2024-2025學年高中數學第一章數列1.4數列在日常經濟生活中的應用學案含解析北師大版必修5

PAGE§4數列在日常經濟生活中的應用內容標準學科素養(yǎng)1.駕馭單利、復利的概念和區(qū)分及它們本利和的計算公式.2.駕馭零存整取模型、定期自動轉存模型、分期付款模型的本質特點，并學會應用.抽象數學模型提升數學運算完善解答規(guī)范授課提示：對應學生用書第29頁[基礎相識]學問點一單利和復利預習教材P32－35，思索并完成以下問題1．在《白毛女》中，楊白勞借了黃世仁“一石五斗租子，二十五塊錢驢打滾的賬”，結果恒久也還不上，這里的“驢打滾的賬”，你知道是怎么回事嗎？現實生活中我們銀行又是采納怎樣的計息方式呢？提示：“驢打滾”問題事實上是利滾利問題，本利越滾越多，所以恒久還不上，與銀行中的復利問題相像．2．若本金為P，存期為n，利率為r，單利和復利計息方式在每一次計息時，本金上有什么區(qū)分？提示：單利計息時，不管哪一次計算利息，本金恒久是P；而復利計息時，本金每一期都不同，1個存期過后，計息時本金是P(1＋r)，2個存期過后，重新計息時本金是P(1＋r)2，3個存期過后，再計息時本金是P(1＋r)3，…，n個存期過后，再重新計息時本金為P(1＋r)n.3．若本金為1000，存期為1年，月利率為0.3%，分別按單利和復利計息方式，到期時的本利和各是多少？提示：單利到期時，本利和為1000(1＋12×0.3%)；復利到期時，本利和為1000(1＋0.3%)12.學問梳理1.單利單利的計算是僅在原有本金上計算利息，對本金所產生的利息不再計算利息，以符號P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金與利息和(以下簡稱本利和)，則有S＝P(1＋nr)．2．復利把上期末的本利和作為下一期的本金，在計算時每一期本金的數額是不同的，復利的計算公式是S＝P(1＋r)n．學問點二三種數列模型的應用思索并完成以下問題1．某高校張教授年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行貸款的年利息為10%，按復利計算(即本年的利息計入次年的本金生息)．若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初起先歸還，則每年應還多少元．提示：設每年還款x元，需10年還清，那么各年還款利息狀況如下：第10年付款x元，這次還款后欠款全部還清；第9年付款x元，過1年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(1＋10%)元；第8年付款x元，過2年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(1＋10%)2元；…第1年付款x元，過9年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(1＋10%)9元．依題意得：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20000(1＋10%)10.解得x＝eq\f(20000×1.110×0.1,1.110－1)≈3255(元)．2．“零存整取型”，存期n，每一次存款到期后的利息構成什么數列？到期后，每一次存款的本利和構成什么數列？提示：每一次存款到期后的利息構成等差數列，每一次存款的本利和也構成等差數列．3．“定期自動轉存模型”，到期后，每一次存款的本利和構成什么數列？提示：到期后每一次存款的本利和構成等比數列．4．通過對分期付款模型的應用，你能說出“分期付款模型”中的利息計算是單利還是復利嗎？提示：在分期付款中，每還一次款，“沒有還清的錢”都依據復利重新計算利息．學問梳理1.零存整取零存整取，即每月定時存入一筆相同數目的現金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取，若每月存入本金為P元，每月利率為r，存期為n個月，則到約定日期后S＝P(1＋nr)．2．定期自動轉存假如儲戶存入定期為1年的P元存款，定期年利率為r，連存n年后，再取出本利和，這種存款方式稱為定期自動轉存．n年后，本利和為S＝P(1＋r)n．3．分期付款問題貸款a元，分m個月將款全部付清，月利率為r，各月所付款額到貸款全部付清時也會產生利息，同樣按月以復利計算，那么每月付款金額為eq\f(ar（1＋r）m,（1＋r）m－1)．[自我檢測]1．按活期存入銀行1000元，年利率是0.72%，那么依據單利，第5年末的本利和是()A．1036元 B．1028元C．1043元 D．1026元解析：第五年末的本利和是1000＋1000×0.72%×5＝1000＋36＝1036.答案：A2．按復利計算，存入一筆5萬元的三年定期存款，年利率為4%，則3年后支取可獲得利息為()A．(5×0.04)3萬元 B．5(1＋0.04)3萬元C．3×(5×0.04)萬元 D．[5(1＋0.04)3－5]萬元解析：3年后的本利和為5×(1＋0.04)3萬元，利息為[5×(1＋0.04)3－5]萬元．答案：D3．某人從2024年起，每年7月1日到銀行新存入a元一年定期，若年利率r保持不變，且每年到期存款自動轉為新的一年定期，到2024年7月1日，將全部的存款及利息全部取回，他可取回的總金額是________元．解析：這是“定期自動轉存模型”，從2024年(作為第一年)起，每一年存款的本利和構成等比數列：a(1＋r)7，a(1＋r)6，a(1＋r)3，…，a(1＋r)，所以他可取回的總金額是a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋a(1＋r)5＋…＋a(1＋r)＝eq\f(a（1＋r）8－a（1＋r）,r).