專題22容斥原理（原卷）2

20222023學年小學五年級思維拓展舉一反三精編講義專題22容斥原理知識精講知識精講專題簡析：集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學中的最基本的概念之一。如某班全體學生可以看作是一個集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成一個數(shù)字集合。組成集合的每個事物稱為這個集合的元素。如某班全體學生組成一個集合，每一個學生都是這個集合的元素，數(shù)字集合中有10個元素。兩個集合中可以做加法運算，把兩個集合A、B合并在一起，就組成了一個新的集合C。計算集合C的元素的個數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、B的一切元素都“包含”進來加在一起，再“排除”A、B兩集合的公共元素的個數(shù)，減去加了兩次的元素，即：C=A＋B－AB。在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關系的邏輯關系。有些語言不易表達清楚的關系，用了適當?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進行計算。典例分析典例分析【典例分析01】五年級96名學生都訂了報紙，有64人訂了少年報，有48人訂了小學生報。兩種報紙都訂的有多少人？【思路引導】用左邊的圓表示訂少年報的64人，右邊的圓表示訂小學報的48人，中間重疊部分表示兩種報刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計了兩次：64＋48=112人，比總人數(shù)多112－96=16人，這16人就是兩種報刊都訂的人數(shù)?！镜淅治?2】某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有35人懂英語，34人懂日語，兩種語言都懂的有21人。這個學校共有多少名教師？【思路引導】把懂英語和懂日語的人數(shù)加起來得35＋34=69人，但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計過兩次，應該從69里去掉一個21才能得出這個地區(qū)外語教師的總人數(shù)：69－21=48人?！镜淅治?3】學校開展課外活動，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學不同時活動，參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個小組都參加的有25人。問這250名同學中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？【思路引導】兩個小組都參加的有25人，因此，至少參加這兩種小組的一個小組的人數(shù)是84＋86－25=144人，所以，這兩個小組都不參加的人數(shù)是250－144=106人?！镜淅治?4】實驗小學各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有20人獲獎，在獲獎者中有16人不是四年級的，有12人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總人數(shù)是多少人？【思路引導】由“16人不是四年級的”可知：16人是五年級和其他年級的；由“12人不是五年級的”可知：12人是四年級和其它年級的。用16＋12可算出四年級加五年級以及兩個其它年級的人數(shù)和，再減去20就得兩個其他年級的人數(shù)，這樣其他年級的人數(shù)是：（16＋12－20）÷2=4人，該校參加書法比賽獲獎的總人數(shù)是4＋20=24人?！镜淅治?5】在100個外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？【思路引導】顯然，兩種語言都懂的人在懂英語的75人中統(tǒng)計過一次，在懂日語的45人中又統(tǒng)計過一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是兩種語言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語的75人中減去兩種語言都懂的20人，就是只懂英語的人數(shù)了：75－20=55人。真題演練真題演練一．選擇題（共7小題，滿分14分，每小題2分）1．（2分）（2021春?靈臺縣期末）學校開設兩個興趣小組，三（3）班42人都報名參加了活動，其中27人參加書畫小組，24人參加棋藝小組，兩個小組都參加的有（）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人2．（2分）（2022秋?徽縣期末）三年級同學參加跳繩比賽（如圖），參加這兩個項目的一共有多少人？下面解答正確的是（）A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣63．（2分）（2022秋?吉首市期末）同學們?nèi)游飯@參觀，每人至少參觀了大象館和猴子館中的一個館，參觀大象館的有10人，參觀猴子館的有15人，兩個館都參觀的有6人。