2024年上海高考數(shù)學復習全程規(guī)劃考點10空間向量與立體幾何（18種題型10個易錯考點）含詳解

考點10空間向量與立體幾何（18種題型10個易錯考點）

【課程安排細目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四、易錯分析

五.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共1小題）

1.（2023?上海）如圖所示，在正方體ABC。-4用CQ中，點尸為邊4。上的動點，則下列直線中，始終與直線

8P異面的是（）

A.DD1B.ACC.AD\D.B\C

二.填空題（共1小題）

2.（2023?上海）空間中有三個點A、8、C,且AB=BC=CA=1,在空間中任取2個不同的點Q,E（不考慮這兩

個點的順序），使得它們與A、B、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法有種.

三.解答題（共2小題）

3.（2023?上海）已知直四棱柱ABC。-A山Ci。，ABYAD,AB//CD,48=2,AD=3,CD=4.

（D證明:直線48〃平面OCCifh；

（2）若該四棱柱的體積為36,求二面角Ai?8。?A的大小.

___________C,

AB

4.（2023?上海）已知三棱錐中，%_L平面ABC,ABLAC.PA=AB=3,4C=4,M為8c中點，過點M

分另!作平行于平面PAB的直線交AC、PC于點E,F.

（1）求直線PM與平面ABC所成角的大小;

（2）求直線ME到平面外B的距離.

但二、考點清單

1.特殊的四棱柱

平行側梭垂直直平行底面為

六面體于底面六面體矩形

匕、一石底面rvzrim側枝與底面I'..,I

長萬體』二%/正四棱柱』工“建’正萬體

---------邊長相寺1------------邊長相等1---------1

上述四棱柱有以下集合關系”正方體［$］正四棱柱：導

｛長方體｝會｛直平行六面體｝$｛平行六面體卜房［四棱

柱｝.

2.球的截面的性質

（1）球的任何截面是圓.貝；

⑵球心和裁面（不過球心）圓心的連線垂直于截面:

(3)球心到紙面的距離d與球的半徑R及裁面的半徑廠的關系為

3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的有觀圖，其面積與原圖形面積的關系如下:

S3F國=乎￡息國*S-*國影=2啦SfiQ國.

4.正四面體的表面積與體積

棱長為。的正四面體，其表面積為，3足，體積為*

5.幾個與球有關的切、接常用結論

⑴正方體的棱長為〃，球的半徑為R,

①若球為正方體的外接球，則2/=小4：

②若球為正方體的內切球，?']2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2寵=啦且.

⑵若長方體的同一頂點的三條棱長分別為db,c,外接球的半徑為七則土/己.

(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為1L1,枝長為”的正四面體，其內切球半徑長內=晉%外接球半

徑R"=乎8

6.異面直線的判定定理

經(jīng)過平面內一點的直線與平面內不經(jīng)過該點的直線互為異面直線..

7.等角定理的引申

(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個角相等.

(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個邊相同，一個邊相反，則這兩個角互補.

8.唯一性定理

(I)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

9.線、面平行的性質

(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.

(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度桓菱.

(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)兩條直線被三個平行平面所裁，截得的對應線段成比例.

(5)如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行.

(6)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行.

(7)垂直于同一條直線的兩個平面土丘.

(8)垂直于同一平面的兩條直線平行.

10.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平而.

11.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一人平面也垂直.

12.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

13.過一點有且只有一條直線與乙知平面垂直.

14.過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

15.空間向量加法、減法運算的兩個技巧

(D巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾

相接.

(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，

必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果.

16.利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧

(D數(shù)形結合；利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，，崗目標向量轉化為

已知向量.

(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質.

17.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟

1首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

2利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

3根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向晟的模.

4代入公式a?6=|a||b|cos〈a,好求解.

18利用空間向量證明或求解立體幾何問題時，首先要選擇基底或建立空間直角坐標系轉化為其坐標運算，再借

助于向量的有關性質求解(證).

19.求點到平面的距離的四步驟

20.用坐標法求異面直線所成角的一般步驟

⑴建立空間直角坐標系；

⑵分別求出兩條異面宜線的方向向最的坐標；

⑶利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角;

⑷結合異面直線所成先的范圍求出異面直線所成的角.

