2019屆高考數(shù)學二輪復習總結學案-理科

第1講三角函數(shù)的圖象與性質

［考情考向分析］1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調性、對稱性、周期性2考查三角函數(shù)式

的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點.

Q熱點分類突破師生講練互動熱點各個擊破

熱點一三角函數(shù)的概念、誘導公式及同角關系式

1.三角函數(shù)：設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（無，y）,貝!Isina=y,cosa=尤，tana=

5^o）.各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.同角基本關系式：si/a+cos2a=1,s^na=tan

COS（X,\/

3.誘導公式：在華+a,kGZ的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”.

例1（1）已知角a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點尸（2,1）,則tan（2a+3

等于（）

11

7--c-

A.B.77D.7

（2）已知曲線抬尸X3一2%21%在點處的切線的傾斜角為a,則cos2（^+aj—2cos2a—3sin（2K—tz）cos（7i

+a）的值為（）

A8r_4c4_2

跟蹤演練1⑴在平面直角坐標系中，若角a的終邊經(jīng)過點尸（sin苧，cos英，貝Usin（7r+a）等于（）

A—近B」c1D近

sin（兀~a）—4sin[^2+

等于（）

5sin（27i+a）+2cos（2兀一a）

A-2B-3C6D--6

熱點二三角函數(shù)的圖象及應用

(1)“五點法”作圖：設z=Gx+g,令z=0,胃，71,-y,2兀，求出工的值與相應的y的值，描點、連線可

得.

(2)圖象變換:

,生力田口由綠、一向左(。>。)或向右(o<0)_..,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?(。>0)倍_.

(先干移后伸縮)y-smx平移|夕|個電位長度sin(x+^9)縱座標不變>y—sm(0x+夕)

縱坐標變?yōu)樵瓉淼?A>0)倍..，，、

-------橫坐標不變--------->y=Asin(s+9).

橫坐標變?yōu)樵瓉淼?7(G>0)倍向左伍>0)或右伍<0)

(先伸縮后平移)ysinx-一縱坐標不$一>產(chǎn)sin?！环Q鱷量黑/產(chǎn)sin(s+9)

CD

縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁(A>0)倍_一(.

------橫坐標不變--------->y=Asm(cox+(p)A.

例2(1)已知函數(shù)/(x)=sin(0x+，)(o>O)的最小正周期為兀，為了得到函數(shù)g(x)=cosox的圖象，只要將y

=兀0的圖象()

A.向左平移合個單位長度B.向右平移/個單位長度

5兀5兀

C.向左平移皆個單位長度D.向右平移卷個單位長度

⑵(2018?永州模擬)函數(shù)於)=Asin(ox+0)(。>0,|夕卜兀)的部分圖象如圖所示，將函

數(shù)的圖象向右平移/個單位長度后得到函數(shù)gOO的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間

7T可上的值域為［—1,2］，貝2=.

qr

跟蹤演練2⑴若將函數(shù)y=cosox(o>0)的圖象向右平移打單位長度后與函數(shù)尸sins的圖象重合，則

。的最小值為()

A-2B1C2D.1

(2)函數(shù)fix)=Asin@x+9)(A>0,co>0,\(p\的部分圖象如圖所示，則①

;函數(shù)於)在區(qū)間序1T可上的零點為

熱點三三角函數(shù)的性質

1.三角函數(shù)的單調區(qū)間

ITTTTT37T

y=sinx的單調遞增區(qū)間是2攵兀一］,2E+］(%￡Z),單調遞減區(qū)間是2E+/,2析+5(%￡Z)；

y=cosx的單調遞增區(qū)間是［2fai—兀，2fai］/￡Z),單調遞減區(qū)間是［2fai,2E+兀］/￡Z)；

(TT兀、

y=tmx的單調遞增區(qū)間是(左兀一5，E+］J(%￡Z).

2.y=Asin(cox+(p)9

TTTT

當o=E/￡Z)時為奇函數(shù)；當9=fai+/￡Z)時為偶函數(shù);對稱軸方程可由s+9=fai+/￡Z)求得.

JT

y=Acos(cox+(p)f當夕=左兀+］(左￡Z)時為奇函數(shù)；當9=左兀(左￡Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由cox+(p

=E(kGZ)求得.

y=Atan(s;+9),當9=fai(%￡Z)時為奇函數(shù).

例3設函數(shù)/(x)=sin(ox-cos①式一小cos2s+坐3>0)的圖象上相鄰最高點與最低點的距離為血不

⑴求公的值；

(2)若函數(shù)y=/a+9)(0<9<5是奇函數(shù)，求函數(shù)g(x)=cos(2x一夕)在［0,2用上的單調遞減區(qū)間.

跟蹤演練3已知函數(shù)_Ax)=M§sin(2x+T)+sin2x+a的最大值為1.

(1)求函數(shù)五的的最小正周期與單調遞增區(qū)間；

(2)若將加)的圖象向左平移三個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間10,不上的最大值和最

小值.

。真題押題精練真題押題體味高考

【真題體驗】

1.（2018?全國I）已知函數(shù)/（x）=2sinx+sin2x,則“x）的最小值是.

2.（2018?全國H改編）若1%）=（：05%—sinx在［一”，上是減函數(shù)，則〃的最大值是.

