2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.6函數(shù)的應(yīng)用二課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE十一函數(shù)的應(yīng)用(二)(15分鐘30分)1.(2024·寶雞高一檢測(cè))調(diào)查表明,酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要緣由,交通法規(guī)規(guī)定:駕駛員在駕駛機(jī)動(dòng)車時(shí)血液中酒精含量不得超過0.2mg/ml.假如某人喝了少量酒后,血液中酒精含量將快速上升到0.8mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小時(shí)50%的速度削減,則他至少要經(jīng)過______小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車. ()

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.設(shè)n個(gè)小時(shí)后才可以駕車,由題得方程0.8(1-50%)n=0.2,0.5n=QUOTE,n=2,即至少要經(jīng)過2小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車.2.(2024·鄭州高一檢測(cè))有一個(gè)盛水的容器,由懸在它的上方的一條水管勻稱地注水,最終把容器注滿,在注水過程中,時(shí)刻t,水面高度y如圖所示,圖中PQ為一線段,與之對(duì)應(yīng)的容器的形態(tài)是 ()【解析】選B.由函數(shù)圖像可推斷出該容器必定有不同規(guī)則形態(tài),并且一起先先慢后快,所以下邊粗,上邊細(xì),再由PQ為一線段,容器上端必是直的一段,故解除A,C,D.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·福州高一檢測(cè))某學(xué)校開展探討性學(xué)習(xí)活動(dòng),一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù):x1.992.845.18y0.991.582.012.353.00現(xiàn)有如下4個(gè)模擬函數(shù):①y=0.6x-0.2;②y=x2-55x+8;③y=log2x;④y=2x-3.02.請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù),使它比較近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,應(yīng)選()A.①B.②C.③ D.④【解析】選C.依據(jù)表中數(shù)據(jù),畫出圖像如圖:通過圖像可看出,y=log2x能比較近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.3.依據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間困難度的上限M約為3361,而可觀測(cè)宇宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與QUOTE最接近的是 ()(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)A.1033 B.1053C.1071 D.1093【解析】選D.設(shè)QUOTE=x=QUOTE,兩邊取對(duì)數(shù)lgx=lg3361-lg1080=361×lg3-80,lgx≈93.28,所以接近1093.4.在不考慮空氣阻力的狀況下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v=2000·lnQUOTE.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的______倍時(shí),火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒.()

A.e6 B.e6-1 C.e6+1 D.106-1【解析】選B.當(dāng)v=12000米/秒時(shí),2000·lnQUOTE=12000,所以lnQUOTE=6,所以QUOTE=e6-1.5.探討人員發(fā)覺某種物質(zhì)的溫度y(單位:攝氏度)隨時(shí)間x(單位:分鐘)的改變規(guī)律是:y=2·2x+21-x(x≥0)經(jīng)過______分鐘,該物質(zhì)溫度為5攝氏度. ()

