江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué) 含答案

2024年秋學(xué)期高二期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷2024.11注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出斜率，從而可求傾斜角.詳解】，故傾斜角30°，故選：A2.如果拋物線y2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.（1,0） B.（2,0） C.（3,0） D.（－1,0）【答案】A【解析】【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選A．3.雙曲線實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本量的關(guān)系可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】雙曲線方程可化為：，其中，因?yàn)閷?shí)軸長是虛軸長的2倍，故，故，故選：D.4.已知圓關(guān)于直線對稱，則圓C中以為中點(diǎn)的弦長為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線過圓心求出，再求出弦心距后可求弦長.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故，半徑，故即，以即為中點(diǎn)的弦，與垂直，而，故弦長為：，故選：D5.過拋物線焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若直線l的傾斜角為，則的值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)后可求的值.【詳解】設(shè)，，由題設(shè)因?yàn)橹本€l的傾斜角為，故，由可得，解得或，故，，故，故選：C.6.如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A7.已知，分別是雙曲線（a，）的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，線段的垂直平分線交雙曲線于點(diǎn)P，其中，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理、離心率的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，設(shè)線段的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為B，不妨設(shè)P在第一象限，則，，再由勾股定理得：，所以，等式兩邊同除以整理可得得或舍去故選：C8.設(shè)直線l：，圓C：，若在圓C上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線l上存在點(diǎn)M，使，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離的范圍問題求解.【詳解】圓：，所以，圓的半徑為：.“在圓C上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線l上存在點(diǎn)M，使”可轉(zhuǎn)化為“圓心到直線的距離不大于2”.由.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線，，則（）A.當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第一象限 B.充要條件是C.若，則或 D.恒過點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】利用反證法可判斷A的正誤，利用平行或垂直的判斷方法可判斷BC的正誤，求出過的定點(diǎn)后可判斷D的正誤.【詳解】對于A，若過第一象限的點(diǎn)，則，且，但故，矛盾，故不過第一象限，故A正確；對于B，若，則，故或，由直線可得，而當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別為：，，此時(shí)兩條直線平行，符合，反之，也成立，故的充要條件為，故B正確；對于C，若，，故或，但不為零，故C錯(cuò)誤；對于D，直線可化為：，由可得，即直線過定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AB10.某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面n千米，并且F、A、B三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a、2b、2c，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】由題設(shè)，，所以，，故AB正確，C錯(cuò)誤，而，故D正確.故選：ABD.11.已知F、為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，直線l：（）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，軸，垂足為E，BE與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則（）A.四邊形周長為8 B.的最小值為C.直線BE的斜率為2k D.【答案】ABD【解析】【分析】由橢圓的定義判斷A，結(jié)合基本不等式求得最小值判斷B，設(shè)，得出坐標(biāo)，求出斜率判斷C，由直線與橢圓相交求得點(diǎn)坐標(biāo)后根據(jù)斜率即可判斷D．【詳解】由已知，，A正確；，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，B正確；設(shè)，則，，，則，C錯(cuò)；直線方程為，由，消去得，顯然是此方程的一個(gè)解，則，，因此，，，所以與垂直，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與橢圓相交問題，常常設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，如果直線方程是以直線與橢圓相交的一個(gè)點(diǎn)為基礎(chǔ)得出的方程，那么該點(diǎn)的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）就是相應(yīng)一元二次方程的一個(gè)解，從而利用韋達(dá)定理易求得另一解．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線l：對稱，則的值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系和中點(diǎn)在直線上可求，從而可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，而中點(diǎn)為，故，所以，所以，故答案為：.13.已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足直線斜率之積為，則的最小值為________．【答案】-7【解析】【分析】先求出的軌跡方程，再結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式可求最小值.【詳解】設(shè)Px,y，則，故，整理得到：，而故，而，故，故答案為：-714.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為圓，設(shè)其圓心為，已知直線：經(jīng)過定點(diǎn)，則的面積的最大值為________．