初中數(shù)學幾何【手拉手旋轉(zhuǎn)模型】經(jīng)典習題（解析版）

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手拉手旋轉(zhuǎn)模型 應用通過輔助線利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形解決問題。【例題精講1(基本模型1) 圖所示和△ADE都是等邊三角形且點BAE在同一直線上連接BD交AC于M連接C交AD于N連接MN．1CE；ACN；是等邊三角形．(1證明見解析證明見解析證明見解析(1由已知條件等邊三角形ABACAEDAE∠BAD=∠EBD≌△ES)BD=E．由(1知△ABDACE∠ABMCANBAE∠CAN60BAC求證△ABMACN(ASA)．由BM≌△NM=N∠N=60°N是等邊三角形．(1ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC=AE=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．AB=在△ABD和△ACE∠BADCAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．由(1知△ABDACE，∴∠ABM=∠ACN．BAE∠BACDAE60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．∠BAM在△ABM和△ACNABAC∠ABM=∠ACN∴△ABM≌△ACN(ASA)．由(2知△ABMACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定2(基本模型2) 圖1在△ABC中⊥BC于E=BE是AE上的一點且DE=CE連接BDD．2BDAC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系如圖2E繞點EBD與C的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變?nèi)鐖D32)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請說明理由．BD=CBD⊥C2)3)①BD=C②能，60°或120°．(1BDACF△BEDAEC△BEDAEC①判定BD≌△C②設(shè)C與BD交于點F(1)BDACAC，BDACF．∵AE⊥BC，∴∠AEB=∠AEC=90°，BE在△BED和△AEC中，∠BEDAECDE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∵∠BED=90°，∴∠EBD+∠BDE=90°，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF+∠CAE=90°，∴∠AFD=180°-90°=90°，∴BD⊥AC；(2)不發(fā)生變化，理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，BE在△BED和△AEC∠BEDAECDE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∵∠DEC=90°，∴∠ACE+∠EOC=90°，∵∠EOC=∠DOF，∴∠BDE+∠DOF=90°，∴∠DFO=180°-90°=90°，∴BD⊥AC；(3)①∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，BE在△BED和△AEC∠BEDAECDE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD=AC，②ACBDFABE和△DEC∴E=BEE=C∠C=∠E=60°∠BA=∠C=60°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，BE在△BED和△AEC∠BEDAEC，DE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE=∠ACE，BD=AC．∴∠DFC=180°-(∠BDE+∠EDC+∠DCF)=180°-(∠ACE+∠EDC+∠DCF)=180°-(60°+60°)=60°，即BD與AC所成的角的度數(shù)為60°或120°．此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)3(1△ABCACBBMBM上一點3【問題解決】如圖1∠BC=60°BM在∠BC∠B=60°∠BC=60°BM上取一點E使得E=D∠BC【類比探究】如圖2∠BC=∠B=30°．①當射線BM在∠ABC內(nèi)，求∠BDC的度數(shù)BMBC3∠BDC的度數(shù)會變化嗎∠BDC的度數(shù)；(1見解析(2)①∠BDC=120°②；∠BDC的度數(shù)會變化，理由見解析)根據(jù)等邊三角形的判定定理得到EBC∠BE=∠DS證明BE≌△D∠C=∠B=20°2)①在BD上取一點EE=DBE≌△D∠C=50°②在B延長線上取一點EE=DBE≌△D∠C=∠E=30°出∠BDC．)