江蘇省連云港市2024-2025學年高三上學期期中考試 數(shù)學 含解析

江蘇省連云港市2024-2025學年高三上學期期中調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效．3.本卷滿分150分，考試時間120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合B中的絕對值不等式，再利用交集運算即可求解.【詳解】因為，即，整理得，因此，集合，所以.故選：A.2.設復數(shù)，若，則的值為（）A. B.-2 C. D.-8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法，結(jié)合實數(shù)與復數(shù)的概念，可得答案.【詳解】，由題意可得，解得.故選：B.3.設，若函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由判斷出0<a<1，得到函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，從而解出答案.【詳解】，指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即0<a<1.函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).由得，解得.故選：A4.已知公差不為0的等差數(shù)列的第3，6，10項依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意設出等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比，利用各自通項公式建立方程組，可得答案.【詳解】設等差數(shù)列，公差為，由題意可知成等比數(shù)列，設公比為，則，可得，兩式作比可得，解得.故選：C5.設，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，，則，因為，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.6.若為方程的兩個根，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由韋達定理可得，，進而可得，進而切化弦即可得結(jié)果.【詳解】因為是方程的兩根，則，，且，則，可得，所以.故選：D.7.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分類討論的符號，結(jié)合充要條件的等價性分析判斷.【詳解】當時，則，即，等價于，等價于，即；當時，則不成立，也不成立；當時，則，即成立，等價于，即；當時，則，即，等價于，等價于，即；綜上所述：“”是“”的充要條件.故選：C.8.設P，A，B，C是球表面上的四個點，PA，PB，PC兩兩垂直，球的體積為，二面角的大小為，則三棱錐的體積為（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】把三棱錐補成一個長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體的對角線就是其外接球的直徑，由此求得，即得，作，垂足為，連接，是二面角的平面角，，從而可得，即得，再由體積公式可得結(jié)論．【詳解】∵PA，PB，PC兩兩垂直，所以可以把三棱錐補成一個長方體，如圖，是該長方體同一頂點處的三條棱，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體的對角線就是其外接球的直徑，由得，所以，作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，同理，又，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，由得，而，又，所以，所以，，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線m，l，平面，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A：根據(jù)面面平行傳遞性即可判斷；對于B：根據(jù)線性的位置關(guān)系即可判斷；對于CD：根據(jù)線面平行的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于A：若，則，故A正確；對于B：若，則的位置關(guān)系有：平行、相交或異面；故B錯誤；對于C：若，則，故C正確；對于D：若，則，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，將的部分圖象沿軸折成直二面角（如圖所示），若，則（）A.B.C.將的圖象向左平移2個單位即可得到函數(shù)的圖象D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】AB【解析】【分析】由解析式得周期，結(jié)合圖象可得，借助向量加法與數(shù)量積的運算表達.A項，由已知可待定系數(shù)；B項，代入坐標，結(jié)合函數(shù)軸附近函數(shù)單調(diào)性，利用待定；C項由平移可求解析式；D項利用降冪公式化簡解析式，再利用整體角范圍求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】如圖，過作軸，垂足為，過作軸，垂足為.由題意可知平面平面，平面平面，又平面，則平面，平面，則，則，故，由，則的周期，A項，由圖象可知，所以，由，解得；B項，由A項可知，.則，因為圖象經(jīng)過點，即，.，或.由函數(shù)圖象可知，則，所以，故B正確；C項，由AB可知，，即將的圖象向左平移2個單位即可得到函數(shù)的圖象，，故C錯誤；D項，.由，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D錯誤.故選：AB.11.在中，點在邊BC上，為AC的中點，BE與AD交于.則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)線性運算可得求，即可判斷；對于B：根據(jù)數(shù)量積運算可得，即可判斷；對于C：根據(jù)三點共線的結(jié)論可得，即可得結(jié)果；對于D：可得，結(jié)合數(shù)量積運算求解即可.【詳解】對于選項A：因為，故A錯誤；對于選項B：若，且，因為，可知，即，故B正確；對于選項C：設，又因為三點共線，則，可得，解得，即，所以，故C正確；對于選項D：因為，則，即，可得，且，即，解得，且，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)根號下大于等于0得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則其定義域為.故答案為：.13.若，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】利用這個等式來求解與正切函數(shù)相關(guān)的比值。解題的關(guān)鍵在于將已知條件利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為所求表達式的形式.