2024-2025學年北京三中高三（上）期中數(shù)學試卷含答案

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京三中高三（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1≤x<2}，則?UA=(

)A.{x|x≤?1或x≥2} B.{x|0<x<1或x≥2}

C.{x|x<?1或x>2} D.{x|0<x<1或x>2}2.已知向量a=(5,m)，b=(2,?2)，若(a?bA.?1 B.1 C.2 D.?23.已知角α的終邊經(jīng)過點(?1,2)，則tan2α的值為(

)A.45 B.?45 C.?4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)單調(diào)遞增的函數(shù)是(

)A.y=lnx B.y=|x|+1 C.y=?x2+15.已知a=lg5，b=sinπ7，c=2A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b6.設{an}是等差數(shù)列，下列結論中正確的是A.若a1+a2>0，則a2+a3>0 B.若a1+a37.已知平面α∩β=l，m是α內(nèi)不同于l的直線，那么下列命題中錯誤的是(

)A.若m//β，則m//l B.若m//l，則m//β

C.若m⊥β，則m⊥l D.若m⊥l，則m⊥β8.已知函數(shù)f(x)=ax?4,x>5(5?a)x?11,x≤5，數(shù)列{an}滿足an=f(n),n∈A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要9.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=52lgE1E2A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10.如圖，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直．Ω1是正方形ABCD及其內(nèi)部的點構成的集合，Ω2是正方形CDEF及其內(nèi)部的點構成的集合．設AB=1，給出下列三個結論：

①?M∈Ω1，?N∈Ω2，使MN=2；

②?M∈Ω1，?N∈Ω2，使EM⊥BN；

③?M∈Ω1，?N∈Ω2，使A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=1x+12.已知tan(π+α)=?3，且|α|<π2，則13.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<x?ππ5π7πf(x)a1a?a?1則f(x)的最小正周期為

；a=

．14.已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若AE?AF=1，則λ15.已知f(x)=|lgx|?kx?2，給出下列四個結論：

(1)若k=0，則f(x)有兩個零點；

(2)?k<0，使得f(x)有一個零點；

(3)?k<0，使得f(x)有三個零點；

(4)?k>0，使得f(x)有三個零點．

以上正確結論的序號是______．三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=2sinx(cos2x2?sin2x2)?3cos2x．

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及17.(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．

(Ⅰ)求證：AA1⊥平面ABC；

(18.(本小題13分)

在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．

(1)求∠B；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上中線的長．

條件①：c=2b；

條件②：△ABC的周長為4+23；

條件③19.(本小題15分)根據(jù)《國家學生體質(zhì)健康標準》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下(單位：cm)?:立定跳遠單項等級高三男生高三女生優(yōu)秀260及以上194及以上良好245～259180～193及格205～244150～179不及格204及以下149及以下從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下(精確到1cm):男生180205213220235245250258261270275280女生148160162169172184195196196197208220假設用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立．(Ⅰ)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率;(Ⅱ)從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設X為這3人中立定跳遠單項等級為優(yōu)秀的人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E(X);(Ⅲ)從該校全體高三女生中隨機抽取3人，設“這3人的立定跳遠單項既有優(yōu)秀，又有其它等級”為事件A，“這3人的立定跳遠單項至多有1個是優(yōu)秀”為事件B.判斷A與B是否相互獨立.(結論不要求證明)20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x3?ax2+2．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)若a>0，設函數(shù)g(x)=|f(x)|，g(x)在[0,1]21.(本小題15分)

已知An：a1，a2，…an，(n≥4)為有窮數(shù)列．若對任意的i∈{0,1,…,n?1}，都有|ai+1?ai|≤1(規(guī)定a0=an)，則稱An具有性質(zhì)P．

設Tn={(i,j)||ai?aj|≤1，2≤j?i≤n?2(i,j=1,2,…,n?2)}

(Ⅰ)判斷數(shù)列A4：1，0.1，?1.2，?0.5，A5：1，2，2.5，1.5，2是否具有性質(zhì)P？若具有性質(zhì)P，寫出對應的集合Tn；

