第4章相似三角形（單元測(cè)試拔尖卷）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（浙教版）

第4章相似三角形（單元測(cè)試·拔尖卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見(jiàn)，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿(mǎn)足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對(duì)2．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，則的值是（

）

A． B． C． D．3．（2021·山東德州·中考真題）將含有的三角板按如圖所示放置，點(diǎn)在直線(xiàn)上，其中，分別過(guò)點(diǎn)，作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，，點(diǎn)到直線(xiàn)，的距離分別為，，則的值為（

）A．1 B． C． D．4．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市南渝中學(xué)校校考期中）如圖，點(diǎn)D是△ABC中AB邊上靠近A點(diǎn)的四等分點(diǎn)，即4AD＝AB，連接CD，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)，連接BF與CD交于點(diǎn)E，點(diǎn)E恰好是CD的中點(diǎn)，若S△ABC＝8，則四邊形ADEF的面積是（

）A．4 B． C．2 D．5．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)）上．以原點(diǎn)為位似中心，畫(huà)使它與的相似比為，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C．或 D．或6．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，已知、，與相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則值為（

）

A． B． C． D．7．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．當(dāng)線(xiàn)段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．8．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，平分，，、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．圖中共有三個(gè)等腰直角三角形 B．C． D．9．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B是線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，在射線(xiàn)上取一點(diǎn)C，使，在射線(xiàn)上取一點(diǎn)D，使．所在直線(xiàn)的關(guān)系式為，點(diǎn)F、G分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．810．（2023·浙江溫州·?？既＃┤鐖D所示，正方形由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，且內(nèi)接于正方形，連接，．已知正方形與正方形面積之比為，若，則（

）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，且，則．12．（2023秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，M，N分別是BC，AC邊上一點(diǎn)，連接AM，BN交于點(diǎn)P，若，，則．13．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）正方形中，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，連結(jié)交對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)G，若恰好平分，，則的值為．14．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形稱(chēng)為黃金矩形．古希臘很多矩形建筑中寬與長(zhǎng)的比都等于黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，以AB為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形ABEF，若AD＝1，則DF＝．15．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，，垂足為E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，那么．16．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，，，若正方形的頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)、都在上，射線(xiàn)交邊于點(diǎn)，則長(zhǎng)為．

17．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：等腰直角三角形中，E為邊上一點(diǎn)，．將沿著翻折得到線(xiàn)段，連接，若，則．

18．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，點(diǎn)在直線(xiàn)上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，相交于點(diǎn)，則的最小值為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，于點(diǎn)D，M是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)P，．若，求的長(zhǎng)．

20．（8分）（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長(zhǎng)．21．（10分）（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽(yáng)光的照射下，塔影DE留在坡面上.若鐵塔底座寬CD=12m，塔影長(zhǎng)m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時(shí)刻小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長(zhǎng)分別為2m和1m，求塔高AB．22．（10分）（2022秋·安徽六安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，在，，，D為上一點(diǎn)，連接，分別過(guò)點(diǎn)A、B作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M．（1）求證：；（2）若點(diǎn)D滿(mǎn)足，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，若點(diǎn)E為中點(diǎn)，連接，求證：．

圖1

圖223．（10分）（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．24．（12分）（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，線(xiàn)段、的長(zhǎng)是一元二次方程的兩個(gè)根，且.

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A交線(xiàn)段于點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；（4）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以為直角頂點(diǎn)的與相似，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案1．A【分析】點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，則，即可求解．解：由題意知，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，∴，∴（20?x）2＝20x，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．A【分析】過(guò)點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,可證．同理，可得，，；由,得，于是；設(shè)，則，，，從而得．解：過(guò)點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．設(shè)，則，∴∴．∴．∴．∴．故選：A【點(diǎn)撥】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理；由平行線(xiàn)得到線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】設(shè)交于點(diǎn)，由，得三角形BCM為等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三邊長(zhǎng)比及等腰直角三角形的邊長(zhǎng)比，設(shè)BC為x，可得MA為，再由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求解．解：設(shè)交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，三角形為等腰直角三角形，在Rt△ABC中，設(shè)長(zhǎng)為，則，∵，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，含特殊角直角三角形的性質(zhì)及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，解題關(guān)鍵是掌握含特殊角的直角三角形的邊長(zhǎng)比．4．D【分析】過(guò)D點(diǎn)作DG∥EF，連接AE，，GF＝FC，再計(jì)算△ADE和△AEF的面積即可．解：過(guò)D點(diǎn)作DG∥EF，連接AE，∵點(diǎn)E恰好是CD的中點(diǎn)，4AD＝AB，∴，GF＝FC，設(shè)AG＝k，則AF＝4k，GF＝3k，F(xiàn)C＝3k，∴，∵，S△ABC＝8，∴，∴，∵，∴，∴＝．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，掌握等高三角形面積之比等于底之比是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)畫(huà)出三角形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可畫(huà)出圖形，根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可．解：如圖所示，當(dāng)和在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，∵與的相似比為2，，∴，即；如圖所示，當(dāng)和在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，∵與的相似比為2，，∴，即；綜上所述，或，故選C．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了求位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，．兩種情況是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】證明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，∴，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，求出．7．D【分析】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線(xiàn)段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)得，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，由證明，可得，，則，是等腰直角三角形，由，可得，由三角形外角的性質(zhì)可得，證明，列比例式并結(jié)合等量代換可得．解：如圖：

