江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中測試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024—2025學(xué)年度高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中測試2024.11一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（）A.-2 B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式及斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，又直線的傾斜角為，所以，解得.故選：B.2.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分離參數(shù)，聯(lián)立方程組可得解.【詳解】直線，即，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，故選：B.3.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得解.【詳解】由已知雙曲線的焦點(diǎn)為，則雙曲線方程為，則，解得，故選：A.4.已知圓：和圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得圓心和半徑，進(jìn)而可得，即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓：和圓：，可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，即，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.5.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出垂直于直線且過點(diǎn)的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點(diǎn)的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點(diǎn)為，由，解得：，∴,∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：C.6.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由漸近線方程可設(shè)雙曲線為且，再由點(diǎn)在雙曲線上，將點(diǎn)代入求參數(shù)m，即可得雙曲線方程.【詳解】由題設(shè)，可設(shè)雙曲線為且，又在雙曲線上，所以，則雙曲線的方程是.故選：A7.直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得，根據(jù)圓的方程圓心到直線的距離為，進(jìn)而可得點(diǎn)到直線的距離的取值范圍和面積的取值范圍.【詳解】由直線可知，則，由圓可知圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，所以面積.故選：C.8.設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與的一個(gè)交點(diǎn)為（點(diǎn)在軸上方），且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可知，結(jié)合橢圓定義及斜率與傾斜角的關(guān)系可得，，結(jié)合勾股定理可得離心率.【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，，由，則為直角三角形，，由已知直線的斜率為，則，即，又，則，，在中由勾股定理得，即，整理可得離心率，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線：，：，則下列結(jié)論正確的是（）A.在軸上的截距為 B.若，則或C.若，則 D.若不經(jīng)過第二象限，則【答案】AD【解析】【分析】將化簡得，根據(jù)截距的定義可判斷A，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D；對(duì)于B：舉反例說明即可；對(duì)于C：根據(jù)直線垂直的計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】對(duì)AD，直線：，即，所以在軸上的截距為，故A正確；若不經(jīng)過第二象限，則，解得，故D正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，兩條直線重合，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則，解得，故C錯(cuò)誤；故選：AD.10.已知圓：，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在圓外B.圓上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為C.過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為或D.過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為A，，則直線的方程為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)方程可得圓心和半徑.對(duì)于A：求PC，并與半徑比較即可；對(duì)于B：根據(jù)圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：分析討論直線的斜率是否存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式分析求解；對(duì)于D：可得其中一個(gè)切點(diǎn)2,1，根據(jù)可知直線的斜率，即可得方程.【詳解】圓：的圓心為，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋芍c(diǎn)在圓外，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：圓上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為，圓心到直線的距離為，符合題意；若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，則，解得，所以直線方程為；綜上所述：切線方程為或，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：直線與圓切與點(diǎn)2,1，記為點(diǎn)A，且直線的斜率，因?yàn)椋芍本€的斜率，所以直線方程為，即，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.如圖，是橢圓：與雙曲線：（，）在第一象限的交點(diǎn)，且，共焦點(diǎn)，，，的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.若雙曲線的方程是，則C.若，則 D.的面積為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)橢圓、雙曲線的定義運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：可得，結(jié)合選項(xiàng)A可得，，即可得結(jié)果；對(duì)于C：根據(jù)題意利用余弦定理分析可得，即可得離心率；對(duì)于D：根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓、雙曲線的定義整理可得，進(jìn)而可求面積.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由橢圓：可知，即，雙曲線：可知，且點(diǎn)在第一象限，則，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若雙曲線的方程是，則，可得，，則，即，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：在中，由余弦定理可得，結(jié)合橢圓定義可得，即，整理可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，即，整理可得，則，且為銳角，可得，所以的面積為，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.）12.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二元二次方程與圓的一般式方程之間的關(guān)系直接列式求解即可.【詳解】若方程表示圓，則，即，可得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故答案為：.13.已知直線與直線平行，則與之間的距離為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行，可得參數(shù)，再結(jié)合平行線間距離公式可得解.【詳解】由已知兩直線平行，則，解得，則，即，所以距離，故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的距離范圍可知，即，結(jié)合橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，即可得解.【詳解】由橢圓可知橢圓的實(shí)軸長，F(xiàn)1?1,0，F(xiàn)2圓的圓心，半徑，由已知圓上任意一點(diǎn)到得距離，所以，又根據(jù)橢圓定義，則，當(dāng)且僅當(dāng)，都在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，，，.（1）求中，邊上的中線所在直線的方程；（2）求中，邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段的中點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)式方程即可得結(jié)果；（2）根據(jù)垂直關(guān)系可得高所在直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式方程即可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可知：線段的中點(diǎn)為，則邊上的中線所在直線的方程為，即.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率，則邊上的高所在直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即.16.已知圓的圓心在直線上，且過，兩點(diǎn).（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）易知圓心在的中垂線上，求得中垂線方程，聯(lián)立兩直線，可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的方程；（2）根據(jù)圓心與直線方程，結(jié)合垂徑定理可列方程，解方程即可.【小問1詳解】由，，則中點(diǎn)為，，易知圓心在的中垂線上，且中垂線斜率，則中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，圓心到直線的距離，則弦長為，解得，即直線；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，弦長為成立；綜上所述，直線的方程為或.17.已知橢圓：（）經(jīng)過點(diǎn)，焦距為，過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距和點(diǎn)列式求，即可得橢圓方程；（2）由題意可知：直線的方程，聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得MN，以及點(diǎn)到直線的距離，即可得面積【小問1詳解】因?yàn)榻咕酁?，即，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓：上，即，聯(lián)立方程，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線，即，聯(lián)立方程，解得或，不妨設(shè)，則，且點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線（斜率存在且不為）與曲線相交于，兩點(diǎn).①若的中點(diǎn)為，設(shè)直線和的斜率分別為，，求的值；②滿足，求直線方程.【答案】（1）（2）①；②或【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可得軌跡方程；（2）①利用點(diǎn)差法可得斜率乘積；②設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)，可得，結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可得直線方程.【小問1詳解】由已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值，滿足雙曲線定義，即點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，即軌跡方程為；【小問2詳解】①設(shè)點(diǎn)Mx1,y1則，，又點(diǎn)，在曲線上，則，作差可得，即，則；②設(shè)直線，聯(lián)立直線與雙曲線，得，恒成立，且，，又，，，則，則，，所以，解得，，即直線方程為，即或.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19.如圖，已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為A0,3，離心率為，若過點(diǎn)作圓：（）的兩條切線分別與橢圓相交于點(diǎn)，（不同于點(diǎn)）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線和的斜率分別為，，求證:為定值；（3）求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見詳解（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)切線性質(zhì)解得點(diǎn)到直線的距離公式整理可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析證明；（3）聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，結(jié)合方程分析定點(diǎn).【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，離心率為則解得，所以橢圓的方程為.【小問2