21.利用向量法求兩平面夾角的步驟

⑴建立空間直角坐標系；

⑵分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；

⑶求兩個法向量的夾角：

（4）法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角（不大于90。的角）

但三、題型方法

一.棱柱的結構特征（共2小題）

1.（2023?閔行區(qū)校級一模）《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為‘'鱉脯"，在長方體ABCD-

AIBICIQI中，鱉脯的個數(shù)為（）

A.48B.36C.24D.12

2.（2023?嘉定區(qū)二模）己知一個棱長為1的正方體，與該正方體每個面都相切的球半徑記為R,與該正方體每條

棱都相切的球半徑為R2,過該正方體所有頂點的球半徑為R3,則下列關系正確的是（）

A.Ri：/?2：/?3=V2：V3：2B.RT+R2=R3

CRf+R2=R2D,R；+R>R：

二.旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）（共5小題）

3.（2023?浦東新區(qū)校級模擬）已知圓錐的軸截面為正三角形，則其側面展開圖的圓心角為.

4.（2023?長寧區(qū)校級三模）若一個圓柱的側面積是4m高為1,如這個圓柱的體積是.

5.（2023?嘉定區(qū)模擬）某圓柱兩個底面面積之和等于其側面面積，則該圓柱底面半徑與高的比值為.

6.（2023?閔行區(qū)校級二模）在RtA/lBC中，NB=90°,AB=2,CB=3,將△ABC繞邊人8旋轉一周，所得到兒

何體的體積為.

7.（2023?青浦區(qū)校級模擬）己知圓錐的側面展開圖是一個半徑為4,弧長為4IT的扇形，則該圓錐的表面枳

為.

三.棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積（共5小題）

8.（2023?浦東新區(qū)二模）若圓柱的高為10,底面積為4TT,則這個圓柱的側面積為.（結果保留11）

9.（2023?黃浦區(qū)校級三模）已知正方形4BCQ的邊長是I,將△ABC沿對角線AC折到AAB'C的位置，使（折疊

后）A、夕、C、。四點為頂點的三棱錐的體積最大，則此三棱推的表面積為.

10.（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，某學具可看成將一個底面半徑與高都為10（制的圓柱挖去一個圓錐（此圓錐的頂點

是畫柱的下底面圓心、底面是圓柱的上底面）所得到的幾何體，則該學具的表面積為

_______________________cnr2.

11.（2023?奉賢區(qū)二模）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。2,過直線的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形，則該圓柱的側面積為_________.

12.（2023?松江區(qū)模擬）已知圓錐的底面半徑為2,底面圓心到某條母線的距離為I,則該圓錐的側面積

為.

四.棱柱、棱錐、棱臺的體積（共11小題）

13.（2。23?閔行區(qū)二模）已知圓柱的底面積為9m側面積為127T，則該圓柱的體積為.

14.（2023?徐匯區(qū)二模）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1,側面的平面展開圖的面積為3ir,則此圓錐的體

積為.

15.（2023?普陀區(qū)校級模擬）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，AP=AB=4,則正四棱錐的體積

為.

16.（2023?松江區(qū)二模）將如圖所示的圓錐形容器內的液體全部倒入底面半徑為50〃刈的直立的圓柱形容器內，則

液面高度為mm.

17.（2023?嘉定區(qū)二模）已知四棱錐P-A8CQ的底面是邊長為泥的正方形，側棱長均為遙.若點A、B、C、D

在圓柱的一個底面圓周上，點尸在圓柱的另一個底面內，則該圓柱的體積為.

18.（2023?普陀區(qū)校級三模）一?塊邊長為10?！ǖ恼叫舞F片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余卜.的四個全等

的等腰三角形作側面，以它們的公共頂點〃為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器.當x=6c〃?時，該

容器的容積為夕尸.

19.（2023?楊浦區(qū)校級模擬）若某圓錐高為3,其側面積與底面積之比為2：1,則該圓錐的體積為.

