第01講 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積及體積（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積及體積（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第5題,5分圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算錐體體積的有關(guān)計(jì)算無2024年新Ⅱ卷，第7題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算臺體體積的有關(guān)計(jì)算求線面角2023年新I卷，第12題,5分正棱錐及圓柱體的相關(guān)計(jì)算球體相關(guān)計(jì)算2023年新I卷，第14題,5分臺體體積的有關(guān)計(jì)算無2023年新Ⅱ卷，第9題,5分圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算錐體體積的有關(guān)計(jì)算二面角的概念及辨析二面角大小求線段長度或距離2023年新Ⅱ卷，第14題,5分正棱臺及其有關(guān)計(jì)算錐體體積的有關(guān)計(jì)算臺體體積的有關(guān)計(jì)算無2022年新I卷，第4題,5分臺體體積的有關(guān)計(jì)算無2022年新I卷，第8題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)2022年新Ⅱ卷，第11題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算證明線面垂直2021年新I卷，第3題,5分圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算無2021年新Ⅱ卷，第5題,5分棱臺的結(jié)構(gòu)特征和分類臺體體積的有關(guān)計(jì)算無2020年新Ⅱ卷，第13題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-6分【備考策略】1.了解柱、錐、臺體及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及其相關(guān)性質(zhì)2.會運(yùn)用柱體、錐體、臺體等組合體的表面積和體積的計(jì)算公式求解相關(guān)問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般給定柱、錐、臺體及簡單組合體，求對應(yīng)的表面積與體積，需強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識講解1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè) B．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形C．正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直 D．棱臺的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直【答案】D【分析】由空間幾何體的概念對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對于A，經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個(gè)，故A正確，對于B，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故B正確，對于C，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，故C正確，對于D，棱臺的每條側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，側(cè)棱中有可能與底面垂直，故D錯(cuò)誤，故選：D2．下列命題：①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①②③④均可舉出反例.【詳解】①如圖1，滿足有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形，顯然不是棱柱，故①錯(cuò)誤；②如圖2，滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯(cuò)誤；③如圖3，四邊形為矩形，即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯(cuò)誤；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因?yàn)閮傻酌娌灰欢ㄊ钦叫?，④錯(cuò)誤．故選：A3．（多選）如圖，我們常見的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E，滿足（Euler'sformula），據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說法正確的是（

）A．共有20個(gè)六邊形B．共有10個(gè)五邊形C．共有90條棱D．共有32個(gè)面【答案】ACD【分析】分別設(shè)出正五邊形和正六邊形的個(gè)數(shù)，利用關(guān)系式即可解出正五邊形和正六邊形的數(shù)量，以及棱數(shù)和面數(shù).【詳解】解：由題意，設(shè)共有m個(gè)正五邊形，n個(gè)正六邊形，解得：.B錯(cuò)誤.∵頂點(diǎn)數(shù)：，解得：，∴A正確.面數(shù)：.∴D正確.棱數(shù)：.C正確.故選：ACD.1．下列命題是真命題的是（

）A．兩個(gè)四棱錐可以拼成一個(gè)四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有且只有一個(gè) D．直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【分析】利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)，依次分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對于A，兩個(gè)四棱錐不一定可以拼成一個(gè)四棱柱，A錯(cuò)誤．對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯(cuò)誤．對于C，經(jīng)過不共線的三個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，經(jīng)過不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有無數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤．對于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D2．下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的有（

