專題61數(shù)列的概念與簡單表示2022年高考數(shù)學一輪復習（新高考浙江）（講）

2022年高考數(shù)學一輪復習講練測（新高考·浙江）第六章數(shù)列與數(shù)學歸納法專題6.1數(shù)列的概念與簡單表示（講）【考試要求】了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、公式).【高考預測】1．利用an與Sn的關系求通項,遞推數(shù)列求通項.2．數(shù)列的周期性、單調性及最值.3．關于數(shù)列的概念問題，雖然在高考中很少獨立命題，但數(shù)列的通項公式、猜想、歸納、遞推意識卻融入數(shù)列的試題之中，多與函（導）數(shù)、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的求和、不等式等綜合考查.4.復習中要特別注意:(1)構造特殊數(shù)列求通項；(2)利用數(shù)列的單調性求參數(shù)范圍或數(shù)列項的最值.【知識與素養(yǎng)】知識點一．數(shù)列的概念與通項公式1．數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一項叫做數(shù)列的項.數(shù)列的項在這列數(shù)中是第幾項，則在數(shù)列中是第幾項.一般記為數(shù)列.對數(shù)列概念的理解(1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構成它的“數(shù)”有關，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列．(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．2．數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列其中n∈N＋遞減數(shù)列常數(shù)列按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)，使擺動數(shù)列的符號正負相間，如1，－1,1，－1，…3．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點.4.數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．即,不是每一個數(shù)列都有通項公式,也不是每一個數(shù)列都有一個個通項公式.5.數(shù)列的前項和和通項的關系：.【典例1】（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【總結提升】Sn與an關系問題的求解思路根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．知識點二．數(shù)列的性質數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點，因此，在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性．數(shù)列的性質主要指：1.數(shù)列的單調性遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2.數(shù)列的周期性.【典例2】（2021·浙江杭州市·杭州高級中學高三其他模擬）在數(shù)列中，，，設其前n項和為，則下列命題正確的是（）A． B．C． D．若，則【答案】D【解析】依題意可得，設，即可判斷A，利用特殊值法判斷B、C，由，可得遞增，根據(jù)即可證明D；【詳解】解：由得，設，則，故A錯．取，知B錯，時，數(shù)列不滿足，知C錯．對于D，由，知遞增，所以，知D正確；故選：D【總結提升】解決數(shù)列的單調性問題可用以下三種方法(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列．(2)用作商比較法，根據(jù)(an＞0或an＜0)與1的大小關系進行判斷．(3)結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷． 【重點難點突破】考點一：由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式【典例3】（2021·海南高二期末）已知數(shù)列的前四項依次為，，，，則的通項公式可能是___________.【答案】(或其他合理)【解析】由四項找出共同的規(guī)律，可得通項公式【詳解】解：，，，，故.故答案為：【規(guī)律方法】1．根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數(shù)列的通項公式來求．對于正負符號變化，可用或來調整．2．根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想．由不完全歸納法得出的結果是不可靠，要注意代值驗證.3.對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學習中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式.【變式探究】若數(shù)列的前4項分別是12,A．(-1)n-1nB．(-1)nn【答案】C【解析】由數(shù)列的前4項分別是12,?-13,??14,?-15故選：C．【總結提升】根據(jù)數(shù)列的前幾項求其通項公式，一般通項公式不唯一，我們常常取其形式上較簡便的一個即可．解答時，主要靠觀察、分析、比較、歸納、聯(lián)想、轉化等方法．觀察時特別注意：①各項的符號特征；②分式的分子、分母特征；③相鄰項的變化規(guī)律(絕對值的增減)．處理方法常用的有：①化異為同(統(tǒng)一分子、或分母的結構形式)；②拆項；③用(－1)n等表示符號規(guī)律；④與特殊數(shù)列(自然數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、自然數(shù)的平方，2n等)的聯(lián)系．考點二：由前項和公式推導通項公式，即與的關系求通項【典例4】（2021·浙江高二期末）已知等比數(shù)列前項和滿足（），數(shù)列是遞增的，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比數(shù)列前項和滿足，分別求出前3項，利用等比數(shù)列中，求出，再根據(jù)數(shù)列是遞增的，且，利用中求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：因為等比數(shù)列前項和滿足（），所以，，，因為等比數(shù)列中，所以，解得或（舍去），所以，因為數(shù)列是遞增的，所以，所以，因為，所以，故選：C【典例5】（2018·全國高考真題（理））記Sn為數(shù)列an的前n項和，若Sn【答案】-63【解析】根據(jù)Sn=2a兩式相減得an+1=2a當n=1時，S1=a所以數(shù)列an是以1為首項，以2為公比所以S6=-(1-【規(guī)律方法】1.Sn與an關系問題的求解思路根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．2.已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．【變式探究】1.（2021·正陽縣高級中學高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項和為，且，若，則數(shù)列的最大值為（）A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項【答案】D【解析】由先求出，從而得出，由討論出其單調性，從而得出答案.【詳解】當時，；由，當時，，兩式相減，可得，解得，當時，也符合該式，故．所以由，解得；又，所以，所以，當時，，故，因此最大項為，故選：D．2.（2019·山西高考模擬（文））記數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】【解析】當時，，解得；當時，，，兩式相減可得，，故，設，故，即，故.故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，故.