答案：eq\f(a（1＋r）8－a（1＋r）,r)授課提示：對應學生用書第30頁探究一等差等比數列模型[閱讀教材P32－33例1例2及解答]題型：等差、等比數列模型方法步驟：①確定數列類型；②明確數列基本量；③進行數列運算；④回來還原到實際問題．[例1]在美國廣為流傳的一道教學題目是：老板給你兩種嘉獎的方案，一是每年末在上一次嘉獎的基礎上再加1000元；二是每半年結束時在上一次嘉獎的基礎上再加300元，請你選擇一種，一般不擅長數學的，很簡潔選擇前者．依據以上材料，解答下列問題：(1)假如在公司連續(xù)工作10年，問選擇哪一種方案獲得的嘉獎多？多多少元？(2)假如其次種方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，問a取何值時選擇其次種方案總是比第一種方案多獲得嘉獎？[解題指南]把實際問題轉化為數學模型，解答本題(1)可分別依據兩種方案計算出嘉獎的數量，進而比較得出結果．(2)據條件列出不等式，化簡后，再轉化為函數的最值(或恒成立)問題，求解可得．[解析](1)第10年的年末，依第一種方案構成首項為1000，公差為1000的等差數列，故可得1000×(1＋2＋…＋10)＝1000×eq\f(10（10＋1）,2)＝55000(元)．依其次種方案，則構成首項為300，公差為300的等差數列，可得300×(1＋2＋…＋20)＝300×eq\f(20（20＋1）,2)＝63000(元)．因為63000－55000＝8000(元)，所以在該公司干10年，選擇其次種方案比第一種方案獲得的嘉獎多，多8000元．(2)第n年年末，依第一種方案，可得1000×(1＋2＋…＋n)＝1000·eq\f(n（n＋1）,2)＝500n(n＋1)．依其次種方案，可得a·(1＋2＋3＋…＋2n)＝a·eq\f(2n（2n＋1）,2)＝an(2n＋1)．據題意，an(2n＋1)＞500n(n＋1)對全部正整數n恒成立，即a＞eq\f(500（n＋1）,2n＋1)＝250＋eq\f(250,2n＋1)對全部正整數n恒成立，只需a＞250＋eq\f(250,3)＝eq\f(1000,3).所以，當a＞eq\f(1000,3)時，選擇其次種方案總是比第一種方案多獲得嘉獎．方法技巧等差數列和等比數列模型的應用(1)在解以數列為數學模型的應用題時，要選擇好探討對象，即選擇好以“哪一個量”作為數列的“項”，并確定好以哪一時刻的量為第一項；對較簡潔的問題可干脆找尋“項”與“項數”的關系，對較困難的問題可先探討前后項之間的關系(即數列的遞推關系)，然后再求通項．(2)解決數列應用問題首先要把實際問題抽象為數列問題，然后應用數列學問來分析、求解，最終回到實際問題中去作答．其中第一步是解題的關鍵，通常從以下角度分析：①哪些量具備數列特征．②把要求解的量一步一步分析，得到這些量構成數列的性質．③用通項公式或遞推公式描述這些量的改變規(guī)律．(3)解數列應用題的思路方法如圖所示．跟蹤探究1.某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案；每年貸款1萬元，每一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的運用期都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行兩種形式的貨款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？(取1.0510＝1.629，1.310＝13.786，1.510＝57.665)．解析：方案甲：十年獲利中，每年獲利數構成等比數列，首項為1，公比為1＋30%，前10項和為S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9.所以S10＝eq\f(1.310－1,1.3－1)≈42.62(萬元)．又貸款本息總數為10(1＋5%)10＝10×1.0510≈16.29(萬元)，甲方案凈獲利42．62－16.29≈26.34(萬元)．乙方案獲利構成等差數列，首項為1，公差為eq\f(1,2)，前10項和為T10＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝eq\f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32.50(萬元)，而貸款本息總數為1．1×[1＋(1＋5%)＋…＋(1＋5%)9]＝1.1×eq\f(1.0510－1,1.05－1)≈13.21(萬元)，乙方案凈獲利32．50－13.21≈19.29(萬元)．比較兩方案可得甲方案獲利較多．探究二復利計算的應用[例2]某家庭準備10年以后新買一套住房，確定以一年定期的方式存款，安排從2012年起每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復利計算，到2024年初將全部存款和利息全部取出，則這個家庭共取回多少元？[解題指南]從2012年年初起，到2024年初取出為止，每一年求存款的本利和構成數列{an}，這是求數列{an}的前8項和．[解析]設從2012年年初到2024年年初的本利和組成數列{an}，到2024年為止，把2012年末存款的本利和看作a1，則2024年末存款的本利和為an，則a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…，an＝a(1＋p)n＋a(1＋p)n－1＋…＋a(1＋p)＝eq\f(1,p)a(1＋p)n＋1－eq\f(1,p)a(1＋p)(1≤n≤8)，所以這個家庭應取出的錢數為S8＝a(1＋p)＋[a(1＋p)2＋a(1＋p)]＋…＋[a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)]＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）2－\f(1,p)a（1＋p）))＋eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）3－))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）9－\f(1,p)a（1＋p）))＝eq\f(\f(1,p)a（1＋p）2[1－（1＋p）8],1－（1＋p）)－eq\f(8,p)a(1＋p)＝eq\f(1,p2)a(1＋p)10－eq\f(a,p2)(1＋p)2－eq\f(8,p)a(1＋p)．