）A．圓柱的所有母線長都相等 B．底面是正方形的棱錐是正四棱錐C．一個(gè)棱臺最少有5個(gè)面 D．用一平面去截圓臺，截面一定是圓面【答案】AC【分析】根據(jù)多面體和旋轉(zhuǎn)體的定義和特征即可一一判斷.【詳解】對于A，根據(jù)圓柱的定義可知，母線均與圓柱的軸平行，則其長度都相等，故A正確；對于B，只有底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心時(shí)，才是正四棱錐，故B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)棱臺的定義知，底面邊數(shù)至少為3，故棱臺的表面至少有兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面，即五個(gè)平面，故C正確；對于D，若用一個(gè)與圓臺底面不平行的平面截圓臺，則截面將不是圓面，故D錯(cuò)誤.故選：AC.3．給出下列命題：①長方體是四棱柱；②直四棱柱是長方體；③底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐；④延長一個(gè)棱臺的各條側(cè)棱，它們相交于一點(diǎn)．則正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】AD【分析】根據(jù)棱柱、棱錐及棱臺的定義判斷即可；【詳解】解：對于①：長方體滿足有兩個(gè)面互相平行且全等，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，故長方體是四棱柱，故①正確；對于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，則這樣的直四棱柱不是長方體，故②錯(cuò)誤；對于③：如果棱錐的底面是正多邊形，但頂點(diǎn)在底面的射影不是底面的中心，這樣的棱錐不是正棱錐，故③錯(cuò)誤；對于④：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與底面之間的部分為棱臺，故延長一個(gè)棱臺的各條側(cè)棱，它們必相交于一點(diǎn)，故④正確；故選：AD考點(diǎn)二、柱體的表面積與體積1．（2024·上海·三模）已知圓柱的底面半徑為3cm，側(cè)面積為24πcm3，則此圓柱的體積為cm【答案】36【分析】先根據(jù)已知條件求出圓柱的高，再利用圓柱的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的高為?，則，得，所以此圓柱的體積為，故答案為：362．（全國·高考真題）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A．8 B． C．82 D．8【答案】C【分析】首先畫出長方體ABCD?A1B1C1D1，利用題中條件，得到【詳解】在長方體ABCD?A1B

根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)锳B=2，所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.3．（江蘇·高考真題）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且＝94，則V1V2【答案】【詳解】試題分析：設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為R，r；高分別為H，h；∵，∴，它們的側(cè)面積相等，∴，∴．故答案為32．考點(diǎn)：1．棱柱、棱錐、棱臺的體積；2．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．4．（2024·天津·高考真題）一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A．36 B． C．32 D．【答案】C【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個(gè)棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳解】用一個(gè)完全相同的五面體（頂點(diǎn)與五面體一一對應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，因?yàn)?，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，.故選：C.1．（上?！じ呖颊骖}）若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則.【答案】4【詳解】試題分析：棱柱的底面積為考點(diǎn)：棱柱體積2．（2024·山東·二模）已知圓柱的底面半徑為4，側(cè)面面積為16π，則該圓柱的母線長等于【答案】2【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】由題意可知圓柱的底面周長，所以根據(jù)圓柱的側(cè)面面積公式可知，該圓柱的母線長，故答案為：3．（全國·高考真題）正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為（

A．62 B．6 C． D．6【答案】A【分析】結(jié)合已知條件，求出正三棱柱底面邊長和高，然后利用柱體體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)檎庵鶄?cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°所以正三棱柱的側(cè)面為正方形，且這個(gè)正方形的邊長為2，即正三棱柱的底面邊長為2，高?=2故正三棱柱的底面面積，從而正三棱柱的體積為.故選：A.4．（全國·高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為22結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是2的圓，且高為22所以其表面積為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.考點(diǎn)三、錐體的表面積與體積1．（2021·全國·高考真題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.2．（2023·全國·高考真題）在三棱錐P?ABC中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】證明AB⊥平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A3．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長為4的正方形，，則△PBC的面積為（

）A．22 B．32 C．42【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在△PAC中利用余弦定理求得，從而求得，由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在△PAC中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，AB=4，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在△PAC中，，則由余弦定理可得，故，則，故在△PBC中，，所以，又，所以，所以△PBC的面積為.法二：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，AB=4，所以，在△PAC中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因?yàn)?，所以，即，則，整理得①，又在△PBD中，，即，則②，兩式相加得，故，故在△PBC中，，所以，又，所以，所以△PBC的面積為.故選：C.4．（2023·天津·高考真題）在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐P?ABC的體積之比為（

）A．19 B．29 C．13【答案】B【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面PAC，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面PAC，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面PAC，垂足為，連接,過作,垂足為.

因?yàn)槠矫鍼AC，平面，所以平面平面PAC.又因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面PAC，且.在中，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以，所?故選：B1．（2024·全國·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑r的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故r=3，故圓錐的體積為.故選：B.2．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB=120°，若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為（

A．π B．6π C．3π D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在△AOB中，，而，取AB中點(diǎn)C，連接，有，如圖，，，由△PAB的面積為934，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B3．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A．5 B．22 C． D．【答案】C【分析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將r1,r【詳解】解：設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.4．（2022·全國·高考真題）（多選）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，F(xiàn)?ABC，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算V1,V2，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得BD⊥AC，又平面，AC?平面，則，又，平面，則AC⊥平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.考點(diǎn)四、臺體的表面積與體積1．（2021·全國·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.2．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺ABCD?A1B1C【答案】/【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺ABCD?A1B1C

因?yàn)?，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.3．（2022·全國·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積V．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．4．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為r2，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．【答案】6【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺的高分別為，，所以.故答案為：641．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知一個(gè)高為6的圓錐被平行于底面的平面截去一個(gè)高為3的圓錐，所得圓臺的上、下底面圓周均在球的球面上，球的體積為，且球心在該圓臺內(nèi)，則該圓臺的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為2r，球心到圓臺上底面的距離為，由球的體積可得半徑為R=5，結(jié)合圓臺的結(jié)構(gòu)特征列式解得，進(jìn)而可求得表面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為2r，依題意得該圓臺的上底面半徑為r，且圓臺的高為3．設(shè)球心到圓臺上底面的距離為，球的半徑為R，由球的體積為，解得R=5，因?yàn)辄c(diǎn)在該圓臺內(nèi)，則，解得，可得該圓臺的母線長，所以圓臺的表面積為．故選：B.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在正四棱臺ABCD?A1B1C1DA． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)O1，連接OO1，即可得到OO1為正四棱臺的高?，由勾股定理求出，再求出斜高，最后由表面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，則，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)O1，連接OO1，由正四棱臺的幾何性質(zhì)可知分別是上?下底面的中心，所以平面平面A1B1C1D1所以由題可知?=22，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，即，解得a=22，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為斜高，此時(shí)，所以正四棱臺的表面積為.故選：D.3．（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為V1，V2兩部分，則（

）A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5【答案】D【分析】根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合棱臺的體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)三棱柱的高為h，上下底面面積均為S，體積為V，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，故,結(jié)合題意可知幾何體為棱臺，則，故,故，故選：D4．（2024·新疆喀什·二模）（多選）如圖圓臺O1O2，在軸截面中，，下面說法正確的是（

A．線段AC=2B．該圓臺的表面積為11C．該圓臺的體積為7D．沿著該圓臺的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5【答案】ABD【分析】在等腰梯形中求出判斷A；利用圓臺表面積公式、體積公式計(jì)算判斷BC；利用側(cè)面展開圖計(jì)算判斷D.【詳解】顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺的高對于A，在等腰梯形中，，A正確；對于B，圓臺的表面積，B正確；對于C，圓臺的體積，C錯(cuò)誤；對于D，將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，而圓臺對應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開為COD且，又，在Rt△中，cm，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.

故選：ABD考點(diǎn)五、組合體的表面積與體積1．（2024·遼寧大連·一模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑AB=12cm，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積(單位：)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意先求圓錐的母線長，結(jié)合圓柱和圓錐的側(cè)面積公式分析求解.【詳解】由題意可知：圓錐的母線長為，所以這個(gè)陀螺的表面積是.故選：C.2．（2024·湖北武漢·二模）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點(diǎn)，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（

）

A． B．32π C． D．【答案】C【分析】求出圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐以及圓柱的體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，高為，故圓錐的體積為，圓柱的底面半徑也為，母線長也即高為4，則圓柱的體積為，故幾何體的體積為，故選：C3．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，AB⊥平面BHC，則,由AB∩BC=B可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為則則該幾何體的體積為.故選：D.1．（2022·河南鄭州·三模）魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結(jié)構(gòu)．這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（

） B． C． D．【答案】A【分析】先求出正八邊形的面積，再由該魯班鎖玩具的表面積為6個(gè)邊長為1的正八邊形和8個(gè)邊長為1的正三角形的面積和計(jì)算表面積即可.【詳解】由圖可知：該魯班鎖玩具的表面積為6個(gè)邊長為1的正八邊形和8個(gè)邊長為1的正三角形的面積和，如圖為正八邊形的平面圖，易得，作，垂足為，則，則八邊形的面積為，則該魯班鎖玩具的表面積為.故選：A.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，六面體的一個(gè)面是邊長為2的正方形，，CC1，DD1均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于，表面積等于．【答案】622【分析】根據(jù)，CC1，DD1均垂直于平面，所以，在DD1上取，連接，從而根據(jù)線線平行可得故為三棱柱，為三棱柱，根據(jù)柱體體積公式即可得該六面體的體積，根據(jù)幾何體外表面的線線關(guān)系結(jié)合勾股定理、余弦定理、三角形面積公式、梯形面積公式、正方形面積公式，即可得幾何體的表面積.【詳解】如圖，在DD1上取，連接，因?yàn)椋珻C1，DD1均垂直于平面，所以則，因?yàn)檎叫危?，又平面，所以DC⊥平面，由可得四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槊鏋檎叫危瑒t，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，MC?平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t，所以四邊形為平行四邊形，所以，故為三棱柱，為三棱柱，則該六面體的體積；如圖，連接，又，，所以，則在四邊形中，由余弦定理得，所以，則，該六面體的表面積.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定六面體的線線關(guān)系.關(guān)于求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．考點(diǎn)六、數(shù)學(xué)文化之表面積與體積1．（全國·高考真題）(2015新課標(biāo)全國I理科)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（

