數學學案：知識導航：圓中比例線段

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2.3圓中比例線段自主整理1。相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點分成兩段的積_______________。2.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點的兩條線段的積_______________.3.切割線定理:從圓外一點引圓的一條割線與一條切線,切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段的_______________。高手筆記1.相交弦定理圖1.2—70（1)相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.(2)定理的證明：如圖1.2-70,已知⊙O的兩條弦AB、CD相交于圓內的一點P。求證:PA·PB=PC·PD.證明：連結AC、BD，則由圓周角定理有∠B=∠C，又∵∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB?！郟A：PD=PC：PB,即PA·PB=PC·PD.當然，連結AD、BC也能利用同樣道理，證得同樣結論。(3）由于在問題的證明中，⊙O的弦AB、CD是任意的，因此，PA·PB=PC·PD成立，表明“過定圓內一定點P的弦，被P點分成的兩條線段長的積應為一個定值?！彪m然過定點P的弦有無數多條，然而在這眾多的弦中有一些長度比較特殊的弦，如過點P的最長或最短的弦,通過它們可以找到定值。圖1.2-71如圖1.2—71（1)，考察動弦AB，若AB過⊙O的圓心O，則AB為過點P的最長的弦,設⊙O的半徑為R，則PA·PB=（R—OP）（R+OP）.如圖1.2—71（2)，考察過點P的弦中最短的弦，AB為過⊙O內一點P的直徑，CD為過點P且垂直于AB的弦,顯然，由垂直定理和相交弦定理，應有PA·PB=PC·PD=（CD）2=OC2-OP2=R2—OP2。由于⊙O是定圓,P為⊙O內一定點，故⊙O的半徑R與OP的長為定值.設OP=d，比較上述兩式,其結論是一致的，即PA·PB=（R—d）(R+d)=R2-d2，為定值。于是，相交弦定理可進一步表述為：“圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積為一定量,它等于圓的半徑與交點到圓心距離的平方差.”定圓的任一弦被定點分得兩線段長的積為定值，這個定值與點P的位置有關,對圓內不同的點P，一般來說，定值是不同的,即這個定值是相對于定點P與定圓O而言的.同時，由第二圖可直接得到相交弦定理的推論.“如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項”,即PC2=PD2=PA·PB。2.割線定理與切割線定理（1)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(2)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.圖1。2-72（3）符號語言表述:如圖1。2—72,PA·PB=PC·PD=PE2.（4)定理的證明：連結EC、ED，由于PE為切線，所以∠PEC=∠PDE.又因為∠EPC=∠EPC，于是△PEC∽△PDE，因此有PE:PC=PD:PE，即PE2=PC·PD.同理，有PE2=PA·PB，所以PA·PB=PC·PD。(5)應注意的兩點：①所有線段，都有一個公共端點P，而另一端點在圓上；②等積式左右兩邊的線段，分別在同一條割線上.名師解惑1.相交弦定理、割線定理、切割線定理在表述形式上非常類似，定理中都涉及到兩條線段的積相等,那么這些定理有什么內在聯系？定理中兩條線段的積能確定具體數值嗎？剖析:相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理統(tǒng)稱為圓冪定理,圓冪定理是圓和相似三角形結合的產物.這幾個定理可統(tǒng)一記憶成一個定理：過圓內或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內分或外分)成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩交點重合的割線）。兩條線段的長的積是常數PA·PB=｜R2-d2｜,其中d為定點P到圓心O的距離.若P在圓內，d＜R，則該常數為R2—d2；若P在圓上，d=R,則該常數為0;若P在圓外,d〉R，則該常數為d2-R2。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點，另一個是與圓的交點。在實際應用中,見圓中有兩條相交弦想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時圖形中存在著一個以交點和圓心連線為對稱軸的對稱圖形.2.與圓有關的比例線段問題涉及相似三角形、相交弦定理、切割線定理、比例的性質等若干內容，大都是綜合性的問題，那么通常我們怎樣證明這些比例式？在證明時有什么訣竅嗎？剖析:與圓有關的比例線段問題,主要是圓與相似形的綜合，其證法大致可分以下幾種：（1）直接由相似形得到，即先由已知條件證得兩個三角形相似,從而直接得到有關對應線段成比例。這是簡單型的比例線段問題。(2）利用“等線段”代換得到，在證明“等積式”形如a2=bc時，如果其中有三條線段共線,那么一般往往把平方項線段用“等線段"進行代換。(3)利用“中間積”代換得到，在證明“等積式”形如a2=bc時,如果其中有三條線段共線，不妨可以把平方項線段利用中間積進行代換試試.（4）利用“中間比”代換得到，在證明比例線段(不論共線與否),如果不能直接運用有關定理，不妨就尋找“中間比”進行代換試試。與圓有關的比例線段證明要訣:圓冪定理是法寶，相似三角形中找訣竅，聯想射影定理分角線，輔助線來搭橋，第三比作介紹，代數方法不可少,分析綜合要記牢，十有八九能見效。