專題07巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問題

專題07巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問題題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問題題型三：模長(zhǎng)的范圍問題【典型例題】題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問題例1．（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）滿足，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以.故選：A例2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足：，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知滿足的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)和為端點(diǎn)的線段的中垂線，的中點(diǎn)為，的最小值就是原點(diǎn)到直線的距離即為，故選：B．例3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則的最大值與最小值的和為___________.【答案】【解析】由幾何意義可得：復(fù)數(shù)表示以（）為圓心的半徑為1的圓，則.故答案為：變式1．（2023春·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)?？计谀┰谥?，，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線、于不同的兩點(diǎn)、．設(shè)，，復(fù)數(shù)，則取到的最小值為__．【答案】【解析】在中，因?yàn)?，所?又，，所以.因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)镸、E、N三點(diǎn)共線，所以，即，復(fù)數(shù)，所以，令，故當(dāng)，取最小值.故答案為：變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)和，i為虛數(shù)單位，求的最大值和最小值．【解析】復(fù)數(shù)和，則由，可得則的最大值，最小值題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問題例4．著名的費(fèi)馬問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德費(fèi)馬（16011665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則表示點(diǎn)到三頂點(diǎn)、、的距離之和.依題意結(jié)合對(duì)稱性可知的費(fèi)馬點(diǎn)位于虛軸的負(fù)半軸上，且，則.此時(shí).故選：B.例5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】復(fù)數(shù)滿足，表示以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓，則的表示圓上的點(diǎn)到和的距離，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在處最小，最小為:，當(dāng)點(diǎn)在處最大，最大為，則的取值范圍是，故答案為：例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由于復(fù)數(shù)滿足，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓上，設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為.表示圓上的點(diǎn)到和兩點(diǎn)距離之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案為：.變式3．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高一東北育才學(xué)校校考）已知復(fù)數(shù)滿足，求的最小值______．【答案】10【解析】復(fù)數(shù)，由，即，于是得，整理得，，即，表示點(diǎn)與點(diǎn)、距離的和，顯然點(diǎn)P在x軸上，而線段AB與x軸相交，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)取“=”，所以的最小值是10.故答案為：10題型三：模長(zhǎng)的范圍問題例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z是以為圓心，2為半徑的圓上及圓內(nèi)，所以表示Z到的距離，故其范圍為.故答案為：.例8．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，復(fù)數(shù)的在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由，可知點(diǎn)的軌跡為以，為端點(diǎn)的一條線段，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，觀察圖象可知當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為1，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以取值范圍為.故答案為：.例9．（2023春·全國(guó)·高一期末）已知復(fù)數(shù)z滿足，那么的取值范圍為_________.【答案】【解析】設(shè)，由可得即，表示點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為2.又點(diǎn)，之間的距離為2，所以表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以，為端點(diǎn)的線段表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與的距離，如圖在z取時(shí)有最小值3，z取或時(shí)有最大值，故取值范圍為.故答案為：變式4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(shè)(),則其幾何意義為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，距離之差，由圖可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，距離之差最大，當(dāng)時(shí)，最小，則．的取值范圍是．故答案為：．變式5．（2023·山西晉中·高二榆次一中?？奸_學(xué)考試）已知z為復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.因?yàn)辄c(diǎn)與原點(diǎn)O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，不妨設(shè)，,則.因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?故選:C.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由可知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑為的圓，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，因?yàn)?，所以，?故選：B2．（2023春·廣東潮州·高一潮州市松昌中學(xué)?？计谥校┮阎?，（i為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示以為圓心，為半徑的圓，則圓心C到點(diǎn)的距離＝，則的最大值為.故選：A3．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的命題中真命題為（）A．若，則 B．若，則C．若，則的最大值為2 D．若，則【答案】C【解析】A：由得或，錯(cuò)誤．B：由得：，錯(cuò)誤；C：當(dāng)|z+i|＝1時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(0，1)為圓心，1為半徑的圓上，故|z|的最大值為2，正確；D：當(dāng)，時(shí)，，錯(cuò)誤．故選：C二、多選題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，令，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】AD【解析】根據(jù)題意，有，且，于是為以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，其取值范圍是，因此的最小值為，最大值為．故選：AD.5．（2023春·江西宜春·高一校考期末）設(shè)，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).則下列說法正確的是（