）A．10500 B．12500 C．31500 D．52500【答案】A【分析】利用棱臺的體積公式,即可計(jì)算得出答案．【詳解】一斛米的體積為，因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為，故選：A.3．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）《綴術(shù)》中提出的“緣冪勢既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，其意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理常應(yīng)用于計(jì)算某些幾何體的體積.如圖，某個(gè)西晉越窯臥足杯的上下底為互相平行的圓面，側(cè)面為球面的一部分，上底直徑為，下底直徑為6cm，上下底面間的距離為3cm，則該臥足杯側(cè)面所在的球面的半徑是cm；臥足杯的容積是cm3（杯的厚度忽略不計(jì)）【答案】【分析】設(shè)球體的半徑為R，OO1=x，得到，解出，求出球體半徑；由祖暅原理知，碗的體積等于下圖右邊中間高為的圓柱體積減去一個(gè)圓臺，分別求出圓柱和圓臺的容積，作差即可求解.【詳解】如下圖：設(shè)球體的半徑為R，OO1=x得，解得，所以；作一個(gè)高與球的半徑相等，底面半徑也與球的半徑相等的圓柱，可得過O1由祖暅原理知，碗的體積等于下圖右邊中間高為的圓柱體積減去一個(gè)圓臺，設(shè)圓臺上表面半徑為r1，則，下表面半徑為r2，所以，，..故答案為：；.1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為36cm，把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為，下底直徑約為40cm，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓臺體積公式求解.【詳解】根據(jù)題意，.故選：B2．（2024·四川·三模）龍洗，古代中國盥洗用具，狀貌像鼎，用青銅鑄造，因盆內(nèi)有龍紋而稱之為龍洗，中國傳說中也稱作聚寶盆．其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺，現(xiàn)有一龍洗盆高，盆口直徑24cm，盆底直徑．現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為4cm時(shí)，則盆內(nèi)水的體積為（

）（圓臺的體積公式：，其中分別表示圓臺上下底面的面積）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出有水部分的高，根據(jù)圓臺的體積公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知，該龍洗盆的軸截面圖如圖：龍洗盆上底半徑為12cm，下底半徑為6cm，當(dāng)水深為4cm時(shí)，占盆高的，此時(shí)水面的半徑為cm，則盆內(nèi)水的體積，故選：B3．（2024高三·河南·專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸【答案】C【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.考點(diǎn)七、表面積與體積中的最值及范圍問題1．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑R=3,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為274，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)?=4取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是2．（2024·全國·模擬預(yù)測）“冪勢既同，則積不容異”，這是“祖暅原理”，可以描述為，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，總被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，在圓錐內(nèi)部放置一個(gè)平行六面體，則該平行六面體的體積的最大值為（

）A． B．34 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)祖暅原理知，圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積與直平行六面體的體積相同，所以圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積的最大值為圓錐內(nèi)接正四棱柱的體積的最大值，求解即可.【詳解】根據(jù)祖暅原理知，圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積與直平行六面體的體積相同．當(dāng)?shù)酌鏋檎叫螘r(shí)，平行六面體的底面面積最大，所以圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積的最大值為圓錐內(nèi)接正四棱柱的體積的最大值，如圖（1），設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，高為y，作出圓錐的軸截面，如圖（2），

由圖可知，，，，AB=2．易知，，所以，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用祖暅原理將問題轉(zhuǎn)化為求圓錐的內(nèi)接正四棱柱的體積，從而得解.3．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，已知直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，D為的中點(diǎn)，E為線段AC上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則平面BDE截直三棱柱所得的截面面積的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過作，交A1C1于，連接，取的中點(diǎn)，連接，可得平面BDE截直三棱柱所得的截面為梯形，根據(jù)邊長關(guān)系求出梯形的面積即可得到答案.【詳解】直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，所以，解得，過作，交A1C1于，連接，取的中點(diǎn)，連接，