1BM上取一點EE=D，∵∠ADB=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠EAD=60°，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠EAD，BACEACEADEAC∠BAECAD，AB=在△BAE和△CAD中∠BAECAD，AE=AD∴△BAE≌△CADSAS，∴∠ADC=∠AEB=120°，∴∠BDC=120°-60°=60°；2)①在BD上取一點EE=D∵∠BC=∠B=30°B=C，∴∠BC=∠B=30°∠D=∠E=30°，∴∠BAC=∠EAD=120°，∴∠BAE=∠CAD，AB=在△BAE和△CAD中∠BAECAD，AE=AD∴△BAE≌△CADSAS，∴∠ADC=∠AEB=180°-30°=150°，∴∠BDC=150°-30°=120°；②∠BDC的度數(shù)會變化，理由如下：在B延長線上取一點EE=D同理①CAD，∴∠ADC=∠E=30°，∴∠BDC=∠ADE+∠ADC=30°+30°=60°．本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)4(作輔助線2) D為BC外一點∠B=90°C=BC．4如圖1∠E=90°D=E∠C=∠BC；如圖2∠B=45°E∥BDE⊥DE=BD；(1見解析(2)見解析(3)n2-1+3(1SAS△ACDBCE∠ADCBEC；DCAEFBFSAS證明△ACEBCFAEBFAEC45∠B過點C在D上方作E⊥DE=DBEE．由)知D≌△BE∠BC=∠C=5°∠BD=30°EBD可求出．)∵∠E=∠B=90°∴∠D=∠BE，又∵C=BCE=D∴△D≌△BES)∴∠C=∠BC．2)如圖1C交E于FBF，∵E∥BD∴∠C=∠B=45°．∵C⊥D∠F=∠E=45°∴C=F．∵∠ACE=∠BCF，AC=BC，∴△ACE≌△BCF(SAS)，∴E=BF∠BC=∠C=45°=∠B∴BF=BD∴E=BD；本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)305(最值問題) △BC中∠B=90°,∠B=60°,B=4,點D是直線BC上一動點連接D在直線5AD的右側(cè)作等邊△ADE連接CE當線段CE的長度最小時線段CD的長度為 ．3ACACFCEBFFDCF△ADFAECCE=DF,再利用DF⊥BC時，DF最短，從而可得答案.ACACFCEBFFDCF，∵∠ACB=90°,∠B=60°,則∠BAC=30°,則∠FAB=∠FAC-∠BAC=60°-30°=30°，CFAB對稱，則∠BF=∠BC=60°BF=BC=1B=1×4=2，2 2∵△AFC,△ADE均為等邊三角形，∴∠D+∠C=60°∠C+∠C=60°F=CD=E,∴∠FAD=∠EAC，∴ΔADF?ΔAEC(SAS)，∴DF=EC，當DF⊥BC時，DF最小，由∠ABC=∠ABF=60°,BC=BF=2,∴∠FBD=60°,∠DFB=30°,BD=1BF=1×2=1，2 2CDBDCB123，本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)30.6(培優(yōu)綜合) 圖1在△BC中A=B∠B=90°．點D是C中點連接BD過點A作E⊥6BD交BD的延長線于點E，過點C作CF⊥BD于點F．CBD；2AE；如圖2BF沿BC翻折得到BGGG和B的數(shù)量關(guān)系．)2)3)G=B(1根據(jù)角度的等量代換即可求解．證明C≌△BCF=FD≌△D即可求解．證明B≌△BHA(1AEBD，∴∠AED=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDC，∴∠EAD+∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EAD=∠CBD；1EBF上截取BP=EP，∵∠D=∠BDC=BC，∴△AEC≌△BPC(SAS)，∴E=P∠E=∠BP，∴∠ACE+∠DCP=∠BCP+∠DCP，∴∠ECP=∠DCB=90°，∵E=PF⊥BD，∴∠CEP=∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，∵點D是AC的中點，∴AD=CD，∵∠D=∠D=90°∠E=∠F，∴△AED≌△CFD(AAS)，∴AE=CF，∴AE=PF，∴BF=BP+PF=2AE；G=B2，BGHCE，∴BH=1BG=1BF=AE，2 2∵∠HBC=∠PBC=∠EAC，∴∠EAC+∠CAB=∠HBC+∠CBA，∴∠EAB=∠HBA，∵AB=BA，∴△AEB≌△BHA(SAS)，∴∠BHA=∠AEB=90°，∴AH⊥BG，∵BH=HG，∴AG=AB．本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及運用等邊三角形三線合一的證明度與線段的等量代換進行題目求解SSSSASASAAASHL要熟記．【變式訓練1在BCB=CD是直線BC上一點不與BC重合)D繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)至E即D=E)∠E=∠BCBE．