【答案】【解析】【分析】求出的軌跡和定點(diǎn)后可求的面積的最大值.【詳解】設(shè)Px,y，則，整理得到：，故，軌跡圓的半徑為，直線可化為，故直線過定點(diǎn)，中，邊上的高的最大值為軌跡圓的半徑，而，故面積的最大值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線的方程為，若直線過點(diǎn)，且．（1）求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且在x軸上截距是在y軸上的截距的，求直線的方程．【答案】（1）2,1（2）或【解析】【分析】（1）先求直線的方程，聯(lián)立，的方程，解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo).（2）設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，利用直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的數(shù)量關(guān)系列方程，可求斜率，得到直線的方程.【小問1詳解】經(jīng)過點(diǎn)且與垂直的直線為：：，即.由.所以直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：2,1.【小問2詳解】因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸都相交，故斜率一定存在且不為0.設(shè)：.交軸于點(diǎn)：，交軸于點(diǎn)：.由或.所以的方程為：或.16.已知圓：，圓：（），直線：，：．（1）若圓與圓相內(nèi)切，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，被圓所截得的弦的長度之比為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)半徑與圓心距的關(guān)系可求實(shí)數(shù)的值.（2）根據(jù)弦長的長度之比可得關(guān)于的方程，從而可求實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】由題設(shè)可得，，因?yàn)閳A與圓相內(nèi)切，故，其中，解得.【小問2詳解】到的距離為，到的距離為，故，解得.17.已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為2．（1）求雙曲線方程；（2）過點(diǎn)（的直線與雙曲線左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線及焦點(diǎn)到漸近線的距離可求基本量，從而可求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后結(jié)合韋達(dá)定理可用表示的坐標(biāo)，從而可求其軌跡.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線漸近線的方程為：，則，而焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，故（為半焦距），故，故，故雙曲線方程為：.【小問2詳解】由題設(shè)可得的斜率必定存在，設(shè)直線，，由可得，因?yàn)橹本€與雙曲線左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，故，故，又，而，因，故，所以，故，故，代入后可得，因?yàn)?，故，故的軌跡方程為：.18.如圖，已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)F，且經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作于D，且，證明：存在定點(diǎn)Q，使得DQ為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由拋物線定義有求，由在拋物線上求m即可得的坐標(biāo).（2）令，，，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，根據(jù)及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求k、n數(shù)量關(guān)系，確定所過定點(diǎn)，再由易知在以為直徑的圓上，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由拋物線定義知：，則，故，又在拋物線上，則，可得，故.【小問2詳解】設(shè)，，由（1）知：，所以，，又，故，所以，因?yàn)榈男甭什粸榱?，故設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，且，所以，，則，，綜上，，當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)，即共線，不合題意；所以直線過定點(diǎn)，又，故在以為直徑的圓上，而中點(diǎn)為，即為定值，得證.19.《文心雕龍》有語：“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成雙成對的．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（）．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線H，若某條直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“齊備直線”．（1）若，求曲線H的方程；（2）若“齊備直線”：與曲線H相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為曲線H上不同于A，B的一點(diǎn)，且直線MA，MB的斜率分別為，，試判斷是否存在λ，使得取得最小值？說明理由；（3）若，與曲線H有公共點(diǎn)N的“齊備直線”與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且N為線段ST的中點(diǎn)，求證：直線與曲線H有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．【答案】（1）（2）存在使得取得最小值4，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）把點(diǎn)滿足的條件用坐標(biāo)表示出來，整理化簡即可；（2）把點(diǎn)滿足的條件用坐標(biāo)表示出來整理可得的方程，利用兩點(diǎn)表示斜率公式求出，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解；（3）由（2）得曲線：，設(shè)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，求出的關(guān)系，聯(lián)立雙曲線方程，整理化簡可得一元二次方程，利用即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，定直線：，比值：.設(shè)，則點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為，即，兩邊平方，整理得：，即為曲線的方程.【小問2詳解】因?yàn)閯狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（），所以，整理得，即，即為曲線的方程.設(shè)，則，，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，所以存在使得取得最小值4.【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，曲線：，雙曲線的漸近線