設(shè)，①當(dāng)時(shí)，平面BDE截直三棱柱所得的截面為正方形，面積為，②當(dāng)0<m≤1時(shí)，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，則，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，且則，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面為梯形在中，，，，則，在中，，，，則，在Rt△BCE中，，BC=2，，則，則過作垂足為，過作垂足為，所得平面圖形如下;

則，，，，設(shè)，則所以，，因?yàn)?，化簡可得：，則，所以，因?yàn)楫?dāng)0<m≤1，所以，則，綜上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面積的范圍為故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中找截面的步驟一般分為三步：第一步，找截點(diǎn)：方式1：延長截小面上一條直線，與幾何體的棱、面（或其延長部分）相交，交點(diǎn)即截點(diǎn)；方式2：過一截點(diǎn)作另外兩截點(diǎn)連線的平行線，交幾何體棱于截點(diǎn)；第二步，連截線：將各截點(diǎn)收尾相連，圍成截面；第三步，圍截面：連接同一平面內(nèi)的兩個(gè)截點(diǎn)，形成截線.1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在圓臺O1O2中，圓O1的半徑是2，母線，圓O2是的外接圓，，，則三棱錐體積最大值為．【答案】34/【分析】先求出圓O2的半徑，再求圓臺的高，列出三棱錐體積表示式，由余弦定理和基本不等式推出，即得體積最大值.【詳解】

如圖，設(shè)圓O1，O2的半徑分別為r1，r2，則由正弦定理，，解得設(shè)圓臺的高為，則，在中，取，由余弦定理，，即得，即得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.因三棱錐P?ABC的體積為，即時(shí)，三棱錐P?ABC的體積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查與圓臺有關(guān)的三棱錐的體積最值問題，屬于難題.解題關(guān)鍵在于，弄清圓臺與三棱錐的關(guān)系，分析三棱錐的體積關(guān)系式中，哪些為定值，需要選設(shè)怎樣的變量表示，考慮運(yùn)用二次函數(shù)，還是基本不等式，雙勾函數(shù)還是求導(dǎo)方法求得體積最值.2．（浙江·高考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是.【答案】【詳解】ΔABC中，因?yàn)椋?由余弦定理可得，所以AC=23設(shè)，則，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.過作直線的垂線，垂足為.設(shè)則，即，解得.而的面積.設(shè)PO與平面所成角為θ，則點(diǎn)到平面的距離.故四面體的體積.設(shè)，因?yàn)椋?則.（1）當(dāng)時(shí)，有，故.此時(shí)，.，因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞減，故.（2）當(dāng)時(shí)，有，故.此時(shí)，.由（1）可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故.綜上，四面體的體積的最大值為.1．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得圓錐底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】圓錐的母線長為2，母線與底面所成角為，所以底面圓的半徑為，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：C2．（2024·河南·三模）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C．10π D．12π【答案】A【分析】根據(jù)半徑求底面周長，由弧長公式可得母線長，然后可得側(cè)面積.【詳解】因?yàn)榈酌姘霃?，所以底面周長，又圓錐母線長，所以圓錐側(cè)面積．故選：A．3．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為為棱的中點(diǎn)，則四面體的體積為（

）A．2 B．423 C． D．【答案】A【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，證得平面BDD1B1，得到，且，在對角面BDD1B1中，結(jié)合【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，在正方形中，，又由正方體中，平面，因?yàn)槠矫妫傻?，又因?yàn)榍移矫鍮DD1B1，所以平面BD所以四面體的體積為，且，在對角面BDD1B所以四面體的體積為．故選：A.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）某小區(qū)花園內(nèi)現(xiàn)有一個(gè)圓臺型的石碑底座，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)該石碑底座上底面圓的半徑為1，且上底面圓直徑的一端點(diǎn)的投影為下底面圓半徑的中點(diǎn)，高為3，則這個(gè)圓臺的體積為（

