專項(xiàng)33相似三角形-一線三等角模型綜合應(yīng)用（原卷版）

專項(xiàng)33相似三角形一線三等角模型綜合應(yīng)用如圖，∽（一線三等角）如圖，∽（一線三直角）如圖，特別地，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)：∽∽平分，平分。一線三等角輔助線添加：一般情況下，已知一條直線上有兩個(gè)等角（直角）或一個(gè)直角時(shí)，可構(gòu)造“一線三等角”型相似?！绢愋?：標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖】【典例1】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長(zhǎng)．【變式11】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．【變式12】如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．【類型2：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)G在CD上，且DG＝1，AE＝2，則EG＝；（2）如圖2，若F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)N，連接EN，求證：∠AEF＝∠FEN；（3）如圖3，若AE＝AD，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2＝MN?MD．【變式21】（2021春?永川區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，CE＝2BE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接DF，則線段DF的長(zhǎng)為．【變式22】（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)月考）已知，如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處．（1）若點(diǎn)F恰好落在CD邊上，如圖1，求線段BE的長(zhǎng)；（2）若BE＝1，如圖2，直接寫出點(diǎn)F到BC邊的距離；（3）若△CEF為直角三角形，直接寫出CE所有值．【類型2：特殊“K”型圖】【典例3】（2021秋?通許縣期中）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因?yàn)椤螦CB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到＝．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的長(zhǎng)度（用含a，b的代數(shù)式表示）．拓展：（3）創(chuàng)新組突發(fā)奇想，將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在?ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的一點(diǎn)．若∠DEF＝∠B．求證：AB?FE＝BE?DE．【變式31】如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長(zhǎng)；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．【變式32】（2022春?定海區(qū)校級(jí)月考）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AE⊥l，BD⊥l，垂足分別為E、D．求證：△BDC∽△CEA．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點(diǎn)，過(guò)D作AD的垂線交AB于點(diǎn)E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，在BC上取點(diǎn)E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四邊形ABCD的面積．1．（2021秋?南京期末）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，F(xiàn)C＝6，則DG的長(zhǎng)是（）A．4 B． C． D．52．（2022秋?二道區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長(zhǎng)為．3．（2022?杭州模擬）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊BC上一點(diǎn)，沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處．設(shè)＝x（x＞1），（1）若點(diǎn)F恰為CD邊的中點(diǎn)，則x＝．（2）設(shè)＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是．4．（2021?海州區(qū)校級(jí)二模）如圖，△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊△ABC的三條邊上，BC＝4，∠EDF＝90°，＝，則DF長(zhǎng)度的最小值是．5.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E，D分別在BC，AB上，且∠AED＝60°，求證：△AEC∽△EDB．6.如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）證明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，當(dāng)AE＝ED時(shí)，求BD的長(zhǎng)．7．（2022?安徽三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長(zhǎng)．8．（2022?欽州一模）已知下列各圖中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．【基本模型感知】如圖1，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為M、N．求證：△ABM∽△BCN；【基本模型應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，∠BAP＝∠C，，求tanC的值；【靈活運(yùn)用】如圖3，點(diǎn)D是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE＝AB，∠DEB＝90°，，，請(qǐng)直接寫出tan∠BEC的值．9．（2021?坪山區(qū)一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B