A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選A.某種物質(zhì)的溫度y(單位:攝氏度)隨時(shí)間x(單位:分鐘)的改變規(guī)律是:y=2·2x+21-x(x≥0),當(dāng)y=5時(shí),2·2x+21-x=5,由x≥0,解得x=1.所以經(jīng)過1分鐘,該物質(zhì)溫度為5攝氏度.6.家用冰箱制冷運(yùn)用的氟化物,釋放后破壞了大氣上層的臭氧層.臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型改變,滿意關(guān)系式Q=Q0QUOTE,其中Q0是臭氧的初始量.(1)隨時(shí)間的增加,臭氧的含量是增加還是削減?(2)多少年以后將會(huì)有一半的臭氧消逝?(提示:ln2≈0.693,ln3≈1.099)【解析】(1)因?yàn)镼0>0,-QUOTE<0,e>1,所以Q=Q0QUOTE為減函數(shù),所以隨時(shí)間的增加,臭氧的含量是削減的.(2)設(shè)x年以后將會(huì)有一半的臭氧消逝,則Q=Q0QUOTE=QUOTEQ0,即QUOTE=QUOTE,取對(duì)數(shù)可得:-QUOTE=lnQUOTE解得x=400ln2≈277.2.所以278年以后將會(huì)有一半的臭氧消逝.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.某企業(yè)產(chǎn)值連續(xù)三年持續(xù)增長(zhǎng),這三年年增長(zhǎng)率分別為P1,P2,P3,則這三年的年平均增長(zhǎng)率為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE-1D.1+QUOTE【解析】選C.設(shè)這三年的年平均增長(zhǎng)率為x,企業(yè)產(chǎn)值的基數(shù)為a,則aQUOTE=aQUOTE,所以x=QUOTE-1.2.若鐳經(jīng)過100年后剩余原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩余量為y,則x,y的函數(shù)關(guān)系式是 ()A.y=0.957QUOTE B.y=0.9576100xC.y=QUOTE D.y=1-0.042QUOTE【解析】選A.設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的百分比為t,則有0.9576=1·QUOTE,t=1-QUOTE,所以y=QUOTE=0.957QUOTE.3.某新品牌電視機(jī)投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái),其次個(gè)月銷售200臺(tái),第三個(gè)月銷售400臺(tái),第四個(gè)月銷售790臺(tái),則下列函數(shù)模型中能較好反映銷量y(臺(tái))與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間的關(guān)系的是 ()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】選C.由題意,對(duì)于A中的函數(shù),當(dāng)x=3或4時(shí),誤差較大.對(duì)于B中的函數(shù),當(dāng)x=4時(shí),誤差也較大.對(duì)于C中的函數(shù),當(dāng)x=1,2,3時(shí),誤差為0,x=4時(shí),誤差為10,誤差很小.對(duì)于D中的函數(shù),當(dāng)x=4時(shí),y=300,與實(shí)際值790相差很大.綜上,只有C中的函數(shù)誤差最小,故選C.4.(2024·濰坊高一檢測(cè))將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m分鐘甲桶中的水只有QUOTE,則m的值為 ()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選D.依據(jù)題意得QUOTE=ae5n,令QUOTE=aent,即QUOTE=ent,因?yàn)镼UOTE=e5n,故QUOTE=e15n,故t=15,m=15-5=10.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.如圖1是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖像.由于目前本條線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議,如圖2,3所示.你能依據(jù)圖像推斷下列說法錯(cuò)誤的是 ()①圖2的建議為削減運(yùn)營(yíng)成本②圖2的建議可能是提高票價(jià)③圖3的建議為削減運(yùn)營(yíng)成本④圖3的建議可能是提高票價(jià)A.① B.② C.③ D.④【解析】選BC.依據(jù)題意和圖2知,兩直線平行即票價(jià)不變,直線向上平移說明當(dāng)乘客量為0時(shí),收入是0但是支出的變少了,即說明白此建議是降低成本而保持票價(jià)不變;由圖3看出,當(dāng)乘客量為0時(shí),支出不變,但是直線的傾斜角變大,即相同的乘客量時(shí)收入變大,即票價(jià)提高了,即說明白此建議是提高票價(jià)而保持成本不變,綜上可得①④正確,②③錯(cuò)誤.6.某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進(jìn)行過濾,已知每過濾一次雜質(zhì)含量削減QUOTE,則使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477) ()A.6 B.9 C.8 D.7【解析】選BC.設(shè)經(jīng)過n次過濾,產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求,則QUOTE×QUOTE≤QUOTE,即QUOTE≤QUOTE,nlgQUOTE≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥QUOTE≈7.4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖某池塘中的浮萍擴(kuò)散的面積y(m2)與時(shí)間t(月)的關(guān)系:y=at,以下敘述中正確的是 ()A.這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2B.第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積超過30m2C.浮萍從4m2擴(kuò)散到12m2須要經(jīng)過1.5個(gè)月D.浮萍每個(gè)月增加的面積都相等【解析】選AB.對(duì)于A,由圖像知,t=2時(shí),y=4,所以a2=4,故a=2,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)t=5時(shí),y=25=32>30,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)y=4時(shí),由QUOTE=4,知t1=2,當(dāng)y=12時(shí),由QUOTE=12,知t2=log212=log24+log23=2+log23,則t2-t1=log23≠1.5,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,浮萍每月增加的面積不相等,事實(shí)上增長(zhǎng)速度越來越快,故D錯(cuò)誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.為綠化生活環(huán)境,某市開展植樹活動(dòng).今年全年植樹6.4萬棵,安排3年后全年植樹12.5萬棵.若植樹的棵數(shù)每年的增長(zhǎng)率均為a,則a=________.

【解析】由題意可知6.4(1+a)3=12.5,所以(1+a)3=QUOTE,所以1+a=QUOTE,故a=QUOTE=25%.答案:25%8.某項(xiàng)探討表明:在考慮行車平安的狀況下,某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=QUOTE,若l=6.05,則最大車流量為______輛/時(shí).

