故B錯誤，極差為，C錯誤，由折線圖可知從2014年到2019年，國內(nèi)游客出游花費(fèi)呈現(xiàn)上升趨勢，D正確，故選:AD10.記等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，若，則的可能取值為（）A. B.5 C.6 D.7【答案】BD【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)得出，再把6拆成兩個正整數(shù)的積，只有兩種，從而可得．【詳解】由題意，∴，又，而，∴或，故選：BD．11.已知點(diǎn)是左、右焦點(diǎn)為，的橢圓：上的動點(diǎn)，則（）A.若，則的面積為B.使為直角三角形的點(diǎn)有6個C.的最大值為D.若，則的最大、最小值分別為和【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積的相關(guān)結(jié)論即可判斷A；結(jié)合橢圓性質(zhì)可判斷B；結(jié)合橢圓定義可求線段和差的最值，判斷CD.【詳解】A選項(xiàng)：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項(xiàng)：當(dāng)或時為直角三角形，這樣的點(diǎn)有4個，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，則,同理，知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點(diǎn)有6個，故B正確；C選項(xiàng)：由于，所以當(dāng)最小即時，取得最大值，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋?，則的最大、最小值分別為和，當(dāng)點(diǎn)位于直線與橢圓的交點(diǎn)時取等號，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶.為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)45253818以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.若6月份這種冷飲一天的需求量不超過瓶的概率估計值為0.1，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)頻率分布表的頻率估計概率，進(jìn)而得解.【詳解】由表可知，最高氣溫低于的頻率為：，所以月份這種冷飲一天的需求量不超過瓶的概率估計值為.故答案為：.13.已知直線l傾斜角的余弦值為，且經(jīng)過點(diǎn)2,1，則直線l的方程為________．【答案】.【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出直線斜率，點(diǎn)斜式求出直線方程即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由題意知，則，所以，又直線過點(diǎn)2,1，所以直線方程為，即直線方程為.故答案為：14.1557年，英國數(shù)學(xué)家列科爾德首先使用符號“”表示相等關(guān)系，在萊布尼茨和其他數(shù)學(xué)家的共同努力下，這一符號才逐漸被世人所公認(rèn)．1631年，英國數(shù)學(xué)家哈里奧特開始采用符號“”與“”，分別表示“大于”與“小于”，這就是我們使用的不等號．以上內(nèi)容是某校數(shù)學(xué)課外興趣小組在研究數(shù)學(xué)符號發(fā)展史時查閱到的資料，并組織小組成員研究了如下函數(shù)與不等式的綜合問題：已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】由題意，知，即．因?yàn)?，所以在上有解，只需．設(shè)，對函數(shù)求導(dǎo)，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，，，.（1）求和的值；（2）求三角形邊的中線長.【答案】（1）=，=；（2）.【解析】【分析】（1）由三角形三條邊的長度大小可知角為銳角，由已知條件求出角的余弦值，再由余弦定理求出，正弦定理求出.（2）由中線為邊的中，用余弦定理即可求出.【詳解】（1）在中，由已知可得，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以，由正弦定理，得，所以，的值為，的值為.（2）設(shè)邊的中點(diǎn)為，在中，，由余弦定理得：.16.已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)，它們在軸上有共同焦點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求拋物線和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知動直線過點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，記以線段為直徑的圓為圓，求證：存在垂直于軸的直線被圓截得的弦長為定值，并求出直線的方程．【答案】（1），（2）證明見解析，．【解析】【分析】（1）由焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)出拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將代入科的拋物線方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得到雙曲線的方程；（2）與圓知識相結(jié)合，注意特殊三角形的應(yīng)用.【小問1詳解】由已知，可設(shè)拋物線的方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為把點(diǎn)代入拋物線方程，求得，拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．則對于雙曲線，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則另一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，又在雙曲線上，根據(jù)雙曲線的定義知，，，，．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由題意可得，的中點(diǎn)為，的方程為，以線段為直徑的圓交l于、兩個點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則.設(shè)，則，，，，則，，因?yàn)?，為直角三角形，且，所以，，顯然，當(dāng)時，為定值.所以，弦長為為定值．故存在垂直于軸的直線（即直線），被圓截得的弦長為定值，直線的方程為．【點(diǎn)睛】本題中在求圓的弦長時，利用圓中的特殊直角三角形，通過勾股定理得到半弦長，進(jìn)而得到弦長.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的判定定理證明；（2）由已知可知，為等邊三角形，故，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得底面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角余弦值.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面是平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊妫?，所以面【小?詳解】連接，，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面，所以底面，過點(diǎn)在底面內(nèi)作，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分布以，，的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，所以平面的法向量為，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，則，經(jīng)觀察，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若，求k的值；（3）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的最值，由最小值為0，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根即可；（3）應(yīng)用（2）的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列求和知識研究m的取值范圍，進(jìn)而求得最小值.【小問1詳解】當(dāng)時，，，所以，所以切線的斜率為，又因?yàn)椋郧€在處的切線方程為，即.【小問2詳解】因?yàn)?，?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋c不符；當(dāng)時，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，設(shè)，則，由，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以有唯一解，且.【小問3詳解】由（2）知當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，所以當(dāng)且時，，則.?。ǎ?，所以，，，所以.所以所以于是對于任意正整數(shù)n，，只需，又因?yàn)?，所以，則m的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向?為函數(shù)的互生向量，同時稱函數(shù)為向量的互生函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，試求的互生向量；（2）記向量的互生函數(shù)為，求函數(shù)在上的嚴(yán)格增區(qū)間；（3）記的互生函數(shù)為，若函數(shù)在上有四個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，接著結(jié)合互生向量定義即可得解.（2）求出并化簡得到的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性以及變量范圍求解即可得解.（3）分離參數(shù)得，將函數(shù)在上有四個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成則函數(shù)與在上的圖象有四個交點(diǎn)，利用三角函數(shù)性質(zhì)數(shù)形結(jié)合作出函數(shù)圖象，則由圖象即可得