【詳解】由得：，所以化簡得到：，所以；所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將給定的條件與所求表達式聯(lián)系起來，通過正弦和正切的性質(zhì)以及和差化積的公式，最終化簡求解。這一過程體現(xiàn)了數(shù)學解題中轉(zhuǎn)化和化歸的思想，即通過一系列的數(shù)學變換，將復雜問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的問題，從而求解。在解決這類問題時，熟悉和靈活運用三角恒等變換公式是非常重要的.14.若直線是曲線的切線，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線方程，對照條件求得，，則，構(gòu)造函數(shù)，利用求導求得其最小值即可.【詳解】由求導得：，設切點為，則，①，切線方程為，即，由題意，，②，將①代入②，可得：，于是，.設，則，因，則，由，解得，故當時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在上單調(diào)遞增.故當時，函數(shù)取得最小值，即，從而的最小值是.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題主要考查導數(shù)的幾何意義和導數(shù)在函數(shù)的最值上的應用，屬于難題.對于已知函數(shù)的切線方程求參問題，一般先設切點，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，對照系數(shù)求得參數(shù)；對于求函數(shù)的最值問題，一般通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性即得最值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角，，的對邊分別是，，，且，，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡即可；（2）法1由余弦定理解出，再由正弦定理和比例關(guān)系求解即可；法2由正弦定理和同角的三角函數(shù)以及兩角和的正弦展開求解即可；【小問1詳解】在中，因為，，所以由正弦定理得，由，所以，得，因為為三角形內(nèi)角，所以.【小問2詳解】法1：由余弦定理得，所以.正弦定理得，所以.法2：因為，，，所以由正弦定理得，由知，則為銳角，所以，，所以.16.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求和：.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系，再由等比數(shù)列的定義得證；（2）用錯位相減法求和．【小問1詳解】時，，有，又時，，有，所以數(shù)列是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）得數(shù)列的通項公式，設則①②①②得：.17.已知橢圓經(jīng)過點和點.（1）求橢圓離心率；（2）過橢圓的右焦點的直線交橢圓于M，N兩點（點在軸的上方），且，若的面積為，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用橢圓上的點求出，可求橢圓的離心率；（2）設出直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理和的面積求出的值，再利用韋達定理和求出的值.【小問1詳解】由橢圓過知，將代入方程，得，求得，則．所以橢圓的離心率.【小問2詳解】由（1）知橢圓的標準方程為，F(xiàn)1,0,當直線的傾斜角為0時，B、M、N共線，不合題意．當直線的傾斜角不為0時，設.得，有，的面積為，由的面積為，知，解得.由，知．當時，，得解得或.同理，當時，或．綜上，或.【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．18.在四棱錐中，，，，.（1）如圖1，在側(cè)面內(nèi)能否作一條線段，使其與平行？如果能，請寫出作圖過程并給出證明；如果不能，請說明理由；（2）如圖2，若平面，證明：平面；（3）在（2）的條件下，E為棱上的點，二面角的大小為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）不能，理由見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用反證法，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，可得答案；（2）根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合佘弦定理與勾股定理，可得答案；（3）由題意建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用面面角與線線角的向量公式，可得答案.【小問1詳解】不能.假設在側(cè)面內(nèi)存在直線與平行，可得與側(cè)面平行.依據(jù)線面平行性質(zhì)定理，可得與平行，這與已知條件矛盾.【小問2詳解】在底面中，，所以，又，，由余弦定理得，所以，得因為平面平面，所以．又，平面，所以平面.【小問3詳解】過點作直線垂直平面，以為原點，分別為x，y軸正方向，為軸，向上為正方向建立空間直角坐標系.則，因為為棱上的點，設，取，設平面的法向量為，則，令得，則平面BDE的一個法向量為，因為平面，所以為平面的法向量，因為二面角的大小為，所以，得.則，設直線BE與PC所成角為，則，所以異面直線BE與PC所成角的余弦值為.19.已知函數(shù)，其中.（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）當時，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并證明；（3）若，且，證明：.【答案】（1）（2）兩個，證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）分析的單調(diào)性，然后確定出最小值；（2）分類討論在和上的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在性定理判斷零點個數(shù)；（3）先根據(jù)極值點偏移的證明思路先證明，再結(jié)合范圍通過轉(zhuǎn)化法證明，由此可證明不等式.【小問1詳解】的定義域為，，由，得增區(qū)間為，得減區(qū)間為，故在處取得最小值．【小問2詳解】因為，故，由的定義域為，當時，f′x<0，當時，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在單調(diào)遞減，且圖象在上連續(xù)不斷，所以在上有且只有一個零點．下面證明，令，又，當單調(diào)遞減，故，故，由在單調(diào)遞增，且圖象在上連續(xù)不斷，所以在上有且只有一個零點．綜上，函數(shù)在上有個零點．【小問3詳解】先證，由在遞減，在遞增，時，不妨設，令，則，故在遞增，則有，即，有，則有，又，且在遞增，故有，則有成立；再證，由上可得，得，則有，，要證，即證，