數(shù)學課堂導學：8函數(shù)y=Asin：ωxφ的圖象

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1。求y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,頻率,相位及初相【例1】用五點法作出函數(shù)y=2sin（x—)+3的圖象，并指出它的周期、頻率、相位、初相、最值及單調(diào)區(qū)間.思路分析：本題考查y=Asin(ωx+φ）的基本概念，注意辨別初相與相位。解：列表如下：xx-0π2πy35313描點作圖，如下圖：周期T=2π，頻率f==，相位x—，初相-，最大值5，最小值1，單調(diào)減區(qū)間[2kπ+，2kπ+］（k∈Z），單調(diào)增區(qū)間［2kπ-，2kπ+］(k∈Z)。友情提示y=Asin（ωx+φ)+k沿y軸方向平移，所以函數(shù)最值發(fā)生變化。（1）用五點法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ）+k的圖象，五個點應(yīng)是使函數(shù)取得最大值、最小值以及曲線與x軸的交點。（2)用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ)+k的圖象的步驟是:第一步：列表xωx+φ0π2πykA+kkk-Ak注意：由ωx+φ=0、、π、、2π先求出x，再由ωx+φ的值求出y的值.第二步：在同一坐標系中描出各點。第三步：用光滑的曲線連接這些點,而成圖象。各個擊破類題演練1已知函數(shù)y=3sin（2x+).（1）求出它的周期;(2）用“五點法”作出一個周期的簡圖；（3）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：（1)周期為:T==π。（2)列表。2x+0π2πxy030—30描點連線（如下圖）（3）可見在一個周期內(nèi),函數(shù)在［,］上遞減,又因函數(shù)的最小正周期為π，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為［kπ+,kπ+］（k∈Z).同理，增區(qū)間為［kπ-,kπ+］(k∈Z）.變式提升1如右圖,已知y1=Asin(ωx+φ)的一個周期的圖象。（1)寫出y1的解析式；（2)若y2與y1的圖象關(guān)于直線x=2對稱，寫出y2的解析式；（3）指出y2的周期、頻率、振幅和初相。解析：（1）由題圖易知：A=2,T=7—(-1）=8,ω==?！鄖1=2sin(x+φ），將點（-1,0）代入得2sin(-+φ)=0.∴φ=.∴y1=2sin(x+)。（2）作出與y1的圖象關(guān)于直線x=2對稱的圖象，可以看出y2的圖象相當于將y1的圖象向右平移2個單位得到的.∴y2=2sin［（x-2）+］=2sin（x—）.（3)由(2)知，y2的周期T==8，頻率f=，振幅A=2,初相φ=—。2.由y=sinx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)以及由y=cosx到y(tǒng)=Acos（ωx+φ)的圖象變換【例2】要得到函數(shù)y=sin（2x-)的圖象,只要將y=sinx的圖象（）A.先把每個x的值擴大4倍，y值不變，再向右平移個單位B.先把每個x的值縮小4倍，y值不變，再向左平移個單位C.先把每個x的值擴大4倍，y值不變，再向左平移個單位D。先把每個x的值縮小4倍,y值不變，再向右平移個單位解析：x→2x，先縮小4倍，又∵-＜0,∴右移=。答案：D友情提示y=sinx變換成y=sin2x是把每個x值縮小4倍,有的同學錯認為是擴大4倍，這樣就錯選A或C；再把y=sin2x變換成y=sin(2x—),即變?yōu)閥=sin2（x—），則應(yīng)當向右平移，有的同學認為是平移,這樣導致錯選A或B；也有的同學左右平移方向搞錯，導致出錯.類題演練2作出函數(shù)y=3cos(2x—）的圖象,并說明這個圖象可以由y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到?解析：①列出五個關(guān)鍵點如下:2x-0π2πxy30-30②描點作圖.③以π為周期把所得圖象向左，右擴展，得y=3cos（2x—）的圖象。這個圖象可以由y=cosx的圖象先向右平移個單位，再將圖象上每一點的橫坐標壓縮到原來的，每一點的縱坐標伸長到原來的3倍而得到。變式提升2使函數(shù)y=f(x)圖象上每一點的縱坐標保持不變，橫坐標縮小到原來的倍,然后再將其圖象沿x軸向左平移個單位得到的曲線與y=sin2x的圖象相同,則f(x)的表達式為（）A。y=sin(4x—）B.y=sin(x-）C。y=sin(4x+）D.y=sin（x-）解析：據(jù)題意,y=sin2xy=sin2（x-)=sin(2x-)y=sin（x—)。答案:D3.根據(jù)圖象寫出函數(shù)的解析式【例3】如下圖所示，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A〉0,ω>0）的圖象上相鄰的最高點與最低點的坐標分別為（，3）和(,-3）。求該函數(shù)的解析式.思路分析：根據(jù)相鄰的最高點與最低點確定從而確定ω;由點的坐標滿足圖象解析式，代入得出φ。解：依題意知A=3，設(shè)最小正周期為T,則=，∴T=π，又T=，∴ω=2?！嗪瘮?shù)解析式為y=3sin(2x+φ).∵點（，3)在圖象上,∴3=3sin(2×+φ）sin（+φ)=1.+φ=2kπ+φ=2kπ—，k∈Z。∴y=3sin（2x+2kπ-）.故y=3sin（2x—)為所求。友情提示這類問題的求解難點是φ的確定,除以上方法外,常用移軸方法：做平移，使移軸公式為x=x′+,y=y′，則易知函數(shù)在新坐標系中的方程是y′=3sin2x′,而x′=x—.∴所求函數(shù)y=3sin[2（x-）］,而平移時,方向與符號易出錯。類題演練3如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足y=Asin（ωx+φ）+b,(1）求這段時間的最大溫差;（2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.解析:（1)20°。（2）A=10，b=20。∵=14—6=8,∴T=16?！?6=，∴ω=.∴y=10sin(x+φ）+20.由五點法知，10sin（×6+φ)+20=10.即×6+φ=，∴φ=?！鄖=10sin(x+)+20,x∈［6,14].變式提升3如右圖,它是函數(shù)y=Asin(ωx+φ）（A〉0，ω>0）,|φ｜〈π的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù),