數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)推出與充分條件、必要條件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、充分條件與必要條件的判斷【例1】在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由。(1)A:｜p|≥2，p∈R。B：方程x2+px+p+3=0有實(shí)根；(2）A：圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切.B：c2=（a2+b2)r2.解析：（1)當(dāng)|p｜≥2時(shí)，例如p=3，則方程x2+3x+6=0無實(shí)根,而方程x2+px+p+3=0有實(shí)根，必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分條件.(2）若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，圓心到直線ax+by+c=0的距離等于r，即r=，所以c2=(a2+b2）r2；反過來，若c2=（a2+b2）r2,則=r成立，說明x2+y2=r2的圓心（0,0）到直線ax+by+c=0的距離等于r，即圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要條件。溫馨提示對(duì)于涉及充分必要條件判斷的問題,必須以準(zhǔn)確、完整理解充分、必要條件的概念為基礎(chǔ)，有些問題需轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題后才容易判斷。二、探究充分條件與必要條件【例2】設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x)=則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()A.b＜0且c＞0 B。b＞0且c＜0C.b＜0且c=0 D.b≥0且c=0解析：f(x)=故函數(shù)f（x)的圖象如右圖。由圖知，f（x）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，且f（x)≥0，若方程f2（x）+bf(x)+c=0①有7個(gè)解，則方程t2+bt+c=0②有兩個(gè)不等實(shí)根,且一根為正，一根為0。否則，若方程②有兩相等實(shí)根，則方程①至多有4個(gè)解，若方程②有兩個(gè)不等正實(shí)根，則方程①有8個(gè)解.∵f（x）=0滿足方程，則c=0，又∵另一個(gè)f(x）＞0，∴b=—f（x）＜0.故b＜0且c=0，選C.答案：C溫馨提示充分與必要條件的尋找，要重視它們的定義三、充要條件的證明【例3】證明：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為-1的充要條件是a-b+c=0。證明：①充分性∵a—b+c=0∴a·（—1)2+b·(—1）+c=0∴x=—1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根∴a-b+c=0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為—1的充分條件.②必要性∵x=—1是方程ax2+bx+c=0的根∴a·（-1)2+b·（—1）+c=0即a-b+c=0∴a—b+c=0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為-1的必要條件。綜合①②關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為-1的充要條件是a-b+c=0。溫馨提示p是q的充要條件，充分性是指pq，必要性是指qp.而p的充要條件是q，充分性則是指qp，必要性則是指pq。各個(gè)擊破類題演練１在△ABC中，命題p：，命題q：△ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的(）A。充分不必要條件B.必要不充分條件C。充分必要條件D。既不充分又不必要條件解析:由已知和正弦定理,得令則解得k=1.∴sinA=sinB=sinC,∴A=B=C.∴pq，p是q的充分條件，若△ABC為等邊三角形，則a=b=c，A=B=C,∴∴qp，q是q的必要條件.∴p為q的充分必要條件?！啻鸢?C變式提升１命題甲：“a，b，c成等差數(shù)列"是命題乙=2的（）A。必要不充分條件B.充分不必要條件C。充要條件D。既不充分也不必要條件解析:若a=b=c=0，則a，b，c也成等差數(shù)列，但推不出=2反過來由=2a+c=2b，即a,b，c成等差數(shù)列，故選A.類題演練2對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b,c，給出下列命題：①“a=b”是“ac=bc”的充要條件②“a+5是無理數(shù)"是“a是無理數(shù)”的充要條件③“a＞b”是“a2＞b2"④“a＜5”是“a＜3"的必要條件其中真命題的個(gè)數(shù)是()A。1 B.2 C。3 D.4解析:①中,當(dāng)c=0時(shí),ac=bc/a=b.故“a=b”是“ac=bc"的充分不必要條件，故①錯(cuò)誤。③中，“a>b"是“a2〉b2”②④正確.答案：B變式提升2已知條件p：x+y≠—2，條件q：x，y不都是—1，則p是q的(）條件。A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D。既不充分也不必要解析:p：x+y≠-2，q：x≠-1或y≠—1。p：x+y=—2，q:x=-1且y=-1.∵qp,但p/q?！鄍是q的充分且不必要條件,選A。類題演練3證明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0證明：充分性:若ac<0，則b2-4ac〉0且〈0∴方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)，即方程有一正根和一負(fù)根必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根則Δ=b2—4ac>0,x1·x2=<0∴ac〈0.變式提升3已知p：｜1—｜≤2,q:x2—2x+1—m2≤0(m＞0）,且p是q的必要而不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解