1如圖1點D在線段BC上如果∠BC=90°則∠BE= 度．如圖2當點D在線段BC上如果∠BC=60°則∠BE= 度．如圖3∠BC=α∠BE=βD在線段BCαβ的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．設(shè)∠BC=α∠BE=βD在直線BCαβ(1)90(2)120(3)α+β=180°(4)α+β=180°或α=β)可證BD≌△E∠BC=∠E=45°∠BE的度數(shù)；可證BD≌△E∠BC=∠E=60°∠BE的度數(shù)；△BADCAE得出∠ABDACE△BADCAE得出∠ABDACE【詳解】(1)解：∵∠BAC=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠B=45°∠E=∠D=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，AB=在△BAD和△CAE∠BADCAE，AD=AE∴△BAD≌△CAESAS，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；(2)∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°，∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠B=60°∠E=∠D=60°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，AB=在△BAD和△CAE∠BADCAE，AD=AE∴△BAD≌△CAESAS，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案為：120；(3)α+β=180°，理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，AB=在△BAD和△CAE∠BADCAE，AD=AE∴△BAD≌△CAESAS，∴∠ACE=∠B，∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB，∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=β，∴∠B+∠ACB=β，∵∠BC=α∠BC+∠B+∠B=80°，∴α+β=180°；4)如圖4D在BCα+β=80°，證明方法同(3)；如圖5D在Bα=βDAEBAC，∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，∴∠DAB=∠EAC，AB=在△BAD和△CAE∠BADCAE，AD=AE∴△BAD≌△CAESAS，∴∠ABD=∠ACE，∵∠BD=∠BC+∠B∠E=∠BE+∠B，∴∠BAC=∠BCE，∵∠BC=α∠BE=β∴α=β．β180αβ．△BADCAE是解題的關(guān)鍵．2BC∠A=90°B=CD為BC的中點．2觀察猜想如圖①若點EF分別是BC的中點則線段E與F的數(shù)量關(guān)系是 線段E與F的置關(guān)系是 ．類比探究EF分別是BCBE=F解決問題EF分別為BABE=F=1B=2F的面積．3E=FE⊥F2)37)由點EFD分別是BCBCD=1CF=1BD∥CF∥2 2BB=C∠A=90°E=F∠BE=∠C=∠C=45°連接DBE≌△FE=F∠BE=∠F2連接DBE≌△F得到S△BE=S△FS△F=S△BD+S△F=1S△BC+S△F2解即可．EFDABACBC的中點，∴D=1CF=1BD∥CF∥B，2 2∵AB=AC，∠A=90°，∴DE=DF，∠BDE=∠FDC=∠C=45°，∴∠EDF=90°即DE⊥DF，故答案為：DE=DF，DE⊥DF；DFDF，AD，∵B=C∠BC=90°D為BC的中點，∴D=1BC=BD=DD平分∠BC∠B=∠C=45°，2∴∠BAD=∠CAD=45°，BD在△BDE和△ADF∠BDAF45，BE=AF∴△BDE≌△ADFSAS，∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠F+∠E=90°∠F=90°E⊥F；AD，∵B=C∠BC=90°D為BC的中點，D=1BC=BD=DD平分∠BC∠BC=∠C=45°，2∴∠BAD=∠CAD=45°，∴∠D=80°∠D=35°∠BD=80°∠BC=35°，∴∠FAD=∠EBD,BD在△BDE和△ADF∠EBDFAD，BE=AF∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴S△BDE=S△ADF，2∴S△DEF=S△ABD+S△AEF=1S△ABC+S△AEF，2∵BE=AF=1AB=2，3∴AB=AC=6，∴AE=AB+BE=8，∴S△DEF=1S△ABC+S△AEF=1×2×8+1×1×6×6=2 2 2 217的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．如圖1如圖1BDC為直角頂點作等腰直角三角形FF．DCF．3請你完成這道題的證明：如圖2BDN是邊DM=NMC．