（6）不等式-2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項(xiàng)匯編含答案

（6）不等式

——2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項(xiàng)匯編一、選擇題1．[2024屆·長(zhǎng)沙市第一中學(xué)·模擬考試]若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為()A.4 B.6 C.9 D.162．[2024屆·長(zhǎng)沙市第一中學(xué)·二模]已知函數(shù)，若（其中），則的最小值為()A.4 B.2 C. D.3．[2024屆·湖北·模擬考試聯(lián)考]已知集合，集合B滿足，則B可以為()A. B. C. D.4．[2024屆·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)·一模]設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為()A.12 B.24 C. D.5．[2024屆·重慶市第八中學(xué)·模擬考試]已知集合，，則()A. B. C. D.6．[2024屆·河北·模擬考試]已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為()A.2 B. C. D.7．[2024屆·海南·模擬考試?？糫已知集合，，則()A. B. C. D.2二、多項(xiàng)選擇題8．[2024屆·湖北·模擬考試聯(lián)考]若，則()A. B.C. D.9．[2024屆·吉林吉林·模擬考試?？糫a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.三、填空題10．[2024屆·貴州·模擬考試聯(lián)考]以表示數(shù)集M中最大（?。┑臄?shù).設(shè)，，，已知1，則__________.11．[2024屆·河北衡水·二模聯(lián)考]設(shè)集合，，則，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.12．[2024屆·海南省華僑中學(xué)·二模]已知，，且，則的最小值為_______________．13．[2024屆·全國(guó)·模擬考試]已知，是實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)取得最大值時(shí)，_________.14．[2024屆·吉林吉林·模擬考試?？糫設(shè)，則函數(shù)的最小值是__________.15．[2024屆·合肥一六八中學(xué)·模擬考試]設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，記S為x，，中的最小值，則S的最大值為______.

參考答案1．答案：A解析：方法一：由，可得，所以由a，b為正數(shù)且，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：A.方法二：由，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：A.2．答案：C解析：，由，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選C.3．答案：C解析：由集合或，則.故選：C4．答案：B解析：，，變形為，令，，則轉(zhuǎn)化為，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，可知.故選：B5．答案：D6．答案：B解析：因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，且，得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以.故選：B.7．答案：C解析：因?yàn)榛?，所?故選：C.8．答案：ACD解析：，又，所以，，所以，即，故A正觕；當(dāng)，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤，，又，所以，，所以，即，故C正確因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選ACD.9．答案：ACD解析：因?yàn)閍，b，c，d均為實(shí)數(shù)，且，，由不等式的基本性質(zhì)可得，，AC選項(xiàng)正確；因?yàn)?，則，故，D選項(xiàng)正確；取，，，，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ACD.10．答案：解析：由，得，設(shè)，則，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).11．答案：解析：由題意，或，若滿足，則，又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.12．答案：16解析：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，取得最小值為16.故答案為：16.13．答案：5解析：..，.取等條件：，或，.14．答案：9解析：由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值是最小值為9.故答案為：9.15．答案：解析：方法一：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，若，則；若，則；③當(dāng)時(shí)，，，，；④當(dāng)時(shí)，，，，同理，當(dāng)時(shí)，可以證明綜上所述：S的最大值為.方法二：由題意知，，則，所以，解得，故S的最大值為.故答案為：（7）空間向量與立體幾何

