高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：空間向量的數(shù)量積、向量積、混合積

一、數(shù)量積二、垂直（正交）向量和投影空間向量的數(shù)量積、向量積、混合積空間解析幾何三、向量積四、混合積一、數(shù)量積當(dāng)把空間中兩個(gè)非零向量

和

的起始點(diǎn)重合在一起時(shí)，它們形成一個(gè)大小為

的夾角?？臻g中兩個(gè)向量的數(shù)量積（或內(nèi)積，點(diǎn)積）可以用定義平面向量數(shù)量積的同樣方式定義。定義

設(shè)

和

是空間中的兩個(gè)非零向量，

和

的數(shù)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積）為，其中

是

和

之間的夾角。1.數(shù)量積的定義空間中的兩個(gè)非零向量

和

的數(shù)量積的計(jì)算：設(shè)

，

，則

把數(shù)量積定義中的

解出來(lái)，就得到求空間中的兩個(gè)給定向量之間夾角的公式。空間中的兩個(gè)非零向量

和

之間的夾角為例1.求

和

之間的夾角。解：2.數(shù)量積的性質(zhì)若

和

是任意向量，而

是數(shù)，則（1）（2）（3）（4）（5）二、垂直（正交）向量和投影與平面向量的情形一樣，兩個(gè)非零向量

和

是垂直的或正交的，當(dāng)且僅當(dāng)

在一個(gè)非零向量

上的投影向量（如圖）是由從Q到直線PS做垂線而得的向量

。這與平面向量的情形完全一樣，該向量記為

（

在

上的向量投影）。

如果

表示一個(gè)力，那么

表示在方向

的有效力

由于在上的向量投影：故數(shù)

稱為

在方向

的數(shù)量分量。我們可以通過(guò)

“點(diǎn)乘”

的方向求得數(shù)量分量。例2．求在上的向量投影和在方向的數(shù)量分量。解：

的數(shù)量分量。在方向

與平面向量一樣，可以把一個(gè)向量表示成個(gè)平行于的向量和一垂直于的向量之和。例3．一個(gè)力作用在速度為的太空船上。把F表示成一個(gè)平行于的向量和一個(gè)垂直于的向量之和。解：

。三、空間中兩個(gè)向量的向量積我們假定在空間中給定兩個(gè)非零向量和。和我們用右手法則選擇一個(gè)垂直于這個(gè)平面的單位向量。如果不平行，那么它們決定一個(gè)平面。1.定義設(shè)給定兩個(gè)非零向量和，和的向量（叉）積為如果和中的一個(gè)或兩個(gè)為零，我們定義為零。這樣一來(lái)，和的叉積為零，和平行或它們中的一個(gè)或兩個(gè)為零。當(dāng)且僅當(dāng)非零向量和稱為平行向量，當(dāng)且僅當(dāng)2.向量積（叉積）的性質(zhì)：通常，由于位于和所在的平面上，而在和所在的平面上，所以向量積乘法是不滿足結(jié)合律的。當(dāng)我們用定義計(jì)算

和

的兩兩向量積時(shí)，便得到

3.的行列式表示假定那么由分配律和

和

相乘的法則告訴我們于是我們可以用下列行列式計(jì)算向量積（叉積）

例5．求垂直于

，

和

所在的平面的向量。解：

向量

垂直于平面，因?yàn)樗怪庇谄矫嫔系膬蓚€(gè)向量。利用分量我們求得

例6．

求頂點(diǎn)

，

和

的三角形的面積。解：由

和

所確定的平行四邊形的面積是三角形的面積是這個(gè)值的一半

。

例7．求垂直于

，

和

所在的平面的單位向量。解：

向量

垂直于平面，它的方向

是垂直于平面的單位向量，由例5和例6有：4.轉(zhuǎn)矩當(dāng)我們?cè)诎馐稚嫌靡粋€(gè)力F轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)螺栓時(shí)，我們產(chǎn)生一個(gè)轉(zhuǎn)矩作用在螺栓的軸上以使螺栓前進(jìn)。轉(zhuǎn)矩的大小依賴于力作用在扳手的多遠(yuǎn)處及垂直于扳手的作用點(diǎn)處的力有多大。我們測(cè)量轉(zhuǎn)矩大小的數(shù)是杠桿

的臂長(zhǎng)和F的垂直于

的數(shù)量分量的乘積。

轉(zhuǎn)矩的大小

轉(zhuǎn)矩向量

如果令

是沿螺栓的軸并指向轉(zhuǎn)矩方向的單位向量，那么轉(zhuǎn)矩向量可以完整地表示為當(dāng)

和

平行時(shí)，定義

為零。這與轉(zhuǎn)矩的解釋正好是吻合的。假如圖中的力F平行于扳手，即我們?cè)噲D通過(guò)沿著扳手的柄的方向拉或推扳手，所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩為零。四、混合積積

稱為

和

（按這個(gè)次序）的混合積。從公式可以看出，積的絕對(duì)值是由

和

確定的平行六面體（由

組成的平行四邊形為底面的箱體）的體積。數(shù)