數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航第三講三平面與圓錐面的截線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．了解不平行于底面且不通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的平面截圓錐的形狀是橢圓、拋物線、雙曲線．2．感受平面截圓錐的形狀,并從理論上證明．3．通過(guò)Dandelin雙球探求雙曲線的性質(zhì)，理解這種證明問(wèn)題的方法.1．定理2文字語(yǔ)言如果用一個(gè)平面去截一個(gè)正圓錐(兩邊可以無(wú)限延伸)，而且這個(gè)平面不通過(guò)圓錐的頂點(diǎn),會(huì)出現(xiàn)三種情況：如果平面與一條母線平行,那么平面就只與正圓錐的一半相交,這時(shí)的交線是拋物線;如果平面不與母線平行，當(dāng)平面只與圓錐的一半相交，這時(shí)的交線為橢圓；當(dāng)平面與圓錐的兩個(gè)部分都相交，這時(shí)的交線叫做雙曲線符號(hào)語(yǔ)言在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點(diǎn)，夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面．任取平面π，若它與軸l的交角為β（當(dāng)π與l平行時(shí)，記β＝0)，則(1)β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓;（2)β＝α,平面π與圓錐的交線為拋物線；(3）β＜α,平面π與圓錐的交線為雙曲線圖形語(yǔ)言作用確定交線的形狀名師點(diǎn)撥①特別情況：β＝eq\f（π,2)，平面π與圓錐的交線為圓，如圖所示．②圓錐曲線的統(tǒng)一性，橢圓為封閉圖形,雙曲線、拋物線為不封閉圖形，其圖形不一樣，但它們都可以用平面截對(duì)頂圓錐面得到,因此,圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線．它們都滿足曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)，即離心率e，定義上的統(tǒng)一，必然也蘊(yùn)含著圖形統(tǒng)一．2．圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（1）橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之和為常數(shù)（長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a）．(2）雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(2a)．（3)拋物線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一條定直線的距離相等．3．圓錐曲線的幾何性質(zhì)（1）焦點(diǎn)：Dandelin球與平面π的切點(diǎn)．（2)準(zhǔn)線:截面與Dandelin球和圓錐交線所在平面的交線．（3)離心率：e＝eq\f(cosβ，cosα)。(4）圓錐曲線的幾何性質(zhì)項(xiàng)目橢圓雙曲線拋物線焦點(diǎn)2個(gè)2個(gè)1個(gè)準(zhǔn)線2條2條1條離心率e＝eq\f(cosβ，cosα）＜1e＝eq\f(cosβ,cosα）＞1e＝1焦距F1F2＝2cc2＝a2－b2F1F2＝2cc2＝a2＋b2—離心率e＝eq\f（c,a)e＝eq\f（c，a)—準(zhǔn)線間距eq\f(2a2，c)eq\f（2a2，c)—曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離PF1＋PF2＝2a|PF1－PF2｜＝2a—思考在定理2中，當(dāng)β＜α?xí)r，探究截線形狀．剖析：如圖，當(dāng)β＜α?xí)r，平面π與圓錐面的兩部分相交,在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球，與平面π的兩個(gè)切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，與圓錐兩部分截的圓分別為S1,S2。在截口上任取一點(diǎn)P，連接PF1，PF2。過(guò)P和圓錐的頂點(diǎn)O作母線，分別與兩球切于Q1，Q2，則PF1＝PQ1,PF2＝PQ2，所以｜PF1－PF2|＝｜PQ