講練互動【例1】從不在⊙O上的一點A作直線，交⊙O于B、C，且AB·AC=64,OA=10，則⊙O的半徑等于______________。分析：點A不在⊙O上，有兩種情況:（1）點A在⊙O內;(2)點A在⊙O外。解：分兩種情況討論：(1）點A在⊙O內，如圖1.2-73所示，作直線OA交⊙O于E、F，設⊙O的半徑為r,圖1。2—73則AE=r—10，AF=r+10。由相交弦定理得（r-10）(r+10)=64。解得r1=2，r2=-2（不合題意，舍去）.∴r=2。(2)當A在⊙O的外部時，延長AO交⊙O于F,設⊙O的半徑為R，由割線定理得AB·AC=AE·AF，即64=（10—R）（10+R).解得R1=6，R2=-6(不合題意，舍去）?！郣=6.綜上所述,⊙O的半徑為2或6。綠色通道本題主要利用圓的相交弦定理:AB·AC=AE·AF還利用圓的割線定理：AB·AC=AE·AF，分類求解。變式訓練圖1。2-741。如圖1.2-74,⊙O的割線PAB交⊙O于點A、點B,PA=6cm，AB=8cm，PO=10cm，求⊙O的半徑.解:延長PO交圓于點D，設圓的半徑為R，PC=PO—R=10-R,PD=PO+R=10+R，PB=PA+AB=6+8=14（cm）.由割線定理,得PA·PB=PC·PD，∴6×14=（10—R)·（10+R）,∴R=4（cm).答:圓的半徑為4cm.變式訓練2。如圖1.2-75，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C,連結OD，且∠AOD=∠APC。圖1.2—75(1）求證：AP是⊙O的切線；（2）若OC：CB=1：2,且AB=9，求⊙O的半徑及sinA的值。分析：（1）要證AP是⊙O的切線，因AP與⊙O有公共點，所以應連OP,證OP⊥AP（即“作半徑，證垂直”）.（2）運用切割定理及勾股定理可求得。解：如圖,連結OP?！逷D⊥BE,∴∠OCD=90°,∴∠ODC+∠COD=90°.又∵OD=OP，∴∠ODC=∠OPC，∵∠COD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=∠ODC+∠COD=90°，∴∠APO=90°,即AP⊥PO,又∵PO為⊙O的半徑，P在⊙O上,∴AP是⊙O的切線.(2）設OC=x，由OC:BC=1:2得：BC=2x,OE=3x，CE=4x.∵PD⊥BE，BE為直徑,∴PC2=BC·CE?！郟C2=2x·4x=8x2，又∵AC=AB+BC,AB=9，∴AC2=(9+2x）2,由勾股定理，得AP2=AC2+PC2=（9+2x）2+8x2。又∵AP為⊙O的切線，直線ABE為⊙O的割線,∴AP2=AB·AE。即（9+2x）2+8x2=9×（9+6x）,解得x1=，x2=0（舍去),∴⊙O的半徑為,sinA=.【例2】如圖1。2-76，∠BAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于D和E，延長AC交過D、E、C三點的圓于點F.（1)求證：EF2=ED·EA;(2）若AE=6，EF=3,求AF·AC的值.圖1.2-76分析：(1)要證EF2=ED·EA，只需證△AEF∽△FED。（2）由于AC·AF=AD·AE，而由（1）可求得ED,因而AD可以求出來，從而計算出AD·AE，即為AC·AF的值。（1）證明：連結CE、DF.∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1=∠3，∴∠2=∠4。∵∠AEF=∠FED,∴△AEF∽△FED.∴?！郋F2=ED·EA。(2）解：由（1）知EF2=AE·ED?！逧F=3，AE=6,∴ED=。∴AD=.∴AC·AF=AD·AE=×6=27。綠色通道當題目中涉及兩個圓時，我們常常作兩圓的公共弦EC,以此來溝通兩個圓的聯系,這也是解決本題的關鍵.變式訓練3.如圖1。2—77，已知⊙O與⊙O′外切于A,過A的直線交⊙O、⊙O′于B、C，BD切⊙O′于D交⊙O于E。求證:(1）AD平分∠EAC；(2）AD2=AE·AC。圖1。2-77分析：(1）要證明AD平分∠EAC，從圖形觀察∠EAD，∠CAD，與其他角的關系不十分明顯，此題是兩圓相外切，這時可以考慮添加輔助線，作兩圓的外公切線，把∠EAD分成兩個角，∠EAN與∠DAN。∠EAN=∠B，可證∠NAD=∠NDA，則∠EAD=∠B+∠NDA。又∠CAD是△ABD的外角，∠CAD=∠B+∠ADB，由此證得∠CAD=∠EAD,即AD平分∠EAC.(2）要證明AD2=AE·AC，可以構造出兩個三角形即△ADC和△AED，證明這兩個三角形相似。證明:（1）過A點作兩圓公切線MN，交BD于N,連結CD。如圖,∵∠EAN=∠B,∵BD切⊙O′于D，MN切⊙O′于A，∴AN=DN，∴∠NAD=∠ADN,∵∠CAD=∠B+∠ADN，∴∠NAD+∠EAN=∠ADN+∠B,即∠DAE=∠CAD,∴AD平分∠EAC。(2）∵∠DAC=∠EAD，∠EDA=∠C,∴△AED∽△ADC,∴,∴AD2=AE·AC?！纠?】如圖1.2-78，已知⊙O1和⊙O2相交于點A、B,過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C,過點B作兩圓的割線,分別交⊙O1、⊙O2于點D、E，DE與AC相交于點P.(1)求證：AD∥EC；（2)若AD是⊙O2的切線,且PA=6,PC=2,BD=9，求AD的長。圖1。2—78分析:（1)連結AB，利用⊙O1的弦切角∠BAC過渡來證明∠D=∠E.(2）設BP=x，PE=y，利用相交弦定理和AD∥EC可以列出關于x、y的方程組,求出x、y,再用切割線定理求AD.（1)證明：連結AB.∵AC為⊙O1的切線,∴∠BAC=∠D.又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E?！郃D∥EC。（2)解:設PB=x,PE=y，∵AP=6，PC=2，∴xy=12.①∵AD∥EC，∴,即，∴9+x=3y.②由①②解得或(舍去)?！郉E=9+x+y=16。∵AD為⊙O2的切線,∴AD2=DB·DE=9×16.∴AD=12.綠色通道本例綜合運用了弦切角定理、相交弦定理、切割線定理和