①求證：∠BFC=45°．②把C繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PP如圖3BF=P+F．)2)①②見解析)由正方形的性質(zhì)可知B=D∠BD=90°∠BE=∠FE=CF，從而利用“SAS”證明全等即可；(2①根據(jù)題意可先證明△BCNDCM∠CBNCDMCGCFBFG證明BG≌△FG②作Q⊥F交BF于Q點，結(jié)合①BQDFCQFPCPQF【詳解】(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴B=D∠BD=90°∠BE+∠D=90°，∵△CEF為等腰直角三角形，∴E=F∠F=90°∠D+∠F=90°，∴∠BCE=∠DCF，CB在△BCE與△DCF∠BCEDCFCE=CF∴△BCE≌△DCF(SAS)；DCM90°，BC在△BCN和△DCM中，∠BCN=∠DCMCN=CM∴△BCN≌△DCM(SAS)，∴∠CBN=∠CDM，如圖，作CG⊥CF交BF于G點，則∠GCF=90°，∴∠BCG=∠DCF，∠CBG在△BCG和△DCFBCDC∠BCG=∠DCF∴△BCG≌△DCF(ASA)，∴CG=CF，∴△CFG為等腰直角三角形，∴∠BFC=45°；CQCFBFQ點，由①可知，DCF，∴BQ=DF，且由①證明可知，△CQF為等腰直角三角形，∵FP由FC繞F點旋轉(zhuǎn)90°得到，∴△CFP為等腰直角三角形，∴∠P=∠QF=45°∠QP=∠QP=90°+45°=35°，∴四邊形CQFP為平行四邊形，∴CP=QF，∵BF=QF+BQ，∴BF=CP+DF．4問題發(fā)現(xiàn)：4如圖1B和E均為等腰直角三角形∠B=∠E=90°連接DBE點ADE在同一條直線上則∠AEB的度數(shù)為 線段ADBE之間的數(shù)量關(guān)系 ；拓展探究：如圖2B和E∠B=∠E=90°DBEADE不在一ADBE之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系解決問題：如圖3B和E均為等腰三角形∠B=∠E=α則直線D和BE的夾角為 ．用含α的式子表示)90°D=BE2D=BED⊥BE3α)由已知條件可得C=BCD=E∠B-∠B=∠E-∠B∠D=∠BED≌△BES)D=BE∠BC=∠A=35°；延長D交BE于點FD≌△BE∠B=α∠D=∠BE=45°-α∠BE=45°+45°-α=90°-α∠B=80°∠B-∠BE=80°-α-(90°-α)=90°可求解；延長BE交D于點G2)證明D≌△BEAD和BE的夾角．(1ACB和△DCEDCE90°，∴AC=BC，CD=CE，∠CDE=45°∴∠CDA=135°∵∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，∴∠ACD=∠BCE．AC=在△ACD和△BCE∠ACDBCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠BC=∠C=35°D=BE∴∠AEB=90°90°D=BE(2)ADBEBE可得△ACDBCE，則AD=BE，延長AD交BE于點F，設(shè)∠B=α∠D=∠BE=45°-α∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°∴AD⊥BEBEADG，ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=α，∵∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，∴∠ACD=∠BCE．AC=在△ACD和△BCE∠ACDBCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD∵∠ACB=∠DCE=α∴∠CBA=∠CAB=1180°2

=90°-1α2∴∠GAB+∠GBA=∠CAD+=∠ABC+∠CAB=180°-α，

+∠ABC-∠CBE，∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA)=α，ADBE三角形全等是解題的關(guān)鍵．【課后訓練5RtBC∠BC=90°B=BCD為三角形右側(cè)外一點．且∠BC=45°．連接5D若D的面積為9則線段D的長度為 ．8【答案】32過點B作BE⊥BDC的延長線于點EE△BD可證BD≌△BA∠BC=∠BA=45°E=DB作BE⊥BDC的延長線于點EE∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD=90°，∴∠ABE=∠CBD，∵∠BC=45°∠BD=90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BC=∠BD=45°BE=BD，∵AB=BC，∴△BCD≌△BAE(SAS)，∴∠BC=∠BA=45°E=D，∴∠AED=∠AEB+∠BED=90°，∵S△ACD=1CD?AE=9，∴CD2=9，∴CD=3；2 8 4 2故答案為3．26BC是邊長為5BD=D∠BC=20°．EF分別在BC6∠F=60°則三角形F的周長為 ．