——2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項(xiàng)匯編一、選擇題1．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷高考真題]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為()A. B. C. D.2．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷高考真題]已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為()A. B.1 C.2 D.33．[2024屆·合肥一六八中學(xué)·模擬考試]設(shè)b，c表示兩條直線，，表示兩個(gè)平面，則下列命題正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4．[2024屆·浙江溫州·二模]在正三棱臺(tái)中，下列結(jié)論正確的是()A. B.平面C. D.5．[2024屆·山東臨沂·二模]已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則()A.直線MN與所成角的余弦值為B.平面BMN與平面夾角的余弦值為C.在上存在點(diǎn)Q，使得D.在上存在點(diǎn)P，使得平面BMN6．[2024屆·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)·模擬考試]將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得，則異面直線和所成角的余弦值為()A. B. C. D.7．[2024屆·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)·模擬考試]已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，則該球表面積為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題8．[2024屆·河北邢臺(tái)·模擬考試聯(lián)考]在中，，，，E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BC上，且，將以直線BC為軸順時(shí)針轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)圓錐，D為底面圓上一點(diǎn)，滿足，則()A.B.在上的投影向量是C.直線與直線所成角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為9．[2024屆·河南·模擬考試聯(lián)考]將圓柱的下底面圓置于球O的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球O的內(nèi)壁相接(球心O在圓柱內(nèi)部).已知球O的半徑為3，.若R為上底面圓的圓周上任意一點(diǎn)，設(shè)RO與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為V，則()A.可以取到中的任意一個(gè)值B.C.的值可以是任意小的正數(shù)D.三、填空題10．[2024屆·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)·模擬考試]如圖，四邊形是正方形，平面，且，M是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為_____________.11．[2024屆·海南·模擬考試?？糫米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉(cāng)、糧棧、米行的必備的用具．為使堅(jiān)固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化韻味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品．如圖的米斗可以看作一個(gè)正四棱臺(tái)，已知該米斗的側(cè)棱長(zhǎng)為，兩個(gè)底邊長(zhǎng)分別為和，則該米斗的外接球的表面積是__________．四、雙空題12．[2024屆·福建·階段性考試]已知圓錐的母線，側(cè)面積為，則圓錐的內(nèi)切球半徑為_________；若正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的最大棱長(zhǎng)為__________．五、解答題13．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷高考真題]如圖，四棱錐中，底面，，，.（1）若，證明：平面PBC；（2）若，且二面角的正弦值為，求AD.14．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷高考真題]如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得，（1）證明：：（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.15．[2024屆·湖北·模擬考試聯(lián)考]如圖，在三棱錐中，與都為等邊三角形，平面平面，M，O分別為，的中點(diǎn)，且，N在棱上，且滿足，連接.（1）求證：平面；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案1．答案：B解析：設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為r，因?yàn)樗鼈兊母呔鶠?，且?cè)面積相等，所以，得，所以圓錐的體積，故選B.2．答案：B解析：設(shè)正三棱臺(tái)的高為h，三條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)P，作平面ABC于點(diǎn)O，PO交平面于點(diǎn)，連接，，如圖所示.由，可得，，又，，所以正三棱臺(tái)的體積，解得，故.由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，O為底面ABC的中心，則，因?yàn)槠矫鍭BC，所以是與平面ABC所成的角，在中，，故選B.3．答案：D解析：若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；若，，則或，故B錯(cuò)誤；若，，則或或c與相交，相交也不一定垂直，故C錯(cuò)誤；若，過c的平面與相交，設(shè)交線為a，則，又，則，而，則，故D正確.故選：D.4．答案：D解析：5．答案：C解析：6．答案：A解析：如圖所示：分別取，，中點(diǎn)為E，F(xiàn)，G，連接，，，，，，則，，所以為異面直線與所成的角，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為，則，，在等腰直角三角形中，因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以，同理可得，.因?yàn)椋允堑妊苯侨切?又因?yàn)辄c(diǎn)F為的中點(diǎn)，所以.在中，，所以是等邊三角形，所以，所以.故選：A.7．答案：B解析：如圖，設(shè)P在底面的射影為H，則平面，且H為，的交點(diǎn).因?yàn)檎睦忮F底面邊長(zhǎng)為4，故底面正方形的面積可為16，且，故，故.由正四棱錐的對(duì)稱性可知O在直線上，設(shè)外接球的半徑為R，則，故，故，故正四棱錐的外接球的表面積為，故選：B.8．答案：ABD解析：旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點(diǎn)為C，底面圓心為B，半徑，所以所對(duì)的圓心角為，A正確.易知B正確.以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，C錯(cuò)誤.設(shè)平面的法向量為，則令，則.設(shè)直線與平面所成的角為，則，D正確.9．答案：BCD解析：過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，由RO與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，故B正確；當(dāng)點(diǎn)P，Q均在球面上時(shí)，角取得最小值，此時(shí)，所以，所以，故A錯(cuò)誤；令，所以，所以，另，解得兩根，，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以，，故CD正確；故選：BCD.10．答案：解析：因?yàn)槠矫?，則，，又四邊形是正方形，則，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，則，，，又M是線段的中點(diǎn)，則，則，，則，設(shè)異面直線與所成角為，即，則，所以，即異面直線與所成角的正切值為.故答案為：.11．答案：解析：由題意，米斗的示意圖如下：設(shè)棱臺(tái)上底面中心為，下底面中心為，由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，外接球的球心O落在直線上，由題意該四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為和，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，所以，設(shè)外接球的半徑為R，設(shè)，若O在線段上，則，因?yàn)榇怪庇谏舷碌酌?，所以，即，又，即，?lián)立解得，，所以該米斗的外接球的表面積為．若O在的延長(zhǎng)線上，則，同理有，解得（舍）.故答案為：.12．答案：①.②.解析：如圖，在圓錐中，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，底面圓半徑為r，因?yàn)閭?cè)面積為，所以，即．因?yàn)椋?，所以．棱長(zhǎng)為a的正四面體如圖所示，則正方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球半徑為．取軸截面，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，解得，即圓錐的內(nèi)切球半徑為．因?yàn)檎拿骟w能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以，即，所以正四面體的最大棱長(zhǎng)為．故答案為：；.13．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）由于底面，底面，，又，，平面，平面PAB，又平面，.，，，平面，平面，平面PBC.（2）由題意知DC，AD，AP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點(diǎn)D且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，，，，，.設(shè)平面CPD的法向量為，則，即，可取.設(shè)平面ACP的法向量為，則，即，可取.二面角的正弦值為，余弦值的絕對(duì)值為，故，又，，即.14．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）由題，，，又，所以由余弦定理得，故.又，所以.由及翻折的性質(zhì)知，，又，面PED，所以面PED.又面PED，所以.（2）如圖，連接CE，由題，，，，故.又，，所以，故.又，，面ABCD，所以面ABCD.EF，ED，PE兩兩垂直，故以E為原點(diǎn)，EF，ED，PE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，連接PA，則，，，.設(shè)面PCD的法向量為，則，可取.設(shè)面PBF即面PAF的法向量為，則，可取..故面PCD與面PBF所成二面角的正弦值為.15．答