）A．若為實(shí)數(shù)，則B．若為純虛數(shù)，則C．當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D．的最小值為【答案】ABD【解析】若為實(shí)數(shù)，則虛部為0，即，故正確；若為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，即，故正確；當(dāng)時(shí)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故錯(cuò)誤；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故正確，故選:.6．（2023春·河北保定·高一統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．若、互為共軛復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B．若為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C．已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則D．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，所以，為實(shí)數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)（互為共軛復(fù)數(shù)），所以為方程的兩根，則，所以，，解得，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).故選：ACD.三、填空題7．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，、，是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則的最小值為______.【答案】【解析】復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，所以，得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下面給出的幾個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的命題，①若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)②復(fù)數(shù)是純虛數(shù)③復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限④如果復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是2以上命題中，正確命題的序號(hào)是______.【答案】②③【解析】對(duì)于①，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以是純虛?shù)，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)?，，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故③正確；對(duì)于④，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)和到點(diǎn)的距離之和，又因?yàn)椋詮?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在線段AB上，而表示點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離，所以其最小值為，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知z是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則的最小值是__________．【答案】.【解析】設(shè)，，且，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，，則，當(dāng)時(shí)，取到最值.故答案為：．10．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知z是虛數(shù)是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則的最小值是__________．【答案】【解析】設(shè)（a，，且），則．因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即．因?yàn)椋?，所以，則．因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，則．故答案為：11．（2023春·廣東·高一校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為________．【答案】1【解析】設(shè)，由可得，軌跡是以原點(diǎn)為圓心以2為半徑的圓，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)到的距離，則最小值為，故答案為：112．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高一東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)，，則的最大值是__________.【答案】【解析】由題意可得，由三角不等式可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面中，已知點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且滿足，則的最大值為___________.【答案】【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為且則可確定點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上又，所以為圓的直徑，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以因?yàn)樗杂?，，則所以即的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.14．（2023·上海·高三專題練習(xí)）如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最大值是_____.【答案】5【解析】設(shè)，，則，變形為，兩邊平方后得到，兩邊平方后得到，將代入，即，故，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為5故答案為：515．（2023秋·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤绻麖?fù)數(shù)滿足，則的最大值是___________.【答案】【解析】設(shè)，則因?yàn)椋?，?令，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，即，所以的最大值是.故答案為：16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_______.【答案】【解析】復(fù)數(shù)滿足，即即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足設(shè)，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離數(shù)形結(jié)合可知的最大值故答案為：17．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____．【答案】【解析】，，，，即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．四、解答題18．（2023秋·山東日照·高二日照一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位）．(1)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求的取值范圍；(2)求的最小值．【解析】（1），則，解得；（2），則，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為．19．（2023春·山西忻州·高一校聯(lián)考期末）已知復(fù)數(shù)，，，，，(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求|的最小值.【解析】(1)∵∴是實(shí)數(shù)，∴，即∴∵，∴，即，的實(shí)部的取值范圍為；(2)，∵∴∵，∴∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取到最小值,由于，故的最小值為20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，在復(fù)平面坐標(biāo)系中，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．(1)求；(2)若復(fù)數(shù)z滿足（為的共軛復(fù)數(shù)），且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，求點(diǎn)Z與點(diǎn)之間的最小距離．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以；?）由（1）可得，，曲線，即，因此曲線是復(fù)平面內(nèi)以圓心，半徑為1的圓，如圖，故與之間的距離為，所以與之間的最小距離為，21．（2023春·山東淄博·高一統(tǒng)考期中）（1）已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程，若是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求出，的值；（2）復(fù)數(shù)的最大