江西省上饒市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

上饒市2024屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，答在本試卷上無效．4．本試卷共22題，總分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合,進(jìn)而根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】，故，所以.故選:D2.已知，則的虛部為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再寫出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)運(yùn)算可得，即可得到的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以的虛部?故選：A.3.關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中是對(duì)稱中心的有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)對(duì)稱中心，再逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.【詳解】令解得，故對(duì)稱中心為，經(jīng)檢驗(yàn)只有，符合題意.故選：C4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達(dá)式中，“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過方程求得．類比上述過程，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，代入解方程即可.詳解】對(duì)于，令，則，解得，故選：B.5.血藥濃度檢測(cè)可使給藥方案?jìng)€(gè)體化，從而達(dá)到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)患者A給藥3小時(shí)的時(shí)候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過2小時(shí)檢測(cè)一次，每次檢測(cè)血藥濃度降低到上一次檢測(cè)血藥濃度的，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為（）A.11小時(shí) B.13小時(shí) C.17小時(shí) D.19小時(shí)【答案】B【解析】【分析】利用題意，將給藥時(shí)間與檢測(cè)次數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型，將給藥時(shí)間與患者血藥濃度轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，則利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：檢測(cè)第n次時(shí)，給藥時(shí)間為，則是以3為首項(xiàng)，2為公差的的等差數(shù)列，所以，設(shè)當(dāng)給藥時(shí)間為小時(shí)的時(shí)候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，則數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為等比數(shù)列，所以，令，即，解得，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為，故選：B.6.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的導(dǎo)函數(shù)為 B.在上單調(diào)遞減C.的最小值為 D.的圖象在處的切線方程為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、幾何意義逐一判斷即可.【詳解】A：，因此本選項(xiàng)不正確；B：由上可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此本選項(xiàng)不正確；C：由上可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，因此本選項(xiàng)正確；D：由上可知，因?yàn)?，所以的圖象在處的切線方程為，因此本選項(xiàng)不正確，故選：C7.已知拋物線：，則過拋物線焦點(diǎn)，弦長為整數(shù)且不超過的直線的條數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)弦為通徑最短，即可求解.【詳解】由拋物線：，可得焦點(diǎn)，又根據(jù)拋物線幾何性質(zhì)得通徑長為，又，根據(jù)對(duì)稱性，所以弦長為整數(shù)且不超過的直線的條數(shù)是.故選：C8.作圓一個(gè)內(nèi)接正十二邊形，使該正十二邊形中的4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正十二邊形的一條邊所在直線的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，把正十二邊形的各點(diǎn)表示出來，結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】如圖：可知，，直線的方程，即，A正確；直線的方程，即，B正確；直線的方程為，即，D正確.經(jīng)檢驗(yàn)直線不符合,故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的有（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為7B.若，，，則C.在一組樣本數(shù)據(jù)（，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（）都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為D.某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)學(xué)競(jìng)賽決賽的10人的成績(jī)：（單位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．這10人成績(jī)的第70百分位數(shù)是85．【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，可判定B正確；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義，可判定C正確；根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由數(shù)據(jù)之間滿足，且樣本數(shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若，，因?yàn)椋傻?，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)闃颖军c(diǎn)都在直線上，可得樣本數(shù)據(jù)是確定的函數(shù)關(guān)系，且，所以樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為，所以C正確；對(duì)于D中，由10人成績(jī)：72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，可得，所以這10人成績(jī)的第70百分位數(shù)是，所以D正確.故選：BCD.10.如圖，棱長為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.直線與底面所成的角為30° B.到直線的距離為C.平面 D.平面【答案】BC【解析】【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，對(duì)A，可借助空間向量計(jì)算直線與底面所成角的正弦值即可判斷；對(duì)B，借助空間中點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得；對(duì)C，借助空間向量可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可得；對(duì)D，假設(shè)平面，則有，結(jié)合空間向量計(jì)算可得與不垂直，故假設(shè)不成立，即可得解D.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、，對(duì)A：由，，故，易得平面的法向量可為，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，，有，又，故，故B正確；對(duì)C：由，，故，又，有，故，又平面，平面，故平面，故C正確；對(duì)D：由，，故，又，有，故與不垂直，若平面，由平面，則會(huì)有，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上至少有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)題意得函數(shù)是偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合思想討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】根據(jù)題意得：知偶函數(shù)，由知是周期為2的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以有如圖的函數(shù)圖象，對(duì)于A：由圖可知圖象關(guān)于對(duì)稱，所以A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，由周期為2可知單調(diào)性與時(shí)的單調(diào)性相同，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，則函數(shù)在上至少有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與圖象在上至少有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，則有，即，解得，所以D正確.故選：ABD.12.空間中存在四個(gè)球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切，下面結(jié)論正確的是（）A.