）A． B．5π C．7π D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得圓臺上下底面的半徑以及圓臺的高，代入圓臺體積公式即可得解.【詳解】如圖，設(shè)圓臺上?下底面圓心分別為C,A,E為點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)，上?下底面圓的半徑分別為，，由題意得AC=3,CD=1,AB=2，設(shè)上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為S1所以該圓臺容器的容積V=1故選：C.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，水面高度均為2的圓錐、圓柱容器的底面半徑相等，高均為4（不考慮容器厚度及圓錐容器開口）．現(xiàn)將圓錐容器內(nèi)的水全部倒入圓柱容器內(nèi)，則倒入前后圓柱容器內(nèi)水的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出底面半徑，分別表示出圓錐和圓柱內(nèi)水的體積再求解即可.【詳解】設(shè)圓錐容器的底面半徑為，倒入前圓錐和圓柱容器中水的體積分別為V1則,，所以．故選：D.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（

）A． B． C． D．18【答案】A【分析】由上下底面的面積可求出上下底面邊長，構(gòu)造直角三角形結(jié)合棱臺的高求出側(cè)面梯形的高，求出側(cè)面積后得表面積.【詳解】由面積公式可得正三棱臺上下底面邊長分別為和，設(shè)在底面內(nèi)的射影為，作于，平面，平面，則有，又，，平面，所以平面，平面，所以，由，，，則，又，所以，則，故三棱臺的側(cè)面積為，表面積為.故選：A.7．（2024·天津北辰·三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A．325π12 B．76π3 C．【答案】A【分析】結(jié)合軸截面分析可知O1B=O【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺，取軸截面，如圖所示，O1,O可知：∥∥，且O1B=O2可得O3FO所以該容器中液體的體積為π×故選：A.8．（2024·河南信陽·三模）如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為（

）A．132 B．142 C．【答案】B【分析】設(shè)OB=1，設(shè)所求角并表示出OD,AC，利用繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，求得關(guān)系式，即可得答案.【詳解】設(shè)OB=1，則OD=1令大圓錐DBB'的體積為，圓錐OAA'和圓錐DAV=π3tan由題意可得：V=2V1+故選：B9．（23-24高一下·吉林·期中）在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（

）A．2 B．6 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)面面垂直可得線面垂直，結(jié)合等腰三角形可知四面體的高，進(jìn)而可得體積.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)?，，所以，又，所以四面體的體積，故選：C.10．（2024·江西·二模）如圖，在直三棱柱中，，∠BAC=π2，點(diǎn)，分別為棱，上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得為三棱錐的高，設(shè)，，由表示出錐體的體積，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】在直三棱柱中，平面A1B1故為三棱錐的高，設(shè)，，則，由∠BAC=π2，得，故，則，故，故當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積有最大值．故選：D．一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，為邊上的點(diǎn)，且，將沿所在直線翻折到的位置，使，則四棱錐的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)翻折不變性，勾股定理及線面垂直的判定定理推出SF⊥平面，由棱錐的體積公式即可得解．【詳解】如圖，過作，垂足為，連接，由翻折不變性可知：，，在中，，且，所以，所以在中，，所以．又因?yàn)?，平面，平面，所以SF⊥平面，則四棱錐的體積．故選：A．2．（2024·天津·二模）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，，，，均與底面垂直，且，點(diǎn)E、F分別為線段、的中點(diǎn)，記該幾何體的體積為，平面將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求幾何體的體積，再求被截較小部分的體積即可.【詳解】由題意可知，如圖所示，，所以平面即為平面截幾何體的截面.因?yàn)椋?所以幾何體的體積,被截棱臺的體積,較大部分體積為,且,所以較小部分的體積為.故選：D.3．（2024·北京西城·二模）楔體形構(gòu)件在建筑工程上有廣泛的應(yīng)用．如圖，某楔體形構(gòu)件可視為一個(gè)五面體，其中面為正方形．若，，且與面的距離為，則該楔體形構(gòu)件的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，由，，，可知為三棱柱，再利用椎體與柱體的體積關(guān)系計(jì)算該幾何體的體積．【詳解】如圖所示，

設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)槊鏋檎叫危訟B//DC，又平面，DC?平面，所以平面，又平面平面，所以

，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，，，所以，則為平行四邊形，則，同理，又，所以為三棱柱，由題意，可得；又；所以該多面體的體積為．故選：C．4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點(diǎn)且平行于底面的平面截?cái)M柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為，其中分別是上?下底面的面積，是中截面的面積，為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長?寬比下底的長?寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運(yùn)走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運(yùn)，則至少需要運(yùn)（