20.（2023?虹口區(qū)校級模擬）如圖，已知a,b是相互垂直的兩條異面直線，直線AB與a,b均相互垂直，旦AB=2?，

動點匕Q分別位于直線a,b上，若直線PQ與AU所成的角三棱錐A-UPQ的體積的最大值

6

為_______________________.

21.（2U23?奉賢區(qū)校級三模）一個正方體和一個球的表面積相同，則正方體的體積W和球的體積W的比值」

V9

22.（2023?嘉定區(qū)校級三模）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2m側面積分別為Si和

S2,體積分別為Vi和3.若5I=2S2,則護=

23.（2023?松江區(qū)校級模擬）如圖，在直三棱柱ABC-AiBCi中，AC=4,BC=3,AB=5.

（1）求證：AC_LBCi；

（2）設ACi與底面ABC所成角的大小為60°,求三棱錐C-ABCi的體積.

五.球的體積和表面積（共5小題）

24.（2023?虹口區(qū)二模）已知A,B是球。的球面上兩點，/AOB=60°,〃為該球面上的動點，若三棱錐P-。43

體積的最大值為6,則球O的表面積為.

25.（2023?浦東新區(qū)校級三模）一個正三棱錐的側棱長為I,底邊長為泥,四個頂點在同一球面上，則此球的表面

積為.

26.（2。23?嘉定區(qū)模擬）如圖，直三棱柱ABC-481。中，ACA.BC,AC=J7,3C=3,點P在棱BBi上,且以

±PC1,當△APC1的面積取最小俏時，三棱錐P-4AC的外接球的表面積為.

27.（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，棱長為2的正方體ABCZ）-4BiCQ的內切球為球。，E、尸分別是棱A8和棱C。

的中點，G在棱8。上移動，則下列命題正確的個數(shù)是（）

①存在點G,使。。垂直于平面EFG：

②對于任意點G,Q4平行于平面EFG；

③直線EF被球O截得的弦長為血；

④過直線）的平面截球O所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為？二.

2

A.0B.1C.2D.3

28.（2023?虹口區(qū)校級三模）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為遙，高為1,P、Q

為底面圓周上任意兩點.有以下三個結論：

①三角形SPQ面積的最大值為2：②三棱錐O-SPQ體積的最大值為2；③四面體SOPQ外接球表面積的最小

值為91T.

以上所有正確結論的個數(shù)為（）

A.0B.IC.2D.3

六.平面的基本性質及推論（共1小題）

29.（2023?黃浦區(qū)校級三模）如圖，正方體A8CO-A向中，E,〃分別為棱A8,CCi的中點，在平面4OG4

內且與平面。lE尸平行的直線（）

A.不存在B.有1條C.有2條D.有無數(shù)條

七.異面直線及其所成的角（共1小題）

30.（2023?浦東新區(qū)校級一模）如圖，三棱柱A山中，A4i_L底面48C,AB=AC,。是8C的中點.

（1）求證：8C_L平面AiAO；

（2）若/BAC=9（）°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的體積是8,百，求異面直線4。和4力所成的角的大小.

八.空間中直線與直線之間的位置關系（共2小題）

31.（2023?黃浦區(qū)校級三模）如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECO為正三角形，平面EQ）_L平面ABCD,

”是線段ED的中點，則（）

EN是相交直線

B.BMWEN,且直線8M,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8M,EN是異面直線

D.BMWEM同直線BM,EN是異面直線

32.（2023?長寧區(qū)二模）已知正方體A8C。-4加。。1,點。在直線AD上，。為線段4Q的中點.則下列說法不

正確的是（)