(參考答案1.B

2.B

3.D

4.B

5.B

6.D

7.D

8.B

9.A

10.C

11.(?∞,0)∪(0,1]

12.1213.π1

14.2

15.(1)(2)(4)

16.解：(Ⅰ)f(x)=2sinx(cos2x2?sin2x2)?3cos2x=2sinxcosx?3cos2x=sin2x?3cos2x=2sin(2x?π3)，

故函數(shù)的最小正周期為2π2=π；

令π2+2kπ≤2x?π3≤2kπ+3π217.(I)證明：∵AA1C1C是正方形，

∴AA1⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，

∴AA1⊥平面ABC．

(II)解：由AC=4，BC=5，AB=3．

∴AC2+AB2=BC2，

∴AB⊥AC．

建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(0,0,4)，B(0,3,0)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，

∴BC1=(4,?3,4)，BA1=(0,?3,4)，BB1=(0,0,4)．

設平面A1BC1的法向量為n1=(x1,y1,z1)，平面B1BC1的法向量為n2=(x2,y2,z218.解：(1)在△ABC中，由bsinB=csinC及c=2bcosB得sinC=2sinBcosB=sin2B，

所以C=2B或C+2B=π，

又C=2π3，

若C=2B，則B=π3，此時B+C=π，故舍去，

所以B=π6．

(2)選①，由正弦定理結合(1)可知，cb=sinCsinB=3212=3，

即c=3b，與c=2b矛盾，故這樣的△ABC不存在；

選②，由B=π6,C=2π3可得A=π?π6?2π3=π6，

可設AC=BC=2x，

易得(4+23)x=4+23，

解得x=1，

則19.解：(Ⅰ)樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6，

所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為412=13；

估計高三女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為612=12．

(Ⅱ)由題設，X的所有可能取值為0，1，2，3，

P(X=0)=(23)2×12=29，

P(X=1)=C21×13×23×120.解：(Ⅰ)因為f(x)=x3?ax2+2，所以f′(x)=3x2?2ax，

k切=f′(0)=0，又f(0)=2，

故曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2；

(Ⅱ)函數(shù)的定義域為R，f′(x)=3x2?2ax=x(3x?2a)，

令f′(x)=0，解得x1=0，x2=2a3，

①當a=0時，f′(x)=3x2≥0，f(x)在R上單調(diào)遞增(或單增區(qū)間為(?∞,+∞))；

②當a>0時，由f′(x)>0，可得x>23a或x<0，由f′(x)<0，可得0<x<23a，

此時，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,0)，(23a,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,23a)；

③當a<0時，由f′(x)>0，可得x>0或x<23a，由f′(x)<0，可得23a<x<0，

此時f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,23a)，(0,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(2a3,0)．

綜上可得：當a=0時，f′(x)=3x2≥0，f(x)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,0)，(23a,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,23a)；

當a<0時，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,23a)，(0,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(2a3,0)．

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：若a>0，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,0)，(23a,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,23a)．

①當2a3≥1時，即a≥32，此時f(x)在[?1,0]上單調(diào)遞增，在[0,1]上單調(diào)遞減，

因21.解：(Ⅰ)由題知A4：1，0.1，?1.2，?0.5，

∴a1=1，a2=0.1，a3=?1.2，a4=?0.5，

∵|a3?a2|=1.3>1，

∴A4不具有性質(zhì)P，

∵A5：1，2，2.5，1.5，2，

∴a1=1，a2=2，a3=2.5，a4=1.5，a5=2，

∵|a2?a1|=1≤1，|a3?a2|=0.5≤1，|a4?a3|=1≤1，|a5?a4|=0.5≤1，|a5?a1|=1≤1，

∴A5具有性質(zhì)P，

∵|a4?