2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時作業(yè)15第十一章立體幾何11.1.6祖暅原理與幾何體的體積含解析新人教B版必修第四冊

PAGEPAGE1課時作業(yè)15祖暅原理與幾何體的體積時間：45分鐘eq\a\vs4\al(一、選擇題每小題5分，共40分)1．將兩個棱長為10cm的正方體銅塊熔化后鑄成底面邊長為5cm的正四棱柱，則該四棱柱的高為(B)A．8cmB．80cmC．40cmD.eq\f(16,5)cm解析：設正四棱柱的高為hcm，依題意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．2．若一個圓錐的軸截面(過圓錐頂點和底面直徑的截面)是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的體積為(B)A．3π B.eq\f(\r(3),3)πC.eq\r(3)π D.eq\f(\r(3),2)π解析：設圓錐的底面半徑為R，依題意知該圓錐的高即軸截面的高h＝eq\f(\r(3),2)×2R＝eq\r(3)R，所以eq\f(1,2)×2R×eq\r(3)R＝eq\r(3)，解得R＝1.所以V圓錐＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.3.圓臺上、下底面面積分別為π、4π，側面積為6π，則這個圓臺的體積為(A)A.eq\f(7\r(3),3)π B.eq\f(2\r(3),3)πC．2eq\r(3)π D.eq\f(7\r(3),6)π解析：設圓臺的上、下底面半徑分別為r′、r，則πr′2＝π，πr2＝4π，∴r′＝1，r＝2，設母線長為l，π(1＋2)l＝6π，∴l(xiāng)＝2，∴高h＝eq\r(22－2－12)＝eq\r(3).∴V圓臺＝eq\f(π,3)×(1＋22＋1×2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)π.4．已知正四棱臺ABCD-A′B′C′D′中，AB＝3，A′B′＝6，體積V＝126，則該正四棱臺的高為(C)A．18 B．9C．6 D．12解析：設正四棱臺的高為h，則有eq\f(1,3)(32＋62＋eq\r(32×62))h＝126，解得h＝6，即該正四棱臺的高為6，故選C.5．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體體積為(D)A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析：每個截去的小三棱錐體積為eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4，則剩余部分的體積為V＝1－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4×8＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).6.如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的幾何體的體積是(D)A.eq\f(9,2)πB.eq\f(7,2)πC.eq\f(5,2)πD.eq\f(3,2)π解析：如圖，作AD⊥BC，垂足為D，則在Rt△ABD中，DB＝1，AD＝eq\r(3).∴所求幾何體的體積為eq\f(1,3)π·AD2·CD－eq\f(1,3)π·AD2·BD＝eq\f(1,3)π·AD2·BC＝eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)π.故選D.7．正方體的內切球與其外接球的體積之比為(C)A．1eq\r(3) B．13C．13eq\r(3) D．19解析：設正方體的棱長為1，則正方體內切球的半徑為棱長的一半即為eq\f(1,2)，外接球的直徑為正方體的體對角線，∴外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)，∴正方體的內切球與其外接球的體積之比為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝13eq\r(3).8．現(xiàn)有一個封閉的正三棱柱容器，高為3，內裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))．將容器放倒(如圖乙，一個側面處于水平狀態(tài))，這時水面所在的平面EE1F1F與各棱的交點分別為其所在棱的中點，則圖甲中水面的高度為(D)A.eq\r(3) B．2C.eq\f(3\r(3),2) D.eq\f(9,4)解析：設正三棱柱的底面積為S，則VABC-A1B1C1＝3S.∵E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為其所在棱的中點，∴eq\f(S△AFE,S)＝eq\f(1,4)，即S△AFE＝eq\f(1,4)S，∴S四邊形BCFE＝eq\f(3,4)S，∵VBCFE-B1C1F1E1＝eq\f(3,4)S×3＝eq\f(9,4)S，∴題圖甲中水面的高度為eq\f(9,4).故選D.eq\a\vs4\al(二、填空題每小題6分，共18分)9．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為312.解析：設球的半徑為R，則V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，故V圓柱V圓錐V球＝2πR3eq\f(2,3)πR3eq\f(4,3)πR3＝312.10．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D-ABC的體積為eq\f(\r(2),12)a3.解析：∵BA＝BC＝BD，∴B點在面ACD上的射影為△ACD的外心，即等腰直角△ADC斜邊中點O，OD＝eq\f(\r(2),2)a，∴OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴V三棱錐D-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(1,2)a2＝eq\f(\r(2),12)a3.11．一個球內切于底面半徑為eq\r(3)，高為3的圓錐內，則內切球半徑是1；內切球與該圓錐的體積之比為eq\f(4,9).解析：設球的半徑為r，則對圓錐軸截面運用等面積法可得eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)＋2eq\r(3)×2)r，∴r＝1，內切球與該圓錐的體積之比為eq\f(\f(4,3)π×13,\f(1,3)π×3×3)＝eq\f(4,9).三、解答題寫出必要的計算步驟，只寫最終結果不得分，12、13、15題各12分，14題6分，共42分12．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，如圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).13．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐．(1)求剩余部分的體積；(2)求三棱錐A-A1BD的體積及高．——素養(yǎng)提升——14．表面積為eq\f(4\r(3),3)的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為(A)A.eq\f(\r(2),3)π B.eq\f(1,3)πC.eq\f(2,3)π D.eq\f(2\r(2),3)π解析：如圖所示，將正四面體補形成一個正方體．設正四面體的棱長為a.∵正四面體的表面積為eq\f(4\r(3),3)，∴4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(4\r(3),3)，解得a＝eq\f(2\r(3),3)，∴正方體的棱長是eq\f(\r(6),3)，又∵球的直徑是正方體的體對角線，設球的半徑是R，∴2R＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(3)，∴R＝eq\f(\r(2),2)，∴球的體積為eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π，故選A.15．如圖所示，有一塊扇形鐵皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下來一個扇形環(huán)ABCD，作圓臺形容器的側面，并在余下的扇形OCD內剪下一塊與其相切的圓形鐵皮使它恰好作圓臺形容器的下底面(大底面)．(1)AD應取多長；(2)試求容器的容積V.解：(1)設圓臺上、下底面半徑分別為r、R.AD＝x，則OD＝72－x，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πR＝\f(60π,180)×72,72－x＝3R))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝12,