四邊形是矩形，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故A錯(cuò)誤；，，，，故B正確；，，故D正確；，，，，，故C正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．9．A【分析】如圖所示，連接，設(shè)射線(xiàn)交射線(xiàn)于H，過(guò)點(diǎn)H作于M，連接，先根據(jù)三線(xiàn)合一定理得到，，進(jìn)而證明四邊形是矩形，得到，，故當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，即最小，最小值為，設(shè)，則，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出或（舍去），則的最小值為．解：如圖所示，連接，設(shè)射線(xiàn)交射線(xiàn)于H，過(guò)點(diǎn)H作于M，連接，∵，，點(diǎn)F、G分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是矩形，∴，，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∴當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，即最小，最小值為，∵點(diǎn)H在直線(xiàn)上，∴可設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴的最小值為，故選A．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)與判定，三線(xiàn)合一定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，證明四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】設(shè)，，則，根據(jù)正方形與正方形面積之比為，得到，求出，作交于點(diǎn)M，作交于點(diǎn)P，證明出，設(shè)，則然后利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后解方程求解即可．解：由題意可得，∴設(shè)，，則，∵，∴，∵正方形與正方形面積之比為，∴，即，∴整理得，∴，解得或（舍去），∴，∴，如圖所示，作交于點(diǎn)M，作交于點(diǎn)P，

由題意可得，，∵，∴四邊形，是矩形，∴，，∴，∴設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴整理得，∴，∴解得或（舍去），∴．故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．11．30【分析】設(shè)，，，根據(jù)得到，求得，從而得出，，，代入進(jìn)行計(jì)算即可．解：，設(shè)，，，，，解得：，，，，，故答案為：30．【點(diǎn)撥】本題考查了比的性質(zhì)，設(shè)，，，根據(jù)求出的值是解題的關(guān)鍵．12．【分析】過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)Q，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得，設(shè)，求出，即可求解．解：過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)Q，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，則，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，根據(jù)題意，找出線(xiàn)段之間的比例關(guān)系．13．或4【分析】延長(zhǎng)交于R，作于T，不妨設(shè)，，，可證得是等腰三角形，可推出，進(jìn)而表示出，然后解，從而求出x的值，進(jìn)而可得結(jié)果．解：如圖，延長(zhǎng)交于R，作于T，，不妨設(shè)，，則，設(shè)，四邊形是正方形，，，，，，，恰好平分，，，，，在中，，，由勾股定理得，解得，，或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述，或4，故答案為：或4．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造出等腰三角形．14．【分析】先根據(jù)黃金矩形求出AB，再利用正方形的性質(zhì)求出AF，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：∵矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=ADAF=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得到，利用三角形的三線(xiàn)合一得，過(guò)O作交于點(diǎn)Q，則有，，計(jì)算即可．解：∵是矩形，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，過(guò)O作交于點(diǎn)Q，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．16．【分析】證明，，由相似三角形的性質(zhì)得出，，設(shè)，可得，，從而可得出答案．解：∵四邊形為正方形，，∴，，∴，，∴，，設(shè)，∴，，∴，∴，∴．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明與是解題的關(guān)鍵．17．2【分析】如圖，作，使，連接，，交于，過(guò)作于，可得，，，證明，可得，求解，，可得，，由對(duì)折可得：，，，，證明，可得，再證明，可得，，則有，，求解，可得，證明，從而可得答案．解：∵等腰直角三角形，，∴，，如圖，作，使，連接，，交于，過(guò)作于，

∵等腰直角三角形，∴，，，∴，，，∴，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，由對(duì)折可得：，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，，由勾股定理可得：，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：2【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．18．10【分析】過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，分別交、于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，分別交、于點(diǎn)，易知四邊形、、為矩形，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得；設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，易得，；作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，故當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，即取最小值，此時(shí)，在中，由勾股定理求得的值，即可獲得答案．解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，分別交、于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，分別交、于點(diǎn)，

易知四邊形、、為矩形，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∴，設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，則有，即，∵，∴，，∵四邊形為矩形，∴，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖，則，，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，即取最小值，此時(shí)，在中，，∴的最小值為．故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．19．【分析】證明，結(jié)合，可得，，從而可得答案．解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵點(diǎn)M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的應(yīng)用，熟記平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．20．（1）見(jiàn)分析（2）【分析】（1）由三線(xiàn)合一可知AC⊥BD，然后利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，進(jìn)而得出△CPM∽△APD，求出EC的長(zhǎng)即可得出答案．解：（1）證明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，設(shè)CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1=．【點(diǎn)撥】此題主要考查了余角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出△CPM∽△APD是解題關(guān)鍵．21．塔高AB為24m.【分析】過(guò)點(diǎn)D構(gòu)造矩形，把塔高的影長(zhǎng)分解為平地上的BD，斜坡上的DE．然后根據(jù)影長(zhǎng)的比分別求得AG，GB長(zhǎng)，把它們相加即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作，交AE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)G.由題意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB為24m.【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；解決本題的難點(diǎn)是把塔高的影長(zhǎng)分為在平地和斜坡上兩部分；關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長(zhǎng)的比得到相應(yīng)的部分塔高的長(zhǎng)度．22．（1）見(jiàn)詳解；（2）；（3）見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）證明，推出，設(shè)，則，利用勾股定理構(gòu)建方程解決問(wèn)題即可；（3）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)H，利用全等三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．解：（1）證明：∵，，∴，，又∵，∴，∴∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，設(shè)，則，由（1）知，，∵，∴，∴（負(fù)根已經(jīng)舍去），∴，，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)H，

∵E為的中點(diǎn)，∴∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，又∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題．23．（