新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第27講 正弦定理、余弦定理及應(yīng)用（解析版）

第27講正弦定理、余弦定理【基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖】【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】一、正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：SKIPIF1<0【微點(diǎn)撥】（1）正弦定理適合于任何三角形，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓半徑）；（2）應(yīng)用正弦定理解決的題型：①已知兩角和一邊，求其它②已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其它．（3）在已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其它的類型中，可能出現(xiàn)無(wú)解、一解或兩解，應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”定理及幾何作圖來(lái)幫助理解.二、余弦定理在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變形為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【微點(diǎn)撥】（1）應(yīng)用余弦定理解決的題型：①已知三邊，求各角②已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其它=3\*GB3③已知兩邊和夾角，求其它；（2）正、余弦定理的實(shí)質(zhì)是一樣的，從而正弦定理能解的問(wèn)題余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有別；（3）正、余弦定理可以結(jié)合使用.三、三角形的面積公式(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高(2)SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0四、三角形形狀的判定方法設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C，解斜三角形的主要依據(jù)是：（1）角與角關(guān)系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；SKIPIF1<0；（2）邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理、余弦定理常用兩種途徑：（1）由正余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角；（2）由正余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊.【微點(diǎn)撥】=1\*GB3①化簡(jiǎn)中將三角形內(nèi)角和、三角同角基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角公式等綜合結(jié)合起來(lái).=2\*GB3②在△ABC中，熟記并會(huì)證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列.五、解三角形應(yīng)用的分類（1）距離問(wèn)題：一點(diǎn)可到達(dá)另一點(diǎn)不可到達(dá)；兩點(diǎn)都不可到達(dá)；（2）高度問(wèn)題（最后都轉(zhuǎn)化為解直角三角形）；（3）角度問(wèn)題；（4）面積問(wèn)題.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01運(yùn)用正余弦定理解三角形例1、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值：（2）求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)樵赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由正弦定理得SKIPIF1<0.方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．考查基本運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．【變式1-1】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】4【解析】∵SKIPIF1<0，∴由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴由余弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：4．【變式1-2】在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】余弦定理SKIPIF1<0將各值代入得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)選A.考點(diǎn)02利用正余弦定理判定三角形形狀例2、△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大??；(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．【解析】(1)由已知，根據(jù)正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－eq\f(1,2)，A＝120°.(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴eq\f(3,4)＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，與sinB＋sinC＝1聯(lián)立方程組解得：sinB＝sinC＝eq\f(1,2)，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰鈍角三角形．【變式】(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】(1)B(2)C【解析】(1)法一：因?yàn)閎cosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理知sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，得sin(B＋C)＝sinAsinA.又sin(B＋C)＝sinA，得sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．法二：因?yàn)閎cosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2a2,2a)＝a，所以asinA＝a，即sinA＝1，故A＝eq\f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．(2)因?yàn)閑q\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等邊三角形．方法總結(jié)：判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考點(diǎn)三運(yùn)用正余弦定理研究三角形的面積考點(diǎn)03運(yùn)用正余弦定理解決三角形的面積例3、在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．(1)求角A的大??；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\r(3)，求△ABC的面積．【解析】：(1)(解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，即sinA＝2sinAcosA．因?yàn)锳∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosA＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(π,3)．(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，得beq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋ceq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2aeq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)．因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)．(2)由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝cbcosA＝eq\r(3)，得bc＝2eq\r(3)，所以△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×sin60°＝SKIPIF1<0【變式】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．【解析】：(1)由題意得eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))．由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3)．(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5)．由a<c，得A<C，從而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25)．考點(diǎn)04利用正弦、余弦定理解決距離及角度問(wèn)題例4、某市電力部門需要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測(cè)量A，B兩地距離．現(xiàn)測(cè)量人員在相距eq\r(3)km的C，D兩地(假設(shè)A，B，C，D在同一平面上)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線長(zhǎng)度大約應(yīng)該是A，B距離的eq\f(4,3)倍，問(wèn)施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長(zhǎng)的電線？【解析】：在△ACD中，由已知可得∠CAD＝30°，所以AC＝eq\r(3)km．在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°．sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)．由正弦定理，BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)．cos75°＝cos(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)．在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA＝eq\r(3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)·cos75°＝5．所以AB＝eq\r(5)，故施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長(zhǎng)為eq\f(4,3)eq\r(5)km【變式4-1】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A為(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A為2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【解析】：如題圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD．設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)．∵cos∠CBA＝eq\f(BC2＋AB2－AC2,2BC·AB)＝eq\f(6＋（\r(3)－1）2－4,2\r(6)·（\r(3)－1）)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CBA＝45°，即B在C正東．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°．即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船．考點(diǎn)05正余弦定理在三角形中的運(yùn)用例5、如圖，在SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．ABCD（1）求SKIPIF1<0的值；ABCD（2）求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【解析】：（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．同理可得，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【變式5-1】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq\r(10)，∠CAD＝eq\f(π,4)，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的長(zhǎng)；(2)求△BCD的面積．【解析】：(1)因?yàn)閠an∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝eq\f(2\r(5),5)，cos∠ADC＝－eq\f(\r(5),5).所以sin∠ACD＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠ADC－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC＋\f(π,4)))＝sin∠ADC·coseq\f(π,4)＋cos∠ADC·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(10),10)，(6分)在△ADC中，由正弦定理得CD＝eq\f(AD·sin∠DAC,sin∠ACD)＝eq\r(5)因?yàn)锳D∥BC,所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝eq\f(\r(5),5)，sin∠BCD＝sin∠ADC＝eq\f(2\r(5),5)在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7,(12分)所以S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq\f(1,2)×7×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝7.【變式5-2】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面積．【解析】：(1)因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(B,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(C,\s\up6(→))))cos∠BAC，所以cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(B,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(C,\s\up6(→)))))＝eq\f(50,13×10)＝eq\f(5,13).(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65).由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(102＋52－\r(65)2,2×10×5)＝eq\f(3,5).因?yàn)椤螩AD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝eq\r(1－cos2∠CAD)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).(3)由(1)知，cos∠BAC＝eq\f(5,13).因?yàn)椤螧AC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13).從而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD＝eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(5,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,65).所以S△BAD＝eq\f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＝eq\f(1,2)×13×5×eq\f(56,65)【考點(diǎn)易錯(cuò)】1.如圖，在△ABC中，∠B＝SKIPIF1<0，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝SKIPIF1<0．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長(zhǎng)．【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)7【點(diǎn)撥】（1）在三角形ADC中，由已知條件和外角定理可求得sin∠BAD；（2）利用正弦定理和余弦定理分別求得BD，AC的長(zhǎng)?！窘馕觥?1)在△ABC中，∵cos∠ADC＝SKIPIF1<0，∴sin∠ADC＝SKIPIF1<0，則sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC?cosB－cos∠ADC?sinB＝SKIPIF1<0．(2)在△ABD中，由正弦定理得SKIPIF1<0，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB?BCcosB＝82＋52－2×8×5×SKIPIF1<0＝49，即AC＝7．【總結(jié)】解答此類問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）畫(huà)出三角形，把相關(guān)數(shù)據(jù)標(biāo)注在三角形中，便于確定已知和所求；（2）明確求解所用的定理，有些題目正、余弦定理都可以求解；（3）注意對(duì)三角形的內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角定理的靈活運(yùn)用，避免增解、漏解的現(xiàn)象.2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A+C＝2B．(1)求cosB的值；(2)若b2＝ac，求sinAsinC的值．【點(diǎn)撥】由題設(shè)“A+C＝2B”易知B＝60°，又由邊之間的關(guān)系“b2＝ac”，如何求“sinAsinC”的值？正、余弦定理的運(yùn)用都可以求出值.【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以SKIPIF1<0．(2)解法一：由已知SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根據(jù)正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法二：由已知SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根據(jù)余弦定理得SKIPIF1<0，解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故SKIPIF1<0．【總結(jié)】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的邊、角等基本量是考試的重點(diǎn)，注意靈活利用三角形中的內(nèi)角和定理，實(shí)現(xiàn)角的互化，靈活利用正、余弦定理的變形.3.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．（1）求sinC的值；（2）當(dāng)a＝2，2sinA＝sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】（1）利用二倍角公式及三角形內(nèi)角的范圍，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理將角化為邊，易求得邊c，要求邊b，考慮用余弦定理，即先求出cosC的值.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，及SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）當(dāng)a＝2，2sinA＝sinC時(shí)，由正弦定理SKIPIF1<0，得c＝4．由SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．由余弦定理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【總結(jié)】解答該類題目要注意以下幾個(gè)方面：（1）借助圖形標(biāo)注已知和所求；（2）利用三角形的性質(zhì)把相關(guān)條件化歸到同一個(gè)三角形中；（3）注意靈活利用正、余弦定理，實(shí)施邊、角互化.4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＞c，已知SKIPIF1<0＝2，cosB＝SKIPIF1<0，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．【答案】(Ⅰ)a＝3，c＝2，(Ⅱ)SKIPIF1<0．【點(diǎn)撥】（1）由平面向量的數(shù)量積，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）畫(huà)出簡(jiǎn)易圖，將已知條件在圖上標(biāo)出來(lái)，運(yùn)用正弦定理求得角SKIPIF1<0的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵SKIPIF1<0＝2，cosB＝SKIPIF1<0，∴c?acosB＝2，即ac＝6①，∵b＝3，∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋c2－4，∴a2＋c2＝13②，聯(lián)立①②得：a＝3，c＝2；(Ⅱ)在△ABC中，sinB＝SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0得：sinC＝SKIPIF1<0sinB＝SKIPIF1<0，∵a＝b＞c，∴C為銳角，∴cosC＝SKIPIF1<0，則cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝SKIPIF1<0×SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0．【總結(jié)】解答該類題目要注意以下幾個(gè)方面：（1）借助圖形標(biāo)注已知和所求；（2）利用三角形的性質(zhì)把相關(guān)條件化歸到同一個(gè)三角形中；（3）注意靈活利用正、余弦定理，實(shí)施邊、角互化.5.SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng)．【答案】（=1\*ROMANI）由已知及正余弦定理得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（=2\*ROMANII）由已知，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由已知及余弦定理得，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0。6.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知SKIPIF1<0.(1)求證:SKIPIF1<0(2)若,求△ABC的面積.【解析】(1)證明:由SKIPIF1<0及正弦定理得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0整理得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(2) 由(1)及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以三角形ABC的面積SKIPIF1<0【總結(jié)】本題考查解三角形,三角形的面積,三角恒等變換、三角和差公式以及正弦定理的應(yīng)用.高考中,三角解答題一般有兩種題型:一、解三角形:主要是運(yùn)用正余弦定理來(lái)求解邊長(zhǎng),角度,周長(zhǎng),面積等;二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì):主要是運(yùn)用和角公式,倍角公式,輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換,求解三角函數(shù)的最小正周期,單調(diào)區(qū)間,最值(值域)等.來(lái)年需要注意第二種題型的考查.7.設(shè)銳角三角形SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的大?。唬?）求SKIPIF1<0的取值范圍．