以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為B.以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為C.若另一小球與這四個(gè)球都外切，則該小球半徑為D.若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，則該小球半徑為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，根據(jù)內(nèi)切關(guān)系可得三棱錐的各棱長，根據(jù)線線關(guān)系確定線面關(guān)系從而可求以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積及與這四個(gè)球都外切或內(nèi)切的球的半徑，逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，易知，，,取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，則，故，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，則，故A正確，B不正確；若另一小球與這四個(gè)球都外切，設(shè)小球中心為，半徑為，則點(diǎn)在四面體內(nèi)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，又，，所以，則球心在上，所以，同理，代入解得或（舍），故C正確；若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，設(shè)小球中心為，半徑為，則，，且點(diǎn)在上，所以，同理，代入得或（舍），故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本小題共四小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）．【答案】80【解析】【分析】借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)，有，令，則，有.故答案為：.14.在平行四邊形中，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則______．【答案】3【解析】【分析】用，表示，后由數(shù)量積運(yùn)算律可得答案.【詳解】由圖可得，.則.又，則.故答案為：315.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即時(shí)，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，故答案為：.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），若點(diǎn)與點(diǎn)分別滿足、，且，，，四點(diǎn)共圓，則雙曲線的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合題意可得各點(diǎn)坐標(biāo)，借助四點(diǎn)共圓的性質(zhì)對(duì)角互補(bǔ)可得，結(jié)合斜率公式從而得到與、、有關(guān)的齊次式，即可解出離心率；亦可借助圓周角定理，由得到，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式從而得到與、、有關(guān)的齊次式，即可解出離心率.【詳解】解法一：由已知得，點(diǎn)，，，，、，，，四點(diǎn)共圓，，又，，，即：，，，.解法二：由已知得，點(diǎn)，，，，因?yàn)椋鶕?jù)圓的性質(zhì)，可知，，解得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用四點(diǎn)共圓所得的幾何性質(zhì)解題，可用四點(diǎn)共圓對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)得到，或由，利用圓周角定理得到，從而得到與、、有關(guān)的齊次式解出離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，且的面積為，是的中線，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、輔助角公式等知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，從而求得.（2）利用三角形的面積求得，結(jié)合余弦定理、向量的模、數(shù)量積等知識(shí)求得的長.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，即，又因?yàn)椋?，所?又因?yàn)?，所以，所以，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所以得，由余弦定理得?又，所以，得，故的長為.18.如圖，三棱臺(tái)，在邊上，平面平面，，，，，．（1）證明：；（2）若，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理及判定定理、線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，即可得線線垂直；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.【小問1詳解】在中，，，由，解得，，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】由（1）知平面，故可以為原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面法向量為，則，令，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．19.設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．【答案】19.（）20.【解析】【分析】（1）利用，得，兩式作差，整理得是等差數(shù)列即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消和分組求和求解.【小問1詳解】由已知得：，當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，得．，數(shù)列是以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列（）【小問2詳解】由已知得：．．20.機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn)．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)兩部分，其中商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)．經(jīng)驗(yàn)表明商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)（單位：元）由過去三年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，上饒市某機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)公司對(duì)于購買保險(xiǎn)滿三年的汽車按如下表格計(jì)算商業(yè)險(xiǎn)費(fèi)用．（假設(shè)每年出險(xiǎn)次數(shù)2次及以上按2次計(jì)算）出險(xiǎn)情況商業(yè)險(xiǎn)折扣若基準(zhǔn)保費(fèi)3000元時(shí)對(duì)應(yīng)保費(fèi)三年內(nèi)6賠1.85400三-年內(nèi)5賠1.54500三年內(nèi)4賠1.23600三年內(nèi)3賠13000三年內(nèi)2賠0.82400三年內(nèi)1賠0.72100三年內(nèi)0賠0.61800（1）汽車的基準(zhǔn)保費(fèi)由車的價(jià)格決定，假定王先生的汽車基準(zhǔn)保費(fèi)為3000元，且過去8年都沒有出險(xiǎn)，近期發(fā)生輕微事故，王先生到汽車維修店詢價(jià)得知維修費(fèi)為1000元，理賠人員根據(jù)王先生過去一直安全行車的習(xí)慣，建議王先生出險(xiǎn)理賠，王先生是否該接受建議？（假設(shè)接下來三年王先生汽車基準(zhǔn)保費(fèi)不變，且都不出險(xiǎn)）（2）張先生有多年駕車經(jīng)驗(yàn)，用他過去的駕車出險(xiǎn)頻率估計(jì)概率，得知平均每年不出險(xiǎn)的概率為0.8，出一次險(xiǎn)的概率為0.1，出兩次險(xiǎn)的概率為0.1（兩次及以上按兩次算）．張先生近期買了一輛新車，商業(yè)險(xiǎn)基準(zhǔn)保費(fèi)為3000元（假設(shè)基準(zhǔn)保費(fèi)不變），求張先生新車剛滿三年時(shí)的商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)分布列及期望．【答案】（1）接受建議（2）分布列見解析；期望為（元）【解析】【分析】（1）計(jì)算出險(xiǎn)和不出險(xiǎn)兩種情況的繳費(fèi)情況，將差值與1000計(jì)較即可得結(jié)論；（2）列出的可能值，分別計(jì)算概率再計(jì)算期望即可.【小問1詳解】由于王先生過去三年都沒有出險(xiǎn)，若不出險(xiǎn)，王先生接下來三年只需按最低標(biāo)準(zhǔn)1800元繳費(fèi)，共需5400元．若進(jìn)行理賠，則接下來三年每年需2100元，共需6300元，故出險(xiǎn)理賠更劃算.【小問2詳解】設(shè)商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)數(shù)額為隨機(jī)變量，則的可能值為5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800．則則（元）21.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)與曲線相交的兩條線段和相互垂直（斜率存在，且在曲線上），、分別是和的中點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積為列式整理即可；（2）設(shè)直線為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出坐標(biāo)，求出直線即可得定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)，易得，