B.存在點尸，使得尸?！?8

C.直線P。始終與直線C。異面

D.直線尸。始終與直線8。異面

九.空間中直線與平面之間的位置關系（共4小題）

33.（2023?金山區(qū)二模）如圖，在矩形ABC。中，E、“分別為邊A。、8。上的點，且AQ=3AE,BC=3BF,設尸、

Q分別為線段AACE的中點，將四邊形A8尸E沿著直線即進行翻折，使得點A不在平面COM上，在這一過

程中，下列關系不能恒成立的是（）

A.直線〃直線COB.直線PQ〃直線

C.直線A4_L直線PQD.直線PQ〃平面ADE

34.（2023?嘉定區(qū)模擬）已知直線〃?、〃及平面a,其中加〃人那么在平面a內到兩條直線小、〃距離相等的點的

集合可能是：①一條直線；②一個平面；③一個點：④空集.其中正確的是（）

A.①②③B.①?@C.①④D.@@

35.（2023?閔行區(qū)校級三模）已知-），，z是空間的直線或平面，要使命題“若x_Lz,y_Lz,則x〃.y”是真命題，

x,y,z可以是（）

A..V,y,z是三個不同的平面

B.上，z是兩條不同的直線，1y是平面

C.人y,z是三條不同的直線

D.gy是兩條不同的直線，z是立面

36.（2023?浦東新區(qū)三模）如圖，在正方體ABC。-AIBICIDI中，歷，N分別為BCi,CDi的中點，則下列說法錯

誤的是（)

B.MN與平面ACC14垂直

C.MN與DC平行D.MN與平面5D4i平行

一十?直線與平面垂直（共2小題）

37.（2023?嘉定區(qū)校級三模）如圖所示，在斜三棱柱ABC?Ai8i。中，NBAC=90°,且8Ci_L4C,過。作

_1_平面A8C,垂足為“，則點，在（）

A.直線4c上B.直線上C.直線上D.△4BC內部

38.（2023?楊浦區(qū)校級模擬）如圖，矩形所在平面與直角梯形M8CN所在的平面垂直，MB/iNC,MN1MB.

（I）求證：平面人MB〃平面￡WC；

(2)若MC上CB,求證：BCLAC.

一十一.空間中的點的坐標（共1小題）

39.（2023?黃浦區(qū)模擬）在空間直角坐標系O-xyz中，點人（2,-1,3）關于平面yOz對稱的點的坐標

是

一十二.共線向量與共面向量（共1小題）

40.（2023?浦東新區(qū)三模）空間向量@=（2,2,-1）的單位向量的坐標是

一十三,空間向量的數(shù)量積運算（共1小題）

41.（2023?徐匯區(qū)三:模）在棱長為2的正方體人8。。-人出。。1中，點2在正方體的12條棱上（包括頂點）運動,

則正?而的取值范圍是

一十四.向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（共1小題）

42.（2023?松江區(qū)二模）已知空間向量彳二（1,2,3），1=（2,-2,0），3=（1,1,入），若（2W+b），

則入=.

一十五.平面的法向量（共1小題）

43.（2023?靜安區(qū)二模）若直線/的方向向量為Z，平面a的法向量為W，則能使/〃a的是（）

A.a=(1，0,0),n=(-2,0,0)

B.a=(1，3,5),r)=(1，0,1)

C.a=(1?-1?3),n=(0,3,1)

D.&=(0,2,1),H=(-1,0,-I)

一十六,直線與平面所成的角（共6小題）

44.（2023?靜安區(qū)二模）如圖，正方體A8C。-AIBICIOI中，E為44的中點，戶為正方形ACC1B的中心，則直線

E尸與側面88ICIC所成角的正切值是

45.（2023?浦東新區(qū)校級三模）如圖，直角三角形A3。和等邊三角形A3。所在平面互相垂直，AB=AC=2,E是

線段AO上一點.

（I）設E為AD的中點，求證：BE1CD；

（II）若直線C。和平面8CE所成角的正弦值為逗，求延的值.

10AD

46.（2U23?普陀區(qū)校級模擬）已知平面a、0所成角為80°,尸為兩平面外一點，則過點產(chǎn)且與立面a、口所成角

均為40。的直線有（）條.

A.1B.2C.3D.4

47.（2023?普陀區(qū)校級三模）如圖，在四棱錐C-48EO中，正方形48EO的邊長為2,平面A8￡D_L平面A8C,

JaBCLAC,AC=V§，點G,尸分別是線段EC,8。的中點.

（1）求證：直線G/〃平面ABC；

（2）求直線G/與平面BDE所成角的大小.

48.（2023?虹口區(qū)校級三模）已知圓鏈的頂點為5,底面圓心為O,半徑為2,母線加、SB的長為2近，ZAOB=

90°且M為線段A8的中點.

