數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)函數(shù)的奇偶性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、函數(shù)奇偶性的概念,函數(shù)奇偶性的判定與證明【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1）f（x)=x3+x；(2）f（x）=（x-1)·;（3)f（x)=+。思路分析：利用函數(shù)奇偶性的定義判斷.解：（1）∵定義域?yàn)镽，f（-x）=（—x)3+（—x)=-x3-x=-f（x),∴f(x）為奇函數(shù).(2）∵定義域?yàn)椋鹸|x＞1或x≤—1｝，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,∴f(x）為非奇非偶函數(shù)。（3）∵定義域?yàn)椋?,2｝，f(—x）=0=f(x)=-f（x)，∴f（x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。溫馨提示第(2）小題易錯(cuò)解為：∵f(x)=(x—1)·=，f(-x）===f（x），∴f(x）為偶函數(shù)。二、函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用【例2】（1)若奇函數(shù)y=f(x)是定義在［-1，1］上的減函數(shù),且f(1-a）+f（1—a2）＞0,求a的取值范圍;（2）若f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(—∞，0）上是增函數(shù),又f(2a2+a+1)＜f(3a2—2a+1）,求a的取值范圍。思路分析：（1）去掉函數(shù)符號(hào)f，等價(jià)變換出a的不等式.利用f（x)為奇函數(shù)和減函數(shù)的性質(zhì)。（2)利用f（x）為偶函數(shù)的性質(zhì)和證在（0，+∞）上為減函數(shù),這個(gè)證明不可少。解:(1）由奇函數(shù)的性質(zhì),-f(1—a2）=f(a2-1),即f（1—a）+f(1-a2)＞0等價(jià)于f(1—a)＞f（a2—1)，又f(x）是定義在［-1，1］上的減函數(shù)，得解之，得1＜a≤.（2)任取x1\，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，則-x1＞—x2.∵f（x)是區(qū)間（-∞，0)上的增函數(shù),∴f（-x1）＞f（-x2）。又f（x）為偶函數(shù),得f（x1）＞f（x2），即f(x）在(0,+∞)上是減函數(shù),容易判斷2a2+a+1和3a2—2a+1是兩個(gè)正數(shù)?！鄁（2a2+a+1）＜f（3a2-2a+1）等價(jià)于2a2+a+1＞3a2-2a+1。解之，得0＜a＜3.三、根據(jù)奇偶性求函數(shù)的解析式【例3】已知f（x)是奇函數(shù),且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x)=x2—2x,求當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的表達(dá)式。思路分析：函數(shù)只要設(shè)x＜0，則—x＞0,再由奇函數(shù)定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化。解:設(shè)x＜0，則—x＞0,∴f(-x）=(—x）2-2（—x)=x2+2x。又∵f（x）為奇函數(shù),∴f（—x)=-f（x).∴f（x)=—（x2+2x)=-x2—2x?！喈?dāng)x＜0時(shí),f（x）=—x2-2x.溫馨提示此題易錯(cuò)解為:∵f(x）為奇函數(shù),∴f（—x)=—f（x）=—（x2-2x)=—x2+2x?！喈?dāng)x＜0時(shí),f(x)=—x2+2x。應(yīng)該注意:（1)在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間里;（2)然后要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入；(3）利用f(x)的奇偶性,把f（—x）寫成-f（x)或f(x），從而解出f（x)。各個(gè)擊破類題演練1設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x—a|+1，x∈R,討論f（x）的奇偶性.解析:當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(—x)=（-x）2+|—x｜+1=x2+｜x|+1=f(x），∴f（x）為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí),f（a）=a2+1,f(-a)=a2+2|a｜+1，f(—a）≠f(a），f(-a）≠-f(a）.此時(shí)函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。變式提升1若f（x)=ax2+bx+c（a≠0）是偶函數(shù)，則g(x)=ax3+bx2+cx是（）A.奇函數(shù)B。偶函C。非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)解析：∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)為偶函數(shù)，∴b=0,從而g(x）=ax3+bx2+cx為奇函數(shù)。答案：A類題演練2設(shè)f(x)在R上是奇函數(shù)，在區(qū)間（-∞,0)上遞增，且有f（2a2+a+1）〈f(3a2—2a+1）。求a的取值范圍.解析：由f（x)在R上是奇函數(shù),在區(qū)間（—∞，0）上遞增，知f（x)在(0，+∞)上遞增。∵2a2+a+1=2（a+)2+>0，3a2-2a+1=3(a）2+〉0，且f（2a2+a+1）〈f（3a2-2a+1），∴2a2+a+1〈3a2—2a+1,即a2-3a>0。解之，得a〈0或a〉3.變式提升2已知f(x）=x5+ax3+bx—8且f（2)=10,求f(-2).解析：令g（x)=f（x)+8=x5+ax3+bx，則g(x）是奇函數(shù),∴g(—2）+g(2）=0.∴f(—2）+8+f(2）+8=0.∵f（2)=10,∴f(—2)=-26.類題演練3已知f（x）是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x｜x-2｜,求x<0時(shí)f(x）的表達(dá)式。解析：設(shè)x〈0，則—x〉0，且滿足表達(dá)式f(x)=x|x-2|，∴f(—x)=-x|—x-2｜=-x｜x+2|。又f（x)是奇函數(shù),有f（-x）=—f（x),∴-f(x）=-x｜x+2｜.∴f(x)=x|x+2｜。故當(dāng)x<0時(shí)，f（x)的表達(dá)式為f(x）=x｜x+2｜。變式提升3已知函數(shù)y=f（x）在R上是奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2—2x，則f（x)在R上的解析式為…(）A。f(x)=x（x-2）B。f(x)=｜x|（x—2)C.f（x）=|x|(｜x|—2）