故答案為：考點三：由遞推公式推導通項公式【典例6】（2021·河南高二三模（理））分形幾何學是數(shù)學家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學領域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個樹形圖.若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈個數(shù)，設表示第n行中的白圈個數(shù)，由題意可得，根據(jù)初始值，由此遞推，不難得出所求.【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈2個黑圈，∴，又∵;;;;;,故選：A.【典例7】（2021·全國高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設中的遞推關系可得，從而可求的通項.（2）根據(jù)題設中的遞推關系可得的前項和為可化為，利用（1）的結果可求.【詳解】（1）由題設可得又，，故，即，即所以為等差數(shù)列，故.（2）設的前項和為，則，因為，所以.【規(guī)律方法】1.基本方法是歸納法；2.遞推公式推導通項公式方法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）解法：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解.（4）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）.（或其中均為常數(shù)）.解法：在原遞推公式兩邊同除以，得：，令，得：，再按第（3）種情況求解.（5）待定系數(shù)法：解法：一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數(shù)列.（6）待定系數(shù)法：解法：一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數(shù)列.（7）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)）.解法：先把原遞推公式轉化為其中滿足，再按第（4）種情況求解.取倒數(shù)法：解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉化為，按第（3）種情況求解.（，解法：等式兩邊同時除以后換元轉化為，按第（3）種情況求解.）.（9）取對數(shù)解法：這種類型一般是等式兩邊取以為底的對數(shù)，后轉化為，按第（3）種情況求解.【變式探究】1.（2021·湖北荊州市·荊州中學高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，則的值為___________，的值為___________.【答案】【解析】令，求出，再令求出，從而可求出的值，由可得，然后利用累乘法可得，得，從而可求出的值【詳解】解：令，則，，令，則，所以，所以，因為，所以，即，當時，有，，因為，所以，所以，所以，故答案為：，2．（2017·全國高考真題（文））設數(shù)列an滿足a（1）求an（2）求數(shù)列an2n+1的前【答案】（1）22n-1；（2）【解析】（1）數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．n≥2時，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）an＝2．∴an=2當n＝1時，a1＝2，上式也成立．∴an=2（2）an∴數(shù)列{an2n+1}的前n項和=(1-1考點四：數(shù)列的通項及性質的應用【典例8】（2019·浙江高考真題）設，數(shù)列中，，,則（）A．當 B．當C．當 D．當【答案】A【解析】對于B，令0，得λ，取，∴，∴當b時，a10＜10，故B錯誤；對于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，∴當b＝﹣2時，a10＜10，故C錯誤；對于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴，…，10，∴當b＝﹣4時，a10＜10，故D錯誤；對于A，，，，an+1﹣an＞0，{an}遞增，當n≥4時，an1，∴，∴（）6，∴a1010．故A正確．故選：A．【典例9】（2021·全國高三其他模擬（理））對于有如下4個數(shù)列：（1）；（2）（3）（4）．其中滿足條件的個數(shù)為（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依題意對各個數(shù)列一一判斷，即可得解；【詳解】解：對于（1），所以，顯然均不成立，故（1）錯誤；對于（2），易知其為遞增數(shù)列，又，，，故均成立，故（2）正確；對于（3），當為奇數(shù)和為偶數(shù)時，均為遞增，故成立，而為奇數(shù)，為偶數(shù)，顯然所以也成立，故（3）正確；對于（4），，，，當為奇數(shù)時，，為遞增數(shù)列，當為偶數(shù)時，也為遞增數(shù)列，所以成立，又，，所以，所以，故（4）也成立；故選：C【典例10】（2021·全國高三其他模擬（理））大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其部分項如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此規(guī)律得到以下結論正確的是（）A． B．C．當為偶數(shù)時， D．當為奇數(shù)時，【答案】B【解析】直接利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式，代入數(shù)列的具體值即可判斷出各個選項．【詳解】解：其部分項如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，則數(shù)列的通項公式為：，所以，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，．故選：B．【規(guī)律方法】1.解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．2.求數(shù)列最大項或最小項的方法(1)利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到數(shù)列的最大項；(2)利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到數(shù)列的最小項．3.前項和最值的求法(1)先求出數(shù)列的前項和，根據(jù)的表達式求解最值；(2)根據(jù)數(shù)列的通項公式，若，且，則最大；若，且，則最小，這樣便可直接利用各項的符號確定最值.【變式探究】1.（2021·湖南長沙市·長郡中學高三二模）若集合至少含有兩個元素（實數(shù)），且中任意兩個元素之差的絕對值都大于2，則稱為“成功集合”，已知集合，則的子集中共有__________個“成功集合”．【答案】49【解析】設集合的子集中有個成功集合，則，，當時得遞推關系，進而根據(jù)遞推關系得.【詳解】設集合的子集中有個成功集合，則，．對于時，可將滿足要求的子集分為兩類：一類是含有的子集，去掉后剩下小于的單元素子集或滿足要求的子集，前者有個，后者有個；另一類是不含的子集，即滿足要求的子集，有個．于是，．從而根據(jù)遞推關系得：，，，，，．故答案為：2.（2021·全國高三其他模擬（理））在數(shù)列中，，，，則的值為______．【答案】1【解析】根據(jù)其遞推公式求得相鄰奇數(shù)項的乘積為1，相鄰偶數(shù)項的乘積為1，進而得到數(shù)列具有周期性，即可求解．【詳解】解：，，從而，即數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，又由，，得，即，，得，，，故答案為：1．3．（2021·河南南陽市·高二其他模擬（理））畢達哥拉斯學派是古希臘哲學家畢達哥拉斯及其信徒組成的學派，他們把美學視為自然科學的一個組成部分．美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對稱與和諧，和諧起于差異的對立，美的本質在于和諧．他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?，并由它