【點(diǎn)撥】（1）利用正弦定理將邊進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換，求得B的正弦值，進(jìn)而求B；（2）利用三角形中的內(nèi)角和定理，利用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解.【解析】（1）由SKIPIF1<0，根據(jù)正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為銳角三角形得SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0為銳角三角形知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由此有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．【總結(jié)】本題考查解三角形,三角恒等變換以及正弦定理的應(yīng)用.高考中,三角解答題一般有兩種題型:一、解三角形:主要是運(yùn)用正余弦定理來(lái)求解邊長(zhǎng),角度,周長(zhǎng),面積等;二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì):主要是運(yùn)用和角公式,倍角公式,輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換,求解三角函數(shù)的最小正周期,單調(diào)區(qū)間,最值(值域)等.來(lái)年需要注意第二種題型的考查.【鞏固提升】1、在△ABC中，cosC=SKIPIF1<0，AC=4，BC=3，則cosB=A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)余弦定理：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A．2.SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選C.3.泉城廣場(chǎng)上矗立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)志和象征．為了測(cè)量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)A處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為SKIPIF1<0，沿點(diǎn)A向北偏東SKIPIF1<0前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為SKIPIF1<0，則“泉標(biāo)”的高度為（）A．50m B．100m C．120m D．150m【答案】A【解析】如圖,SKIPIF1<0為“泉標(biāo)”高度,設(shè)高為SKIPIF1<0米，由題意,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0米,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,

在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,

由余弦定理可得SKIPIF1<0，

解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去),

故選：B.4.SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為_(kāi)________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<05、某小區(qū)有一個(gè)四邊形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，則該四邊形ABCD的面積等于__________m2．【答案】：500eq\r(3)【解析】：連結(jié)BD，在△BCD中，BC＝CD＝20，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝20eq\r(3)，S△BCD＝eq\f(1,2)×20×20×sin120°＝100eq\r(3)．在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝40，BD＝20eq\r(3)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD＝eq\f(1,2)×40×20eq\r(3)＝400eq\r(3)，∴四邊形ABCD的面積是500eq\r(3)m2．6、如圖，一棟建筑物的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD．在它們之間的地面點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為_(kāi)_______m．【答案】：60【解析】：如圖，在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin∠AMB)＝eq\f(30－10\r(3),sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),sin(45°－30°))＝eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq\r(6)m．又易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，從而∠ACM＝30°．在△AMC中，由正弦定理得eq\f(MC,sin45°)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，解得MC＝40eq\r(3)．在Rt△CMD中，CD＝40eq\r(3)×sin60°＝60m，故通信塔CD的高為60m．7、SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（I）求B；（II）若SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0的面積.【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(Ⅱ)由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8、如圖，甲船從A處以每小時(shí)30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A北偏西105°方向且與A相距10eq\r(2)海里處．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)C處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處，此時(shí)兩船相距10海里．(1)求乙船每小時(shí)航行多少海里？(2)在C處北偏西30°方向且與C相距eq\f(8\r(3),3)海里處有一個(gè)暗礁E，暗礁E周圍eq\r(2)海里范圍內(nèi)為航行危險(xiǎn)區(qū)域．問(wèn)：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無(wú)危險(xiǎn)？如有危險(xiǎn)，從有危險(xiǎn)開(kāi)始多少小時(shí)后能脫離危險(xiǎn)；如無(wú)危險(xiǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】：：(1)如圖，連結(jié)AD，由題知CD＝10，AC＝eq\f(20,60)×30＝10，∠ACD＝60°，∴△ACD是等邊三角形．∴AD＝10．又∠DAB＝45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AB×ADcos45°＝100，∴BD＝10，v＝10×3＝30(海里)．答：乙船的速度為每小時(shí)30海里．(2)在海平面內(nèi)，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以東西方向作x軸，以南北方向作y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．危險(xiǎn)區(qū)域在以E為圓心，半徑為r＝eq\r(2)的圓內(nèi)．∵∠DAB＝∠DBA＝45°，易知直線BD的方程為y＝eq\r(3)x，E的橫坐標(biāo)為ABcos15°－CEsin30°，縱坐標(biāo)為ABsin15°＋CEcos30°＋AC，求得A(5eq\r(3)＋5，5eq\r(3)－5)，C(5eq\r(3)＋5，5eq\r(3)＋5)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(11\r(3),3)，9＋5\r(3)))．點(diǎn)E到直線BD的距離為D1＝eq\f(|5\r(3)＋11