【解析】當(dāng)l=6.05時(shí),F=QUOTE=QUOTE,因?yàn)関+QUOTE≥2QUOTE=22,當(dāng)且僅當(dāng)v=QUOTE,即v=11時(shí)取等號(hào).所以F≤QUOTE=2018.答案:2018四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·吉林高一檢測(cè))我國(guó)加入WTO時(shí),依據(jù)達(dá)成的協(xié)議,某產(chǎn)品的市場(chǎng)供應(yīng)量P與市場(chǎng)價(jià)格x的關(guān)系近似滿意P(x)=QUOTE(其中t為關(guān)稅的稅率,且t∈[0,QUOTE),x為市場(chǎng)價(jià)格,b,k為正常數(shù)).當(dāng)t=QUOTE時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示.(1)依據(jù)圖像求b,k的值.(2)當(dāng)關(guān)稅的稅率t=QUOTE時(shí),求市場(chǎng)供應(yīng)量P不低于1024時(shí),市場(chǎng)價(jià)格至少為多少?【解析】(1)由圖可知,QUOTE,解得k=6,b=5,(2)由(1)可得P(x)=QUOTE,設(shè)m=(1-6t)(x-5)2,當(dāng)t=QUOTE時(shí),m=QUOTE(x-5)2,因?yàn)槭袌?chǎng)供應(yīng)量P不低于1024時(shí),所以2m≥1024,解得m≥10,所以QUOTE(x-5)2≥10,解得x≥10.故市場(chǎng)供應(yīng)量P不低于1024時(shí),市場(chǎng)價(jià)格至少為10.10.為了預(yù)防新冠病毒疫情,某學(xué)校對(duì)教室采納藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時(shí)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間x(min)成正比例,藥物燃燒完后滿意y=QUOTE,如圖所示,現(xiàn)測(cè)得藥物8min燃畢,此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6mg,請(qǐng)按題中所供應(yīng)的信息,解答下列各題.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)探討表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時(shí)間不低于10min時(shí)才能有效殺滅空氣中的病毒,那么此次消毒是否有效?為什么?【解析】(1)當(dāng)0≤x≤8時(shí),設(shè)y=λx,代入(8,6),解得λ=QUOTE,所以y=QUOTEx(0≤x≤8).當(dāng)x≥8時(shí),將(8,6)代入y=QUOTE,可得k=48,所以y=QUOTE,所以y=QUOTE(2)當(dāng)x∈[0,8]時(shí),QUOTEx=3,解得x=4,當(dāng)x>8時(shí),QUOTE=3,解得x=16.所以空氣中每立方米的含藥量不低于3mg時(shí)的持續(xù)時(shí)間為16-4=12(min)>10,所以此次消毒有效.1.在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中,小明同學(xué)進(jìn)行了糖塊溶于水的試驗(yàn):將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入肯定量的水中,測(cè)量不同時(shí)刻未溶解糖塊的質(zhì)量,得到若干組數(shù)據(jù),其中在第5分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克.聯(lián)想到教科書中探討“物體冷卻”的問題,小明發(fā)覺可以用指數(shù)型函數(shù)S=ae-kt(a,k是常數(shù))來描述以上糖塊的溶解過程,其中S(單位:克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量.(1)求a的值.(2)求k的值.(3)設(shè)這個(gè)試驗(yàn)中t分鐘末已溶解的糖塊的質(zhì)量為M,請(qǐng)畫出M隨t改變的函數(shù)關(guān)系的草圖,并簡(jiǎn)要描述試驗(yàn)中糖塊的溶解過程.【解析】(1)由題意,t=0,S=a=7.(2)因?yàn)?分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克,所以3.5=7e-5k,解得k=QUOTE.(3)M隨t改變的函數(shù)關(guān)系的草圖如圖所示.溶解過程,隨著時(shí)間的增加,漸漸溶解,溶解的速度越來越慢.2.(2024·上海高一檢測(cè))從金山區(qū)走出去的陳馳博士,在《自然——可持續(xù)性》雜志上發(fā)表的論文中指出:地球正在變綠,中國(guó)通過植樹造林和提高農(nóng)業(yè)效率,在其中起到了主導(dǎo)地位.已知某種樹木的高度fQUOTE(單位:米)與生長(zhǎng)年限t(單位:年,t?N*)滿意如下的邏輯斯蒂函數(shù):fQUOTE=QUOTE,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)該樹栽下的時(shí)刻為0.QUOTE(1)須要經(jīng)過多少年,該樹的高度才能超過5米?(精確到個(gè)位)(2)在第幾年內(nèi),該樹長(zhǎng)高最快?【解析】(1)令fQUOTE=QUOTE>5,解得t>4+2ln5≈7.2,即須要經(jīng)過8年,該樹的高度才能超過5米;(2)當(dāng)t∈N*時(shí),fQUOTE-fQUOTE=QUOTE-QUOTE=Q