方法技巧復利計算的關鍵復利計算利息時，每一次求解，本金都在改變，抓住關鍵：上一年存款的利息作為本金在下一年要計算利息，每一年的本利和組成等比數列，依據等比數列前n項和公式求出最終的本利和．跟蹤探究2.某煤礦從起先建設到出煤共需5年，每年國家投資100萬元，假如按年利率為10%來考慮，那么到出煤時，國家實際投資總額是________萬元(精確到0.001)．解析：第五年投資本利和是100(1＋10%)萬元，第四年投資的本利和是100(1＋10%)2萬元，……第一年投資的本利和是100(1＋10%)5萬元，所以{an}是以a1＝100(1＋10%)為首項，q＝1＋10%為公比的等比數列，到出煤時，國家實際投資總額是：S8＝100×1.1×eq\f(1.15－1,1.1－1)＝671.561(萬元)．答案：671.561探究三分期付款問題[閱讀教材P34例3及解答]題型：分期付款模型方法步驟：①設每期還款x元．②計算第k個月末還款后的本利欠款數Ak元．③還清時A12＝0.計算出x.④回答實際問題．[例3]已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a(單位：m2)，其中有部分舊住房須要拆除．當地有關部門確定每年以當年年初住房面積的10%建設新住房，同時也拆除面積為b(單位：m2)的舊住房．(1)分別寫出第一年末和其次年末的實際住房面積的表達式．(2)假如第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？(計算時取1.15＝1.6)[解題指南](1)由題意，設第n年末實際住房面積為an，則an＝1.1an－1－b且a1＝1.1a－b(m2(2)由an＝1.1an－1－b求出a5，結合題意建立方程即可解得．[解析]設第n年末實際住房面積為an(n∈N＋)．(1)由題意，得a1＝1.1a－b(m3a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12ba4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b，a5＝1.1a4－b＝1.1(1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－＝1.15a－1.14b－1.13b－1.12b－1.1b－b＝1.6a－eq\f(b（1－1.15）,1－1.1)＝1.6a－6b，由題意1.6a－6b＝1.3a，解得b＝eq\f(a,20)，所以每年拆除的舊住房面積為eq\f(a,20)m2.延長探究本例中，條件不變，求“第n年末的實際住房面積的表達式”．解析：由以上分析知：第n年末的實際住房面積an＝1.1na－1.1n－1b－1.1n－2b－…－1.1b－b＝1.1na－eq\f(b（1－1.1n）,1－1.1)＝1.1na－10b(1.1n－1)．方法技巧常見的分期付款問題的計算方法方法一：以“商品購買后n年貸款全部付清時，其商品售價增值多少和所付貸款增值多少”兩條線列式計算．方法二：干脆以“顧客所欠貸款”為主線，求出每期應付款多少，總共應付款多少．跟蹤探究3.用分期付款的方式購買價格為25萬元的住房一套，假如購買時先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息．簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完后為止，商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實際共付多少元？解析：購買時先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款組成數列{an}；則a1＝2＋(25－5)·10%＝4(萬元)a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(萬元)a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(萬元)．…an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(n－1,5)))(萬元)(n＝1，2，…，10)．因而數列{an}是首項為4，公差為－eq\f(1,5)的等差數列，a5＝4－eq\f(5－1,5)＝3.2(萬元)．S10＝10×4＋eq\f(10×（10－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))),2)＝31(萬元)．因此，第5年該付3.2萬元，購房款全部付清后實際共付36萬元.授課提示：對應學生用書第31頁[課后小結]數列應用要留意的兩個問題(1)數列應用問題的常見模型①一般地，假如增加(或削減)的量是一個固定的詳細量時，那么該模型是等差模型，增加(或削減)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d為常數)．②假如增加(或削減)的百分比是一個固定的數時，那么該模型是等比模型．③假如簡潔找到該數列隨意一項an＋1與它的前一項an(或前幾項)間的遞推關系式，那么我們可以用遞推數列的學問求解問題．(2)數列綜合應用