）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）A．51車 B．52車 C．54車 D．56車【答案】B【分析】由圖形直接解出上下底面及中截面面積，再由解出擬柱體的體積，最后結(jié)合實(shí)際求出需要的卡車數(shù)量即可.【詳解】由條件可知：上底長為米，寬為米；中截面長米，寬米；則上底面積平方米，中截面積平方米，下底面積平方米，所以該建筑材料的體積為(立方米)，所以建筑材料重約（噸），需要的卡車次為，所以至少需要運(yùn)車.故選：B5．（2024·河北保定·三模）如圖，在長方體中，，，是上一點(diǎn)，且，則四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通過證明平面得到，則可確定點(diǎn)在上的位置，進(jìn)而得到點(diǎn)到平面的距離，然后用棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】在長方體中，平面，又平面，所以，又，，面，所以平面，又面，所以，由，，，得，所以，又，所以，則點(diǎn)到平面的距離，故四棱錐的體積.故選：A.6．（2024·江西·模擬預(yù)測）如圖，將邊長為1的正以邊為軸逆時(shí)針翻轉(zhuǎn)弧度得到，其中，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．若該三棱錐的外接球半徑不超過，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作輔助線，則即為三棱錐的外接球球心，翻折的角即為的大小，設(shè)，結(jié)合題意分析可知，結(jié)合題意分析求解即可.【詳解】取線段的中點(diǎn)，線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則為正的外心，，可知為線段的中垂線，在平面內(nèi)過作的垂線交于，連接，

則即為三棱錐的外接球球心，翻折的角即為的大小．設(shè)，則，，，，，可得，化簡得，又因?yàn)椋矗獾?，結(jié)合，可得，則，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；2.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解．二、填空題7．（2024·新疆·二模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結(jié)構(gòu)是三個(gè)面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，ABFE，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個(gè)羨除的體積V=．【答案】200【分析】先連線再根據(jù)棱錐體積公式計(jì)算組合體體積即可.【詳解】連接CE,BE,V==12故答案為：200.8．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）如圖，在幾何體中，，梯形和梯形為等腰梯形，，若幾何體的體積為，則．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得三棱錐為正三棱錐，設(shè)，結(jié)合錐體與柱體的體積公式，列出方程，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由，可得四邊形為平行四邊形，可得，又由，可得，可得為等邊三角形，三棱錐為正三棱錐，設(shè)，如圖，過點(diǎn)作OE⊥平面，連接，可得，，，又由，可得三棱柱的體積是三棱錐體積的3倍，可得，解得．故答案為：.

9．（2024·重慶·三模）已知棱長為1的正方體內(nèi)有一個(gè)動點(diǎn)M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為.【答案】【分析】利用正方體的空間垂直關(guān)系去證明平面內(nèi)的點(diǎn)都滿足，再去證明動點(diǎn)M在以為圓心，以為半徑的圓上，從而利用點(diǎn)M在圓上的性質(zhì)去解決最值問題.【詳解】解：如圖所示，設(shè)，由正方體性質(zhì)可知平面，由于平面，，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，即點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)椋耘c點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，1為半徑的球面上，又因?yàn)槠矫?，到平面的距離為的一半，由正方體的邊長為1，則，又，，在平面內(nèi)，且以H為圓心，為半徑的半圓弧上，到平面的距離的最小值為，四棱錐體積的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：借助空間關(guān)系可知到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M在線段的中垂面上，又由到定點(diǎn)距離為1的點(diǎn)M又在球面上，從而得到點(diǎn)M的軌跡是中垂面截平面的小圓.10．（2024·山東菏澤·二模）已知在棱長為2的正方體中，挖去一個(gè)以上下底面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱柱，再挖去一個(gè)以左右兩側(cè)面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為．【答案】【分析】結(jié)合圖形可知兩個(gè)挖去的四棱柱重合部分為兩個(gè)正四棱錐的組合體，分別求得兩個(gè)四棱柱的體積，再求得正四棱錐的體積，得到挖去部分的體積，即可求得結(jié)果．【詳解】如圖：，可知四棱錐為正四棱錐，四邊形為邊長為2的正方形，棱錐的高為1，可知兩個(gè)挖去的四棱柱重合部分為兩個(gè)正四棱錐的組合體，四棱柱的底面是邊長為的正方形，則，同理可得，，則挖去部分的體積為，可得原正方體剩下部分的體積為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查組合體的體積的求法，棱柱，棱錐的體積公式的應(yīng)用.1．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.【詳解】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.2．（2023·全國·高考真題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對于選