偏微分方程分類與標(biāo)準(zhǔn)型課件

§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))一.二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式第1頁/共28頁二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解特征根：

(1)有兩個不相等的實(shí)根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為齊次方程：特征方程：第2頁/共28頁齊次方程的通解為:特解為:(3)有一對共軛復(fù)根時齊次方程的通解為特征根為:特解為:(2)有兩個相等的實(shí)根時第3頁/共28頁小結(jié):二階常系數(shù)線性齊次微分方程解特征根：齊次方程：特征方程：利用了歐拉公式第4頁/共28頁例:求下列方程的通解解(1)特征方程為所以方程的通解為解得第5頁/共28頁所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為

(3)特征方程為解得第6頁/共28頁解特征方程為即特征方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程的通解為對上式求導(dǎo),得例:求滿足初始條件

的特解.將、代入以上二式,得第7頁/共28頁解此方程組，得所以所求特解為第8頁/共28頁(2)對應(yīng)齊次方程為:

(3)通解結(jié)構(gòu):三.二階常系數(shù)非齊次線性方程(1)非齊次線性方程通式:第9頁/共28頁§2.二階線性偏微分方程分類1.一般形式及分類判別其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。2.二階主部為：3.判別式及分類：雙曲型拋物型橢圓型第10頁/共28頁判斷下列方程的類型思考：第11頁/共28頁§3.方程簡化1.線性二階偏微分方程的一般形式(2個自變量)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

n個自變量：其中是自變量

的函數(shù)第12頁/共28頁2.變量替換與方程轉(zhuǎn)型(1)變量代換:(2)一般式轉(zhuǎn)為:系數(shù)為:變量替換是研究偏微分方程的有效手段,適當(dāng)?shù)淖儞Q,可簡化方程、易求解。第13頁/共28頁注:變量替換必須為非奇異變換非奇異變換:雅克比(Jacobi)行列式在點(diǎn)(x0,y0)不等于零，即:則:在點(diǎn)(x0,y0)附近變換是可逆的。第14頁/共28頁3.方程簡化4.求特解構(gòu)造一階偏微分方程：求一個特解，則：再求另一個特解，則A22=0偏微分方程轉(zhuǎn)為常微分方程第15頁/共28頁5.特征方程與特征曲線1.特征方程:2.解:3.特征曲線:第16頁/共28頁例2.1.1判斷偏微分方程類型并化簡:解:特征方程特征方程的解:特征線:令:雙曲型方程第17頁/共28頁例2.1.3

設(shè)常數(shù)A,B,C滿足m1、m2是如下方程的兩個根的通解為：證明二階線性偏微分方程證明：設(shè)則：第18頁/共28頁§4三類方程的簡化形式當(dāng)時，給出一族實(shí)的特征曲線取則方程變?yōu)槿粼僮鲃t上述方程變?yōu)椋?/p>

1.雙曲方程型方程:第19頁/共28頁當(dāng)

時，只有一個解它只能給出一個實(shí)的特征線，

。取與函數(shù)無關(guān)的作為另一個新的變量則有：2.拋物型方程:第20頁/共28頁當(dāng)

時，給出一族復(fù)特征線在該變換下：且方程化為：令則有：3.橢圓型方程:第21頁/共28頁小結(jié):三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型式:第22頁/共28頁例題1:分類并標(biāo)準(zhǔn)化方程:解:該方程的故該方程是拋物型的。特征方程:從而得到方程的一族特征線為:自變量代換(由于ξ和η必須函數(shù)無關(guān),所以η宜取最簡單的函數(shù)形式,即η=x

或η=y)原方程化簡后的標(biāo)準(zhǔn)形式為:特征的解:第23頁/共28頁例2.判斷偏微分方程類型并化簡:解:∵故

故該方程為雙曲型偏微分方程,其特征方程故有

或

取新變量則或

解為第24頁/共28頁例2(續(xù))，代入原方程得:即:第25頁/共28頁例3.判斷偏微分方程的類型并化簡:解:特征方程特征方程的解：特征線:令：雙曲型方程第26頁/共28頁第二章:復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)一．寫出二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程與特征根。二.簡述二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解步驟。三.寫出二階線性偏微分方程的辨別式及其分類原則。四.解釋何謂自變量非