10延長B到NBN=FN∠D=∠BD=∠BD=90°S證BD≌DN=F∠B=∠C∠F=∠NS證△F≌△NF=EN，易得△AEF的周長等于AB+AC．ABNBNCFDN，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=D∠BC=20°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，BD在△NBD和△FCD∠NBDFCD，BN=CF∴△NBD≌△FCD(SAS)，∴DN=DF=∠FDC，∵∠BC=20°∠F=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，DE在△EDN和△EDF中，∠EDF=∠EDN，DN=DF∴△EDN≌△EDF(SAS)，EFENBEBNBECFBECFEF．∵△ABC是邊長為5的等邊三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案為：10．和判定的綜合運用．注意掌握輔助線的作法7等腰直角三角形BC中B=C∠BC=90°且BC的面積為6過點B作直線F∥C點G是直線F上的一個動點連接G將G繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段H連接BH則線段BH的最小值為 ．742CG．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知G=H∠H=90°∠BC=90°∠HB=∠G．可證BH?△ACG．可得BH=CG．BH最小轉(zhuǎn)化成求CG最?。恍鐲G⊥BG就可以了．由此可得四邊形BC是正方形．由BC的面積是6BH的值為43．【詳解】如圖所示：連接CG．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AG=AH，∠GAH=90°．∵∠BAC=90°∴∠BAC-∠BAG=∠GAH-∠BAG，即∠HAB=∠CAG．AB=在△ABH和△ACG中，∠HAB=∠CAGAH=AG△ABH?△ACG∴BH=CG要讓BH最小，也就是要CG最小，∴CG⊥BG時，CG最?。逧F∥AC，∠BAC=90°，∴∠ABG=∠BAC=90°∵CG⊥BG∴四邊形ABGC時矩形，∵AB=ACABGC是正方形．∴AB=BG=CG=AC．∵△ABC的面積為16，∴AB?AC=16，2解得：AB=AC=42．∴AB=AC=CG=BH=42．故答案為：42BH轉(zhuǎn)化成求GG⊥BGG最短是解決本題的關(guān)鍵．8如圖1BC與E∠B=∠E=90°E、8BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．在)AEDM為E中E∠B的度數(shù)及線段MDBDE=BDE⊥BD2∠B=90°D=2M+BD．證明見解析)延長E交BD于點HH交BC于點O．只要證明E≌△BDS)2)由E≌△BD【詳解】解：(1)如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O，ACB和△DCEDCE90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴E=BD∠E=∠BD，∵∠E+∠C=90°∠C=∠BH，∴∠BH+∠BD=90°．∴∠HB=90°∴E⊥BD．故答案為E=BDE⊥BD；2∠B=90°D=2M+BD，理由如下：如圖2中，ACB和△DCEDCE90°，∴∠E=∠D=45°∴∠C=80°∠D=35°，由(2)可知：△ACE≌△BCD，∴E=BD∠BC=∠C=35°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．三角形解決問題．9BD∠BC=∠BC=90°B=C．9ACD；記BD的面積為S1D的面積為S2．2①求證：S1-S2=1AD2；2②過點B作BCA作BCMBD至PP=DMP．當MP取得最大值時，求∠CBD的大?。?2)①②∠BD=225°)設(shè)CBD相交于點O．根據(jù)題意可知∠BD+∠B=90°∠D+∠C=90°．再根∠AOBDOC∠ABDACD；2)①過點A作E⊥A交D的延長線于點EBD≌△EA)D=ES△BD=S△ACE．又易證△DAE是等腰直角三角形，最后根據(jù)三角形面積關(guān)系可得出S1-S2=S△ACE-S2=S△DAE=1AD2即可求出；2②由2)①EC≌△PS)C=P，在PP<A+PMAPP【詳解】(1)如圖，設(shè)AC，BD相交于點O．∵∠BAC=∠BDC=90°，∴∠BD+∠B=90°∠D+∠C=90°．又∵∠AOB=∠DOC，∴∠ABD=∠ACD；(2)①如圖，過點A作AE⊥DA交CD的延長線于點E，∴∠EAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，由(1知∠ABDACD，又ABAC，∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴AD=AE，S△ABD=S△ACE．∵∠DAE=90°∴△DAE是等腰直角三角形．2∴S1-S2=S△ACE-S2=S△DAE=1AD2．