（1）證明：平面5。加_1_平面%8：

（2）求直線SM與平面SOA所成角的大小.

49.（2023?閔行區(qū)校級二模）已知正方體ABCO-AIBICIOI,點E為中點，直線辦。交平面CDE于點F.

（D證明：點尸為B1C1的中點;

（21若點M為棱A4i上一點，且直線“/與平面CQF所成角的正弦值為回應，求上巴的值.

25A]B]

一十七.一面角的平面角及求法（共6小題）

50.（2023?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，在四棱錐P-ABCO中，布_底面A8CQ,AB1AD,AD〃BC,前E,產(chǎn)分

別為外，P力的中點，AB=BC=2,AD=AP=4.

（1）證明：直線石尸〃平面尸BC；

（2）求二面角產(chǎn)-CO-8的余弦值.

51.（2023?浦東新區(qū)二模）如圖，三帶形E4。與梯形4灰?。所在的平面互相垂直，AELAD,ABLAD,BC//AD,

AB=AE=BC=2,AQ=4,F、H分別為ED、￡4的中點.

（1）求證：8"〃平面A〃C；

（2）求平面ACr與平面E48所成銳二面角的余弦值.

E

52.(2023?閔行區(qū)二模)如圖，在四棱錐P-/WC。中，底面48CQ為矩形，PO_L平面人BCD,PD=AD=2,AB=

4,點E在線段A8上，且8E=2AB.

4

(1?求證：CE_L平面08。；

(2)求二面角P-CE?A的余弦值.

53.(2023?浦東新區(qū)校級一模)在120。的二面角內放置一個半徑為6的小球，它與二面角的兩個半平面相切于A、

B兩點,則這兩個點在球面上的距離是.

54.(2023?黃浦區(qū)校級三模)已知，王三棱柱A8C-4陰。中，/L4i=2,AC=\,延長C8至。，使CB=8D.

(1)求證：CA.LDA］；

(2)求平面用4。與平面AOC所成銳二面角的余弦值.

4

D

55.（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，△A3。與△3CQ都是等腰直角三角形.其底邊分別為3。與4C,點E、F分別為

線段BD.AC的中點.設一面角A-BD-C的大小為a?當。在區(qū)間（0.五）內變化時、下列結論正確的是（）

A.存在某一a值，使得ACJLBD

B.存在某一a值，使得石/_1_8。

C.存在某一。值，使得￡/_LCO

D.存在某一a值，使得A8_LCO

一十八.點、線、面間的距離計算（共5小題）

56.（2023?寶山區(qū)二模）四棱錐P-48C。的底面是邊長為2的菱形，ZDAB=60°,對角線AC與B。相交于點

O,P。，底面ABC。，尸B與底面48CZ）所成的角為60°,E是P8的中點.

（1）求異面直線DE與附所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）；

57.（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，多面體AiCiOi/WCO是由校長為3的正方體48CQ-A41C1。沿平面44cl截去

一角所得到在楂ACi上取一點￡,過點。I,C,￡的平面交棱3a于點尸.

（1）求證:EF//A\B；

（2）若CiE=2EAi,求點E到平面4QC8的距離以及EQi與平面AIQICB所成角的大小.

58.（2023?奉賢區(qū)校級三模）正方體ABC。-431aoi的棱長為4,P在平面BCCi以上，A,P之間的距離為5,

則G、P之間的最短距離為.

59.（2023?楊浦區(qū)二模）如圖，一個由四根細鐵桿布、PB、PC、PZ）組成的支架（力、PB、PC、尸。按照逆時針排

布），若NAP3=N4PC=NCPQ=NQ%=±,一個半徑為1的球恰好放在支架上與四根細鐵桿均有接觸，則

A.V3B.V2C.2D.—

2

60.（2023?黃浦區(qū)校級模擬）如圖，在棱長為2的正方體/WCO-48iCiG中，點P在截面4QB上（含邊界）,

則線段HP的最小值等于.

Q四、易錯分析

一、混淆線面角和平面的法向量與直線方向向量夾角的關系致錯

1.如圖，在正方體ABC。一A4G。中，E為的中點.求直線AA與平面4RE所成角的正弦值.