一共有（）人去動物園參觀。A．25 B．19 C．314．（2分）（2022春?裕華區(qū)期末）五（1）班有18名學生喜歡踢足球，22名學生喜歡乒乓球，其中有5人既喜歡踢足球又喜歡打乒乓球，有6人既不喜歡踢足球又不喜歡打乒乓球，五（1）班一共有（）名學生。A．41 B．40 C．455．（2分）（2022春?欒城區(qū)期末）光明小學五年級一班有49名同學。學校組織同學報名參加活動，參加音樂活動的有36人，參加美術活動的有31人，兩種活動都參加的有25人，也有同學兩種活動都沒有參加，都沒有參加的同學有（）人。A．42 B．5 C．76．（2分）（2021春?大名縣期末）五（一）班有40名學生，25名學生參加了音樂小組，23名學生參加了美術小組，兩個小組都參加的學生有（）名。A．8 B．15 C．17 D．187．（2分）（2022秋?匯川區(qū)期末）某次比賽中三（1）班獲得“閱讀之星”稱號的有22人，獲得“速算小能手”稱號的有35人，兩種稱號都獲得的有15人，全班每人至少獲得了一種稱號。三（1）班一共有（）人。A．57 B．62 C．42二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）8．（2分）（2022秋?勃利縣期末）三年級同學參加跳繩和拍球比賽，參加跳繩比賽的有18人，參加拍球比賽的有12人，兩項比賽都參加的有2人，參加跳繩和拍球比賽的一共有人。9．（2分）（2022秋?曾都區(qū)期末）同學們?nèi)游飯@游玩，參觀大象館的有38人，參觀熊貓館的有45人，兩個館都參觀的有15人，參觀大象館和熊貓館的一共有人。10．（2分）（2022秋?金鄉(xiāng)縣期末）三年級參加兩個競賽組的人數(shù)如圖，參加繪畫組有人，兩個組都參加的有人。三年級一共有人參加了這兩個組的競賽。11．（2分）（2022春?遷安市期末）五（1）班訂閱《少年文摘》的有19人，訂閱《學與玩》的有24人，兩種都訂的有13人。問至少訂閱一本雜志的有人。12．（2分）（2022春?正定縣期末）五一班同學都參加了周六或周日課外活動。周六有15人參加，周日有18人參加；兩天都參加的有5人。五一班共有人。13．（2分）（2022春?高邑縣期末）三（2）班參加唱歌興趣小組的有20人，參加舞蹈興趣小組的有15人，兩個小組都參加的有13人，只參加一個興趣小組的有人。14．（2分）（2021春?武侯區(qū)期末）一個學校，去年會游泳的學生比不會游泳學生的2倍多60人，今年又有160人學會了游泳，這時會游泳的學生正好是不會游泳學生的5倍。這個學校有學生人。15．（2分）（2022秋?豐南區(qū)期末）三年級同學參加興趣活動小組。參加合唱組的有18人，參加舞蹈組的有21人，這兩個小組都參加的有5人，參加合唱組和舞蹈組的一共有人。16．（2分）（2021秋?貴州期末）三（2）班參加跳繩的有12人，參加踢毽子的有25人，兩項都參加的有8人。三（2）班參加體育活動的有人。17．（2分）（2020春?定州市期末）五（1）班有42名學生，其中28人訂閱了《快樂作文》，20人訂閱了《少年素質(zhì)報》，兩種刊物都訂閱的有8人，兩種刊物都沒有訂閱的有．三．應用題（共11小題，滿分66分，每小題6分）18．（6分）（2022秋?歷城區(qū)期末）某小學共有學生540人，在一次自愿參加的線上心理輔導講座活動中，共有50人向輔導老師進行了提問。提問的人中，有36人用文字進行了提問，25人用語音進行了提問，那么，既用文字又用語音提問的有多少人？19．（6分）（2022春?涿州市期末）五年級課后興趣班有36人，其中喜歡踢足球的有19人，喜歡打籃球的有21人，既不喜歡踢足球又不喜歡打籃球的有4人，那么既喜歡踢足球又喜歡打籃球的有幾人？20．（6分）（2021春?鹿城區(qū)校級期中）一次數(shù)學測驗只有兩道題，結果全班有12人全做對，其中第一道題有24人做對，第二道題有20人做錯。兩道題都做錯的有多少人？21．（6分）（2022?雙峰縣）一次競賽，其中五年級和六年級共20人獲獎，在獲獎者中有16人不是五年級的，有12人不是六年級的，該校有多少人獲獎？22．（6分）（2020秋?虎林市期末）五年級一班有40人，他們都參加了英語課外興趣小組或信息技術課小組，已知參加了英語課外小組的有32位同學，參加了信息技術課外小組的有20位同學，那么，兩個小組都參加的同學有多少位？23．（6分）（2021春?合山市期末）六一兒童節(jié)，學校舉行游園活動，五（1）班有25人參加遮眼摸鼻活動，還有30人參加投圈活動，其中有15人是兩項都參加。觀察下圖，完成填空。（1）圖中字母C表示的是。（2）五（1）班參加兩項活動共人。24．（6分）（2022秋?訥河市期末）一次數(shù)學測驗．全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第二道聰明題的有18人，每人至少做對一道題．問兩道都做對的有幾人？25．（6分）（2018?長沙）有77名同學參加數(shù)學競賽，分兩張考卷測試，答對A卷得60分，答對B卷得40分，已知考完后有50人答對A卷，60人答對B卷，只有2人A、B卷都答錯了，這次考試得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分的有多少人？26．（6分）（2016春?金溪縣校級期末）五（2）班期中考試中語文優(yōu)秀的有15人，