2②如圖，由(2)①知，△DAE是等腰直角三角形．∴∠ADE=∠AEC=45°，∴∠ADC=135°，∵∠BDC=90°，∴∠ADP=135°，∵P=DD=D，∴△ADC≌△ADP(SAS)，∴AC=AP，在△AMP中，AM，AP是定長，∴MP<MA+AP，∴當MAPP∵AB=AC，AP=AC，∴AB=AP，∴∠APB=∠ABD．∵AM∥BC，∴∠APB=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=1∠ACB=22.5°．210在BC∠B=90°D為BCE為線段CD的垂直平分線的交點10ACD．)如圖1當∠BC=40°時則∠D= °；(2)當∠BAC=60°時，①如圖2DD②如圖3直線F與D交于點F滿足∠D=∠E．P為直線F上一動點．當E-D的值最大時用等式表示PE與AB之間的數(shù)量關(guān)系為 并證明．(1)100；(2)①△ADE時等邊三角形，證明見解析；②PE-PD=2AB．證明見解析．(1利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理2)①EA=D∠D=60°②E-D=2BD關(guān)于直線F的對稱點．當點P在E-DPEPDAC【詳解】(1)解：∵點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，∴EA=EC=ED，∴∠C=∠A∠D=∠C，∵∠BC=90°∠BC=40°，∴∠ACB=90°-40°=50°，∴∠ACD=180°-50°=130°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=260°，∴∠AED=360°-260°=100°，故答案為：100．2)E時等邊三角形．理由：∵點E是線段AC，CD的垂直平分線的交點，∴EA=EC=ED，∴∠C=∠A∠D=∠C，∵∠BC=90°∠BC=60°，∴∠ACB=90°-60°=30°，∴∠ACD=180°-30°=150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，∴∠AED=360°-300°=60°，∴△ADE時等邊三角形；②結(jié)論：PE-PD=2AB．D關(guān)于直線F的對稱點．∵PE-PD=PE-PD<ED則，點P在ED的延長線上時，PE-PD的值最大，此時PE-PD=ED，∵∠D+∠E=80°∠D=∠E，∴∠CAE+∠CFE=180°，∴∠ACF+∠AEF=180°，∵∠AED=60°，∴∠ACF=120°，∴∠ACB=∠FCD=30°，∴∠DCF=30°，∴∠DCD=60°，∵CD=CD，∴△CDD時等邊三角形，∴C=∠=∠E=60°，∴∠ADC=∠EDD，∵DA=DE，∴△C≌△S)，∴AC=ED，∵∠B=90°∠B=30°，∴AC=2AB，∴PE-PD=2AB．故答案為：PE-PD=2AB．11在BCB=CD是直線BC上一點不與BC重合)D為一邊在D的右側(cè)作11△ADEADAEBACCE．(請直接寫出你的結(jié)論)如圖1D在線段BC上：①如果∠BC=90°∠BE=°；②如果∠BC=00°∠BE=°；設(shè)∠BC=α∠BE=β．①如圖2D在線段BCαβ之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；DBCαβ之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形)①90②802)①α+β=80°②α+β=80°或α=β)①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BC=∠B=45°可證BD≌△E∠BC=∠E=45°∠BE的度數(shù)；②由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BD=∠B=40°可證BD≌△E得出∠BD=∠E=40°(2①△ABDACE得出∠ABDACE②分兩種情況畫出圖形△ABDACE得出∠ABDACE【詳解】解：(1)①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；②∵∠BC=00°B=C，∴∠ABD=∠ACB=40°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE=40°，∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=40°+40°=80°，故答案為：80．(2)①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．AB=在△ABD與△ACE∠BADCAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°．②如圖1D在射線BCα+β=°CE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，AB=在△ABD和△ACE∠BADCAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(