314空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示-高二數(shù)學(xué)理科選修教學(xué)課件(人教A版)

3.1

空間向量及其運(yùn)算

空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1.

空間任一向量可用一個(gè)基底表示嗎?這個(gè)基底是怎樣的一組向量?2.

空間向量的坐標(biāo)是基于怎樣的一個(gè)基底得到的?3.

已知向量的坐標(biāo),怎標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出向量?學(xué)習(xí)要點(diǎn)

問題1.

類比平面向量的基本定理,對(duì)于空間向量,你能敘述類似的一個(gè)結(jié)論嗎?空間向量基本定理:

如果三個(gè)向量a,b,c

不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得

p=xa+yb+zc.事實(shí)上,如圖所示:abp基本定理,在a,b

所在的平面內(nèi)找一向根據(jù)平面向量量g,使其與c,p

共面,則g=l1a+l2b,∴p=m1(l1a+l2b)+m2cgcabp=m1g+m2c.=xa+yb+zc.

問題1.

類比平面向量的基本定理,對(duì)于空間向量,你能敘述類似的一個(gè)結(jié)論嗎?空間向量基本定理:

如果三個(gè)向量a,b,c

不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得

p=xa+yb+zc.

如果三個(gè)向量a,b,c

不共面,那么所有空間向量組成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,zR}.這個(gè)集合可看作是由向量a,b,c

生成的,我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c

叫做基向量.空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

設(shè)e1,e2,e3

為有公共起點(diǎn)O

的三個(gè)兩兩垂直的單位向量,以e1,e2,e3

的公共起點(diǎn)O

為原點(diǎn),分別為e1,e2,e3

的方向?yàn)閤

軸、y

軸、z

軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,那么,對(duì)于空間任意一個(gè)向量p,一定可以把它平移,使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O

重合,得到向量

=p.由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得

p=xe1+ye2+ze3.我們把x,y,z

稱作向量p

在單位正交基底

e1,e2,e3下的坐標(biāo),記作p=(x,y,z).xyze1e2e3OP(1.5,3,2)p1.5e13e22e3p=1.5e1+3e2+2e3=(1.5,3,2).如圖:xyze1e2e3OP(1.5,3,2)p1.5e13e22e3空間任一向量p

可用空間直角坐標(biāo)(x,y,z)表示,它是由單位正交基底e1,e2,e3表示的向量p=xe1+ye2+ze3的系數(shù).當(dāng)向量p=(x,y,z)的起點(diǎn)移到原點(diǎn)時(shí),向量坐標(biāo)就是終點(diǎn)坐標(biāo).

例4.

如圖,M,N

分別是四面體OABC

的邊OA,BC

的中點(diǎn),P,Q

是MN

的三等分點(diǎn).用向量表示和OABCMNPQ解:

例4.

如圖,M,N

分別是四面體OABC

的邊OA,BC

的中點(diǎn),P,Q

是MN

的三等分點(diǎn).用向量表示和OABCMNPQ解:

例(補(bǔ)充).

已知正方體的棱長(zhǎng)為6,在如圖的空間坐標(biāo)系中,標(biāo)出向量a=(3,4,6),b=(6,3,0),c=(0,6,4).xyzO解:標(biāo)出的向量如圖:ABC練習(xí):(補(bǔ)充)

如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為6,寫出向量

(D為棱的中點(diǎn))的坐標(biāo).xyzOABCD練習(xí):(課本94頁)第1、2題.練習(xí):(補(bǔ)充)

如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為6,寫出向量

(D為棱的中點(diǎn))的坐標(biāo).xyzOABCD解:練習(xí):(課本94頁)

1.

已知向量{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,從a,b,c中選哪一個(gè)向量,一定可以與向量p=a+b,q=a-b

構(gòu)成空間的另一個(gè)基底?解:因?yàn)閜

向量,q

向量都與向量a,b

共面,而c

向量與a,b

不共面,所以選向量c

與p,q

可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底.2.

已知O,A,B,C

為空間四個(gè)點(diǎn),且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么點(diǎn)O,A,B,C

是否共面?解:不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,共面,則O,A,B,C

四點(diǎn)共面.【課時(shí)小結(jié)】1.

空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c

不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得

p=xa+yb+zc.

空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c

叫做基向量.【課時(shí)小結(jié)】2.

空間向量的坐標(biāo)單位正交基底:兩兩互相垂直的單位向量.

用x,y,z

方向的單位正交基底表示空間任一向量p=xe1+ye2+ze3其系數(shù)即為向量的坐標(biāo)p=(x,y,z).

當(dāng)向量p=(x,y,z)的起點(diǎn)移到原點(diǎn)時(shí),向量坐標(biāo)就是終點(diǎn)坐標(biāo).練習(xí):(課本94頁)第3題.習(xí)題3.1A組第6題.ABCOA

B

C

O

G3.

已知平行六面體OABC-O

A

B

C

,點(diǎn)G

是側(cè)面BB

C

C

的中心,且用a,b,c

表示下列向量:

(1)(2)解:(1)=a+b+c.=-b+c.=a-b+c.練習(xí):(課本94頁)ABCOA

B

C

O

G3.

已知平行六面體OABC-O

A

B

C

,點(diǎn)G

是側(cè)面BB

C

C

的中心,且用a,b,c

表示下列向量:

(1)(2)解:(2)練習(xí):(課本94頁)習(xí)題3.1A組

6.

已知向量a,b,c分別平行于x軸、y軸、z軸,它們的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)?xyzOAB