二、忽略兩平面法向量的夾角與二面角平面角的關系致錯

2、如圖所示的幾何體是由棱臺ABC-A^a和棱錐O-AACC拼接而成的組合體,其底面四邊形A3CQ是邊長為

2的菱形，且J_平面A8CDB8i=BQ=l.求二面角Ai-8D-G的余弦值.

三、忽略異面直線所成角與向量夾角的關系致錯

3.在長方體A8CD-4SG。中，A8=3,BC=1,AAl=2,則異面直線8。和8c所成角的余弦值為（）

A3^Z0r_血口?

A.70D.70J70U.70

四、忽視異面直線所成角的范圍致錯

4.直三棱柱ABC—A夕C中，AC=8C=A4,NAC8=120。，￡為89的中點，異面直線CE與CA所成角的余弦

值是（）

&MRVio「屈nVio

551010

五、誤用垂直性質定理致錯

5、己知兩個平面垂直，下列命題：

①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線；

②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；

③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面；

④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題個數(shù)是（）

A.3B.2C.ID.0

六、判斷線面、線線位置關系考慮不全致錯

6.若直線a與平面a內無數(shù)條直線平行，則。與。的位置關系是.

七、證明線面平行、面面平行條件表達不全致錯

7.如圖，四棱錐P—A5C。中，四邊形A8CQ是矩形，AB=￡,AD=2,為正三角形，且平面幺。_1_平

ffiABCD,E、尸分別為PC、9的中點.證明：律〃平面P4Q；

八、分析問題不全面致錯

8.圓柱的側面展開圖是邊長分別為6兀和4幾的矩形，則圓柱的體積是.

九、斜二測畫法中混淆原圖與直觀圖關系致錯

9.如下圖，是A4BC用“斜二測畫法”畫出的直觀圖，其中）9=0'。'=1,。卬=立，那么二ABC的周長

是________

十、混淆幾何體的表面積與側面積致錯

10.如圖所示的某糧倉（糧倉的底部位于地面上）是由圓柱和圓錐構成的，若圓柱的高是圓錐高的2倍，且圓錐的母線

長是4,側面積是4兀，則制作這樣一個糧倉的用料面積為（）

A.4s3兀B.（2[7^+4）兀

C.（3，B+4）兀D.（4^/15+4）71

B五.刷壓軸

一？單選題

1.（2023?上海黃浦?格致中學?？既＃┰诶忾L為1的正方體ABC。-A耳CA中，已知E為線段4c的中點，點F

和點P分別滿足。尸=,D\P=g\B,其中4,//e[0,l],則下列說法不正確的是（）

A.當/l=g時，三棱錐夕-EED的體積為定值

〃

B.當〃=；1時，四棱錐P-ABCO的外接球的表面積是9?

24

C.〃￡+產(chǎn)產(chǎn)的最小值為占E

6

D.存在唯一的實數(shù)對（人〃），使得政工平面P。/

2.（2021?上海閔行?統(tǒng)考一模）如圖，正四棱錐尸-A8C。的底面邊長和高均為2,M是側棱PC的中點，若過AM

作該正四棱錐的截面，分別交棱PB、PD于點E、F（可與端點重合），則四楂錐P-AEM/的體積的取值范圍是（）

c.D.

3.（2021?上海徐匯?位育中學?？既＃┤鐖D，正方體ABCO-ASGA中，E、r分別是/W、8C的中點，過點

。、E、”的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為匕匕（匕＜匕），則匕：匕二（）

AG

2527

D.—

.4746

二、填空題

4.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預測）已知”，力，c是空間中兩兩不同的三個單位向量，且

（aZ＞）:（Z；.c）:（c.d）=l:l:2.則的取值范圍是.

5.（2023?上海閔行?上海市七寶中學?？既＃┰谡睦庵?，AB=1,A/\=4,￡為?？谥?/p>

點，。為正四棱柱表面上一點，且CJJ_qE,則點/＞的軌跡的長為—.

