2.2 切線長定理 同步練習(xí)

2.2切線長定理基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點切線長定理1.(2019浙江杭州中考)如圖,P為圓O外一點,PA,PB分別切圓O于點A,B,若PA=3,則PB=()A.2 B.3 C.4 D.52.如圖,PA、PB為☉O的切線,切點分別為A、B,PO交AB于點C,PO的延長線交☉O于點D,下列結(jié)論不一定成立的是()A.PA=PB B.∠BPD=∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD3.如圖,☉O與四邊形ABCD的各邊均相切,AB=10,BC=7,CD=8,則AD的長度為()A.8 B.9 C.10 D.114.如圖,分別過☉O上A、B、C三點作☉O的切線,切線兩兩相交于P、M、N,PA=9,則△PMN的周長為.

5.如圖,直線PA,PB是☉O的兩條切線,A,B分別為切點,∠APB=120°,OP=10,則弦AB的長為.

6.如圖,☉O與△ABC的邊AB、AC的延長線及BC邊相切,且∠ACB=90°,∠A,∠ABC,∠ACB所對的邊長依次為35,則☉O的半徑為.

7.如圖,EA、EB切☉O于點A、B,BC為☉O的直徑,延長BE、CA交于點D,延長CB、AE交于點F,若DE=2.5,BF=6,求☉O的半徑.能力提升全練8.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓,過點A作半圓的切線AE,切點為E,則sin∠CBE=()A.63 B.23 9.如圖,正方形ABCD的邊長為2,DE與以AB為直徑的半圓相切并交BC于點E,則三角形DEC的面積為.

10.(2022浙江溫州平陽期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,以頂點C為圓心,BC的長為半徑畫弧BH,交CD于H,過AB的中點P作弧BH的切線PE,E為切點,連結(jié)AE并延長交CD于點F,則tan∠DAF的值為.

11.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O的圓心O在BC上,☉O分別與AC、AB切于C、D兩點,與BC交于另一點E,連結(jié)AO交☉O于點M,連結(jié)DE.(1)求證:DE∥AO.(2)若AC=6,BC=8,①求ACCE②求DE的長.12.如圖①,已知AB為☉O的直徑,∠A=∠B=90°,DE與☉O相切于E,☉O的半徑為5,AD=2.(1)求BC的長;(2)如圖②,連結(jié)AE并延長,交BC的延長線于G,求EG的長.素養(yǎng)探究全練13.如圖,已知AB為☉O的直徑,BC,CD是☉O的切線,切點分別為點B,D,點E為AB上的一個動點,連結(jié)CE,DE.若AB=25,BC=2,則CE+DE的最小值是.

