《1.1 直線的斜率和傾斜角》(含答案)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2§1.1.1直線的斜率和傾斜角（1）目標(biāo)要求1、理解并掌握直線的斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．2、理解并掌握直線的斜率．3、理解并掌握直線的斜率的求法．4、理解并掌握斜率公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)本章內(nèi)容的呈現(xiàn)，除了注意體現(xiàn)解析幾何研究問(wèn)題的方法和特點(diǎn)以外，同時(shí)又考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過(guò)設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題情景，降低學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生形成對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)．如在直線斜率的呈現(xiàn)過(guò)程中，從學(xué)生最熟悉的例子——坡度入手，通過(guò)類比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到斜率刻畫(huà)直線傾斜程度和直線上兩點(diǎn)刻畫(huà)直線傾斜程度的一致性和內(nèi)在聯(lián)系．?dāng)?shù)形結(jié)合是本章重要的數(shù)學(xué)思想．這不僅是因?yàn)榻馕鰩缀伪旧砭褪菙?shù)形結(jié)合的典范，而且在研究幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，也充分體現(xiàn)“形”的直觀性、“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：直線的斜率的求法；難點(diǎn)：斜率公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.直線的斜率對(duì)于直線l上的任意兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,則直線l的斜率為:k=

y2-如果x1=x2,那么直線l的斜率不存在.2.直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),k=tanαα≠π【思考】斜率的正負(fù)與傾斜角范圍有什么聯(lián)系?提示:當(dāng)k=tanα<0時(shí),傾斜角α是鈍角;當(dāng)k=tanα>0時(shí),傾斜角α是銳角;當(dāng)k=tanα=0時(shí),傾斜角α是0°.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.當(dāng)直線確定后，k值與直線上兩點(diǎn)的順序有關(guān)，斜率是定值.B.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，斜率為0.C.當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線的斜率不存在．D.斜率是直線傾斜程度的數(shù)量化，是一比值．【答案】選BCD提示:A×.當(dāng)直線確定后，k值與直線上兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān).B√.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，斜率為0.C√.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體才叫棱錐.D√.斜率是直線傾斜程度的數(shù)量化，是一比值．故選BCD.題2.（多選）下列四個(gè)命題錯(cuò)誤的是()A.下圖中標(biāo)的α都不是對(duì)應(yīng)直線的傾斜角.B.任一直線都有傾斜角,都存在斜率.C.傾斜角為135°的直線的斜率為1.D.若直線的傾斜角為α,則它的斜率為k=tanα.【答案】BCD【解析】A.√.x軸的正向與直線向上的方向之間所成的角是直線的傾斜角,所以圖中的四個(gè)α都不是對(duì)應(yīng)直線的傾斜角.B.×.傾斜角為90°的直線不存在斜率.C.×.傾斜角為135°的直線的斜率為-1.D.×.傾斜角α不等于90°時(shí),它的斜率才是k=tanα.題3.如圖所示,直線l與y軸的夾角為45°,則l的傾斜角為()A.45° B.135° C.0° D.無(wú)法計(jì)算【解析】選B.根據(jù)傾斜角的定義知,l的傾斜角為135°.題4.已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5,m)和(m,8)的直線的斜率等于1,則m的值是()A.5 B.8 C.132 D【解析】選C.由斜率公式可得8-解得m=132題5.已知直線l的傾斜角為30°,則直線l的斜率為 ()A.33 B.3 C.1 D.【解析】選A.由題意可知直線l的斜率k=tan30°=33類型一直線的傾斜角、斜率的概念(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】題6.設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時(shí),傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),傾斜角為α-135°【解析】1.選D.因?yàn)?°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過(guò)畫(huà)圖(如圖所示)可知:當(dāng)0°≤α<135°時(shí),l1的傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.題7.一條直線l與x軸相交,其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°),則其傾斜角為()A.α B.180°-αC.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α【解析】選D.如圖,當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí),傾斜角為90°+α;當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí),傾斜角為90°-α.題8.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B,若kAB=4,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ()A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8)C.(2,0) D.(0,-8)【解析】選B.設(shè)B(x,0)或(0,y),因?yàn)閗AB=43-x或kAB=4-y3,所以43-x【解題策略】1.求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意事項(xiàng)(1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)兩點(diǎn)注意事項(xiàng):①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),傾斜角為0°,當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.2.解決斜率問(wèn)題的方法(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍),利用定義式k=tanα(α≠90°)解決.(2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率,運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k=y2-y1x2-(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題常利用數(shù)形結(jié)合求解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題9.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),且不經(jīng)過(guò)第四象限,則直線l的斜率k的取值范圍是（） ()A.(-1,0]B.[0,1]C.[1,2] D.[0,2]【解析】選D.由圖可知當(dāng)直線位于如圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時(shí),滿足題意,所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.類型二直線的傾斜角、斜率的計(jì)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)題10.若A(1,0),B(-3,m),直線AB的斜率為-12,則m=A.-8 B.-2 C.2 D.8【解析】選C.A(1,0),B(-3,m),直線AB的斜率為-12,所以-12=m-0題11.若直線過(guò)點(diǎn)C(1,3),D(4,3+3),則此直線的傾斜角為.

