2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE課時(shí)作業(yè)16空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底．當(dāng){a，b，c}為基底時(shí)，肯定有a，b，c為非零向量．因此pD?/q，q?p.答案：B2．已知A(1,2，－1)關(guān)于平面xOy的對稱點(diǎn)為B，而B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，則eq\o(BC,\s\up13(→))＝()A．(0,4,2)B．(0,4,0)C．(0，－4，－2)D．(2,0，－2)解析：易知B(1,2,1)，C(1，－2，－1)，所以eq\o(BC,\s\up13(→))＝(0，－4，－2)．答案：C3．已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是()A．2aB．2C．2a＋3bD．2a解析：由于{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，所以a，b，c不共面，在四個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)D與p，q不共面，因此，2a＋5c與p，答案：D4．已知空間四邊形OABC，其對角線為AC，OB，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，則eq\o(OG,\s\up13(→))等于()A.eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up13(→))B.eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))C.eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))D.eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up13(→))解析：如圖，eq\o(OG,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\o(ON,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))．答案：B5．已知點(diǎn)A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,10,12)D．(4,2,3)解析：設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)的向量為eq\o(OA,\s\up13(→))，則eq\o(OA,\s\up13(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)．故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．設(shè){e1，e2，e3}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a，b的坐標(biāo)分別為________．解析：由于{e1，e2，e3}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)7．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up13(→))＝c，則eq\o(DE,\s\up13(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：取BC中點(diǎn)為F，連EF，AF，則EF綊eq\f(1,2)BB1，又AD綊eq\f(1,2)BB1，所以EF綊AD，所以四邊形ADEF為平行四邊形，所以DE綊AF，所以eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up13(→))＋λeq\o(A1D,\s\up13(→))＝0(λ∈R)，則λ＝________.解析：如圖，連接A1C1，C1D則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D易知EF綊eq\f(1,2)A1D，∴eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up13(→))，即eq\o(EF,\s\up13(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up13(→))＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別以射線OB，OC，AA1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．試寫出正方體頂點(diǎn)A1，B1，C1，D1解析：設(shè)i，j，k分別是與x軸，y軸，z軸的正方向方向相同的單位基向量．因?yàn)榈酌嬲叫蔚闹行臑镺，邊長為2，所以O(shè)B＝eq\r(2).由于點(diǎn)B在x軸的正半軸上，所以eq\o(OB,\s\up13(→))＝eq\r(2)i，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(eq\r(2)，0,0)．同理可得C(0，eq\r(2)，0)，D(－eq\r(2)，0,0)，A(0，－eq\r(2)，0)．又eq\o(OB1,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(BB1,\s\up13(→))＝eq\r(2)i＋2k，所以eq\o(OB1,\s\up13(→))＝(eq\r(2)，0,2)．即點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(eq\r(2)，0,2)．同理可得C1(0，eq\r(2)，2)，D1(－eq\r(2)，0,2)，A1(0，－eq\r(2)，2)．10．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up13(→))＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up13(→))，eq\o(EF,\s\up13(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up13(→))＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值．解析：(1)如圖，eq\o(D1B,\s\up13(→))＝eq\o(D1D,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝－eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(EA,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)eq\o(D1F,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up13(→))＋eq\o(D1B,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(D1B,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.|實(shí)力提升|(20分鐘，40分)11．已知向量{a，b，c}是空間的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空間的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1,2,3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，3))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2)，\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))解析：依題意，p＝a＋2b＋3c設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝3，))即向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3)).故選B.答案：B12．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．給出下列向量組：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的基底的向量組有________個(gè)．解析：如圖所設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up13(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up13(→))，c＝eq\o(AD,\s\up13(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up13(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up13(→))，z＝eq\o(AC,\s\up13(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up13(→)).由A，B1，D，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作為基底．答案：313．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且AB＝AP＝1，分別以eq\o(DA,\s\up13(→))，eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AP,\s\up13(→))為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求eq\o(MN,\s\up13(→))，eq\o(DC,\s\up13(→))的坐標(biāo)．解析：設(shè)eq\o(DA,\s\up13(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up13(→))＝e2，eq\o(AP,\s\up13(→))＝e3，則eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＝e2，eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＋eq\o(PN,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→)))＝－eq\f(1,2)e2＋e3＋eq\f(1,2)(－e3－e1＋e2)＝－eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2，∴eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DA,\s\up13(→))＝(0,1,0)．14．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)