2.2切線長定理答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.B由切線長定理得PB=PA=3,故選B.2.D∵PA,PB是☉O的切線,∴PA=PB,連結(jié)OA、OB,易證△AOP≌△BOP,∴∠BPD=∠APD,∴AB⊥PD,∴選項A、B、C中的結(jié)論成立;不能證明AB平分PD,∴選項D中的結(jié)論不一定成立.故選D.3.D∵☉O與四邊形ABCD的各邊均相切,∴AD+BC=AB+CD,∵AB=10,BC=7,CD=8,∴AD+7=10+8,解得AD=11.故選D.4.答案18解析∵PA、PB、MN分別與☉O切于A、B、C,∴PA=PB,MA=MC,NB=NC,∴△PMN的周長=PM+MN+PN=PM+MC+CN+PN=PM+MA+NB+PN=PA+PB=9+9=18.5.答案53解析連結(jié)OA、OB,如圖所示,∵直線PA,PB是☉O的兩條切線,∴OA⊥AP,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB,∴PO平分∠APB,∴∠APO=12∠APB∵∠APB=120°,∴∠AOB=60°,∠APO=12∠APB=60°∵OA=OB,∴△AOB是等邊三角形.∴AB=OA.在Rt△AOP中,sin∠APO=OAOP∴OA=OP·sin∠APO.∵OP=10,∠APO=60°,∴OA=10×3∴AB6.答案2解析如圖,設(shè)☉O與AB、AC的延長線相切于F、D,與BC相切于E,連結(jié)OD,OE,∵☉O與△ABC的邊AB、AC的延長線及BC邊相切,∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,∴∠ODC=∠OEC=90°,∵∠ECD=180°-∠ACB=90°,OE=OD,∴四邊形ODCE是正方形,∴OD=OE=CE=CD,設(shè)OD=CD=CE=r,∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r,∴5+3-r=4+r,∴r=2,則☉O的半徑是2.7.解析連結(jié)AB,OA,如圖,∵BC是☉O的直徑,∴∠BAC=90°,∴∠BAD=90°,∴∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠D=90°,∵EA、EB切☉O于點A、B,∴AE=BE,∴∠ABE=∠BAE,∴∠D=∠DAE,∴AE=DE,∴DE=AE=BE=2.5,在Rt△BEF中,BE=2.5,BF=6,∴EF=BE2+B∴AF=EF+EA=9,∵EA切☉O于點A,∴∠OAF=90°,在Rt△OAF中,OA2+AF2=OF2,設(shè)☉O的半徑為r,∴r2+92=(6+r)2,解得r=154∴☉O的半徑為154能力提升全練8.D如圖,設(shè)BC的中點為O,則O為半圓的圓心,連結(jié)OE,AO,AO與BE交于點F,由題易知AB為半圓的切線,∵AE為半圓的切線,∴AE=AB,易證△AOB≌△AOE,∴∠OAB=∠OAE,∴AO⊥BE,在直角三角形AOB中,AO2=OB2+AB2,∵OB=12BC=1,AB=3,∴AO=10易證△BOF∽△AOB,∴BO∶AO=OF∶OB,∴1∶10=OF∶1,∴OF=1010∴sin∠CBE=OFOB=9.答案1.5解析如圖,設(shè)DE與半圓相切于點F,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠OAD=∠OBC=∠C=90°,AB=BC=AD=CD=2,∵OA、OB是半圓的半徑,∴DA與半圓相切于點A,EB與半圓相切于點B,又∵DE與半圓相切于點F,∴DA=DF=2,EB=EF,設(shè)EB=EF=x,則EC=BC-EB=2-x,DE=DF+EF=2+x,在Rt△DEC中,DC2+CE2=DE2,∴22+(2-x)2=(2+x)2,解得x=12,∴EC=BC-EB=3∴三角形DEC的面積=12EC·DC=10.答案2解析如圖,連結(jié)PC,BE交于G,連結(jié)CE,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵BC是弧BH的半徑,∴PB弧BH的切線,∵PE是弧BH的切線,∴PB=PE,∵BC=CE,∴PC垂直平分BE,∴∠BGC=90°,∴∠BCG+∠CBG=90°,∵∠ABC=90°,∴∠PBG+∠CBG=90°,∴∠ABE=∠BCP,∵點P是AB的中點,∴AP=PB=4,∴AP=BP=PE,∴∠PAE=∠AEP,∠PBE=∠PEB,∴∠BAE+∠ABE=90°,∵∠BAE+∠DAF=90°,∴∠DAF=∠ABE=∠BCP,∴tan∠DAF=tan∠BCP=PBBC11.解析(1)證明:連結(jié)OD,如圖所示,∵☉O分別與AC、AB切于C、D兩點,∴AC=AD.在△AOC與△AOD中,AC=∴△AOC≌△AOD(SSS).∴∠AOC=∠AOD.∴∠AOC=12∠∵∠DEO=12∠COD,∴∠AOC=∠DEO.∴DE∥(2)①設(shè)☉O的半徑為x,則OD=x,OB=8-x,CE=2x.在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∴AB=AC2∵AB切☉O于點D,∴OD⊥AB.∴∠ODB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ODB.又∵∠B=∠B,∴△BOD∽△BAC.∴BOBA=OD解得x=3.∴CE的長為6.∴ACCE=1②易得OC=3,BE=BC-CE=8-6=2,BO=5.在Rt△AOC中,AO=AC∵DE∥AO,∴BEBO=DE解得DE=65∴DE的長為6512.解析(1)如圖,過點D作DF⊥BC于點F,∵AB為☉O的直徑,∠A=∠B=90°,∴四邊形ABFD是矩形,AD、BC是☉O的切線,∴DF=AB=25,BF=AD=2,∵DE與☉O相切于E,DA與☉O相切于A,∴DE=AD=2,同理可得CE=BC,設(shè)BC=CE=x,則CF=BC-BF=x-2,DC=DE+CE=2+x,在Rt△DCF中,DC2=CF2+DF2,即(2+x)2=(x-2)2+(25)2,解得x=52,即BC=5(2)∵∠BAD=∠B=90°,∴∠B+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴△ADE∽△GCE,∴AD∶CG=DE∶CE=AE∶EG,∵AD=DE=2,∴CG=CE=BC=52∴BG=BC+CG=5,AE∶EG=AD∶CG=2∶52=4∶5在Rt△ABG中,AG=AB∴EG=59素養(yǎng)探究全練13.答案14解析過點D作DF⊥AB于點F,延長DF交☉O于點G,連結(jié)CG交AB于點E,如圖,∵AB為☉O的直徑,AB⊥DG,∴DF=FG.∴點D與點G關(guān)于AB對稱.∴DE=EG,∴當(dāng)ED+EC=EG+EC=GC時,ED+EC的值最小.連結(jié)OD,AD,DB,∵AB為☉O的直徑,AB=25,∴OA=DO=OB=12∵BC,CD是☉O的切線,∴BC=CD=2,OD⊥CD,OB⊥BC,∵∠ADB=90°,∠CDO=90°,OB=OD,∴∠A+∠ABD=90°,∠ODB+∠CDB=90°,∠ABD=∠ODB,∴∠CDB=∠A.∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.∵DC=CB,∴∠CDB=∠CBD.∴∠CDB=∠A=∠ADO=∠CBD.∴△OAD∽△CDB.∴ADBD設(shè)AD=5k(k>0),則BD=2k,∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∴AD2+BD2=AB2