【解析】線過(guò)點(diǎn)C(1,3),D(4,3+3),則直線的斜率k=3+3-34-答案:π題12.已知點(diǎn)M(0,b)與點(diǎn)N(-3,1)連成直線的傾斜角為120°,求b的值.【解析】k=b-10+3=tan【解題策略】利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”,即直線不與x軸垂直,因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí),斜率是不存在的;(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1,P2的先后順序無(wú)關(guān),也就是說(shuō)公式中的x1與x2,y1與y2可以同時(shí)交換位置.(3)在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.【課堂跟蹤訓(xùn)練】題13.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(3,0),則它的斜率為()A.23 B.32 C.-23 【解析】選C.斜率k=0-23題14.若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(m,2),B32m,2A.2 B.1 C.34 D.【解析】選A.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(m,2),B32m,2m-1的直線的斜率為k=2m題15.(多選)若三點(diǎn)A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的值可能是()A.2B.eq\f(13,2)C.3D.5【答案】ACD【解析】若三點(diǎn)，，共線，則，，解得．三點(diǎn)，，能作為一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，三點(diǎn)，，不共線，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三點(diǎn)共線問(wèn)題、組成三角形的條件，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．題16.已知坐標(biāo)平面內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直線AB,BC,AC的斜率.【解析】已知點(diǎn)的坐標(biāo),可代入過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式求斜率,但應(yīng)先驗(yàn)證兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.kAB=1-11-(-1)因?yàn)锽,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,所以直線BC的斜率不存在.類型三直線的傾斜角、斜率的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理)角度1求斜率的范圍

【典例】題17.已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.【思路導(dǎo)引】作圖,讓直線與線段有公共點(diǎn),可得傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,進(jìn)一步獲得斜率的取值范圍.【解析】如圖所示,由題意可知kPA=4-0-3-1(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.(2)由題意可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45°,PA的傾斜角是135°,所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.角度2三點(diǎn)共線問(wèn)題

【典例】題18.若三點(diǎn)A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一條直線上,則實(shí)數(shù)k=.

【思路導(dǎo)引】利用AB和AC的斜率相等.【解析】因?yàn)锳(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一條直線上,所以kAB=kAC,kAB=3-(-3)4-2=3,k所以3=k+33,即答案:6【解題策略】1.求直線斜率的取值范圍時(shí),通常先結(jié)合圖形找出傾斜角的范圍,再得到斜率的范圍.2.利用斜率可解決點(diǎn)共線問(wèn)題,點(diǎn)A,B,C共線?kAB=kAC或kAB與kAC都不存在.3.y2【題組訓(xùn)練】題19.若三點(diǎn)A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直線上,則實(shí)數(shù)b等于 ()A.2 B.3 C.9 D.-9【解析】選D.因?yàn)槿c(diǎn)A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直線上,所以kAC=kAB,即11-18-3題20.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).若點(diǎn)D在線段BC上(包括端點(diǎn))移動(dòng),則直線AD的斜率的變化范圍是.

【解析】如圖所示.當(dāng)點(diǎn)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí),直線AD的斜率由kAB增大到kAC,又kAB=3-23-(-4)=17,所以直線AD的斜率的變化范圍是17答案:1題21.已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M(m+3,2m+5),N(m-2,1).(1)當(dāng)m為何值時(shí),直線MN的傾斜角為銳角?(2)當(dāng)m為何值時(shí),直線MN的傾斜角為鈍角?(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎?【解析】(1)若傾斜角為銳角,則斜率大于0,即k=2m+5-1m即當(dāng)m>-2時(shí),直線MN的傾斜角為銳角.(2)若傾斜角為鈍角,則斜率小于0,即k=2m+5-1m+3即當(dāng)m<-2時(shí),直線MN的傾斜角為鈍角.(3)當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí),直線的傾斜角為直角,此時(shí)m+3=m-2,此方程無(wú)解,故直線MN的傾斜角不可能為直角.【課后鞏固習(xí)題】題22.已知一條直線過(guò)點(diǎn)(3,-2)與點(diǎn)(-1,-2),則這條直線的傾斜角θ是()A.0° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.因?yàn)閗=04=0,所以θ題23.若過(guò)兩點(diǎn)A(4,y),B(2,-3)的直線的傾斜角為45°,則y等于()A.-32 B.32 C.-1 【解析】選C.kAB=y+34-2=所以y=-1.題24.已知直線AB與直線AC