6.（2023?上海嘉定??？既＃┫聢D改編自李約瑟所著的《中國科學技術史》，用于說明元代數(shù)學家郭守敬在編制

《授時歷》時所做的天文計算.圖中的人氏人都是以。為圓心的圓弧，CMVK是為計算所做的矩形，其中

加,乂（分別在線段0。,。良。4上，MN工OB,KN工OB.記。=NAOB,/3=ZAOCty=4BOD,b=/COD,

給出四個關系式，其中成立的等式的序號有.

①sin￡=sin/cos

②cosfi=cosycos萬；

sin#

③sine=

cos/?

cosycos^

（4）cosa=

cos夕

7.（2023?上海?模擬預測）空間內存在三點A、B、C,滿足A^=AC=4C=1,在空間內取不同兩點（不計順

序），使得這兩點與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為.

222

8.（2021?上海黃浦?格致中學?？级＃┰诳臻g直角坐標系中，點CM）。）滿足：x+y+z=16,平面。過點

M（l,2,3）,且平面。的一個法向量〃=則點尸在平面。上所用成的封閉圖形的面積等于.

9.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預測）若尸、Q、R是棱長為1的正四面體棱上互不相同的三點，則PQQR的取值范圍

是.

10.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預測）已知知生9Mgw{（穢,z）|/+）3+z2=l},對任意

1Wi</W5都有勺a；<M,則實數(shù)M的最小值為.

三、解答題

11.（2023?上海徐匯?位育中學?？寄ｊ狀A測）如圖（1）,在直角梯形A8CQ中，。為CQ的中點，四邊形48CO

為正方形，將她。。沿AD折起，使點。到達點尸，如圖（2）,E為PC的中點,且DE=CE,點廣為線段依上

的一點.

（1）正明：DE1.CF；

（2）當Z）戶與。E夾角最小時，求平面ZV）尸與平面C7）下所成銳二面角的余弦值.

12.（2020?上海?統(tǒng)考模擬預測）正四棱錐P-A8C。的底面正方形邊長是3,。是在底面上的射影，PO=6,。是

AC上的一點，過。且與24、都平行的截面為五邊形

（1）在圖中作出截面石尸6兒，并寫出作圖過程;

（2）求該截面面積的最大值.

13.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模）如圖，在正四棱錐P-A88中，PA=AB=2日反尸分別為尸及尸。的中點，平

面AM與棱PC的交點為G.

⑴求異面直線AE與尸尸所成角的人??；

⑵求平面AEG”與平面A8CO所成銳二面角的大小;

（3）求點G的位置.

14.（2023?上海崇明?上海市崇明中學校考模擬預測）如圖，在四棱錐尸-4BC。中，底面是矩形，且AQ=2,AB

=M=1,H4_L平面A8CQ,E,尸分別是線段AB,BC的中點.

(1)證明：PF工FD；

⑵求四棱錐P-ABCD的表面積；

(3)求直線與平面/V*所成角的大小.

15.(2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)如圖，四邊形AAC。是圓柱底面的內接四邊形,AC是圓柱

的底面在徑，PC是圓柱的母線，E是AC與B。的交點，A/3=AD,ZBAD=60°.

⑴記圓柱的體積為匕，四棱錐P-ABC。的體積為匕，求才；

⑵設點”在線段AP上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角尸—CZ)—P的余弦值.

考點10空間向量與立體幾何（18種題型10個易錯考點）

O【課程安排細目表】

二、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四、易錯分析

五.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共1小題）

1.（2023?上海）如圖所示，在正方體向。0中，點P為邊4a上的動點，則下列直線中，始終與直線

8P異面的是（）

A.DD\B.ACC.AD\D.B\C

【分析】根據(jù)空間中的兩條直線的位置關系，判斷是否為異面直線即可.

【解答】解：對于A,當P是4。的中點時，8P與。7）1是相交直線；

對于B,根據(jù)異面直線的定義知，BP與AC是異面直線；

對于C,當點P與Cl重合時，8P與AQi是平行直線；

對于。，當點。與。重合時，3戶與41c是相交直線.

故選:B.

【點評】本題考查了兩條直線間的位置關系應用問題，是基礎題.

二.填空題（共1小題）

2.（2023?上海）空間中有三個點A、8、C,且A8=BC=C4=1,在空間中任取2個不同的點。，E（不考慮這兩

個點的順序），使得它們與A、8、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法有9種.

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質，分類討論，即可求解.

【解答】解：如圖所示，設任取2個不同的點為。、E,

當△ABC為正四棱錐的側面時，如圖，平面ABC的兩側分別可以做ABDE作為圓錐的底面，有2種情況,

同理以8c￡7）、4CE。為底面各有2種情況，所以共有6種情況；

當△AZ7C為正四棱錐的截面時，如圖，。、K位于AZT兩側，AOOZ;為圓錐的底面，只有一種情況，

同理以BDCE、ADCE為底面各有1種情況，所以共有3種情況；

綜上，共有6+3=9種情況.

故答案為:9.

【點評】本題考查正四棱錐的性質，分類討論思想，屬中檔題.

三.解答題（共2小題）

3.（2023?上海）己知直四棱柱/IBCQ-AiACiOi,AB1AD,AB//CD,48=2,AD=3,CD=4.

（1）證明：直線44〃平面。CCIQI；

（2）若該四棱柱的體積為36,求二面角4-80-A的大小.

【分析】（1）先證明平面A1A88"/平面。CCiQi,再根據(jù)面面平行的性質，即可證明；

（2）先根據(jù)體積建立方程求出4A=4,再利用三垂線定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，即可求

解.

【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意可知A8〃OC,AA\//DD\,且48cAAi=A,

???可得平面AiA8Bi〃平面QCCIOI，又直線AiBu平面A1A8B1,

???直線4B〃平面DCCiDi：

（2）設44=〃，則根據(jù)題意可得該四棱柱的體積為上X（2+4）><3Xh=36，

2

???〃=4,???44，底面/WCD,在底面人BC。內過人作垂足點為E,

則4E在底面ABCD內的射影為AE,

???根據(jù)三垂線定理可得BDLA\E,

故N4EA即為所求,

在R〔Z\AB。中，AB=2,AD=3,AfiD=V4+9=V13,

.dr_ABXAD_2X3

?匕------------------------1-----------'j->又AiA=〃=4,

BDV13V13

AiA42\/l1d3

:.tanNAiEA=—i—=——=t

AE3

V13

；?二面角Ai-I3D-A的大小為arcta6H亙.

【點評】本題考查線面平行的證明，面面平行的判定定理與性質，二面角的求解，三垂線定理作二面角，化歸轉

化思想，屬中檔題.

4.（2023?上海）已知三棱錐尸-ABC中，必J_平面ABC,AB1AC.PA=AB=3,AC=4,M為8c中點，過點M

分別作平行于平面PAB的直線交AC、PC于點E,F.

（1）求直線PM與平面A/3C所成角的大??；

【分析】（1）連接AM,PM,NPWA為直線PM與平面A8C所成的角，在△辦M中，求解即可;

（2）先證明ACJ_平面以從可得AE為直線ME到平面以5的距離.進則求AE的長即可.

【解答】解：（1）連接AM,PM,

???%_L平面48C,

A/PMA為直線"M與平面人*■所成的角.

在△心M中，???AB_L4C,.\^=^32+42=：5,

為BC中點,：.AM=—BC=—,

22

???UnNPM4=@,即直線PM與平面48c所成角為arctan-^-；

55

(2)由ME〃平面以8,M尸〃平面%8,MEC\MF=M,

???平面M￡B7平面%B,YMEu平面M￡R，ME〃平面以8,

???必_L平面ABC,ACu平面ABC,

：.R\±AC,V/AZ?±AC,MAAZ?=A,ZM,A"u平面ZM",

，ACJ■平面PAB,「.A石為直線ME到平面PAB的距離，

?.?ME〃平面以8,MEu平面A8C,平面A8CA平面以

\ME//AH.??，M為友?中點，???E為4c中點，：.AE=2f

???直線ME到平面PAB的距離為2.

【點評】本題考查直線與平面所成的角，考查直線與平面的距離的求法，屬中檔題.

Q二、考點清單

1.特殊的四棱柱

底面為平行側梭垂直直平行底面為

平行四邊形六面體于底面六面體矩形

|正方體|