3.（2018.天津改編）將函數(shù)尸sin（2x+g）的圖象向右平移云個單位長度，所得圖象對應的函數(shù).（填

序號）

①在區(qū)間［個，引上單調遞增；②在區(qū)間［竽，兀］上單調遞減；

③在區(qū)間［詈，以上單調遞增；④在區(qū)間［拳2可上單調遞減.

4.（2018?全國III）函數(shù)/U）=cos（3x+*在［0,初上的零點個數(shù)為

【押題預測】

1.已知函數(shù)危尸sin（0x+§（xGR,。＞0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為全為了得到函數(shù)g（x）=coscox

的圖象，只要將y=A尤）的圖象（)

3兀

A.向左平移卷個單位長度B.向右平移3養(yǎng)7r個單位長度

C.向左平移1個單位長度D.向右平移彳個單位長度

2.如圖，函數(shù)於）=Asin（ox+p）（其中A＞0,。＞0,何噂與坐標軸的三個交點P,Q,

R滿足P（2,0）,NPQR吟〃為QR的中點，PM=24則A的值為（）

A^\［3C.8D.16

3.已知函數(shù)兀1)=8$與一2sinxcos%—sin4x5*.

(1)若x是某三角形的一個內角，且式x)=—竽，求角x的大小;

TT

(2)當xe[o,1時，求兀0的最小值及取得最小值時尤的值.

。專題強化練梯度訓練直通高考

A組專題通關

1.函數(shù)產(chǎn)sin(2x+^)+cos(2x一燈的最小正周期和振幅分別是()

A.兀,y[2B.兀,2C.2兀,1D.2兀,也

2.已知函數(shù)八x)=sin(tox+，(xGR,。>0)的最小正周期為無，將y=/(x)的圖象向左平移刷個單位長度，所

得圖象關于y軸對稱，則夕的一個值是()

A兀C3?！肛5兀

A-2BTC-4DT

3.(2018?河北省衡水金卷模擬)已知函數(shù)/(x)=M5sinox—2cos^^+乂?！?。)，將y(x)的

圖象向右平移9(0<3<習個單位長度，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則°的值為

()

4.(2018?山東、湖北部分重點中學模擬)己知函數(shù)加)=2sin(s+“0>O,0＜夕＜,，*xi)=2,?X2)=0，若

I尤i—X2|的最小值為義，且=則/(x)的單調遞增區(qū)間為()

A.一.+2匕|+24,kGZB.一亮+2比上+2A,1GZ

C.[—＞2E,1+2^],右Zri71

D.&+2左，％+2左，fcez

5.(2018?焦作模擬)函數(shù)加)=[§sinox+coss(o>0)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為%則下列結論正確

的是()

Sjr

A.八x）的最大值為1B.段）的圖象關于直線尸若對稱

C.7口+電的一個零點為D.?。┰趨^(qū)間匕IT，］7T上單調遞減

6.在平面直角坐標系中，角a的頂點與坐標原點重合，始邊與無軸的非負半軸重合，終邊過點P（一小,

—1),貝Utana=cosa+sin

「心?,sin22ot_2cos

7.已知tana=2,則一而彳一

8.函數(shù)/(x)=sin2x+小cosx—/j￡0,女)的最大值是

當一兀＜爛0時，70）=0,則/（20產(chǎn)）=

9.設函數(shù)y（xXx￡R）滿足/（x—兀）=黃工）-sinx,

10.已知向量相=(小sin5,1),n=(coscox,cos2(ox+1),設函數(shù)“￥)=*〃+/?.

⑴若函數(shù)人x）的圖象關于直線％=看對稱，且當口￡［0,3］時，求函數(shù)八%）的單調遞增區(qū)間;

（2）在⑴的條件下，當尤e0,患］時，函數(shù)本）有且只有一個零點，求實數(shù)6的取值范圍.

B組能力提高

11.如圖，單位圓。與無軸的正半軸的交點為A,點C,B在圓。上，且點C位于

第一象限，點B的坐標為傳一|）,ZAOC=a,若8C=1,則/cos2^—sin聲:os

?一坐的值為（）

,4r343

A.gB.gC.一5D.一寫

12.已知函數(shù)/（x）=2sin（Gx+9）+l（G＞0,1夕區(qū)手，其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為兀，若y（x）＞2

對Wxe信，與恒成立，則夕的取值范圍是（）

1JT

13.函數(shù)危的圖象與函數(shù)g(x)=2sin5%(0勺合4)的圖象的所有交點為(xi,%),(如/)，…，(xn,y〃),

則Avi+?+…+%)+g(xi+忿+...+%〃)=?

14.已知a>0,函數(shù)/(x)=—2asin(2x+^)+2a+b,當xd0,自時，一5#x)Wl.

(1)求常數(shù)a,%的值；

(2)設g(x)=/■1+，)且lgg(x)>。，求g(x)的單調區(qū)間.

第2講三角恒等變換與解三角形

［考情考向分析］正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內容，主要考查：1.邊和角的計

算2三角形形狀的判斷3面積的計算.4.有關參數(shù)的范圍問題.由于此內容應用性較強，與實際問題結合起

來進行命題將是今后高考的一個關注點，不可輕視.

。熱點分類突破師生講練互動熱點各個擊破

熱點一三角恒等變換

1.三角求值“三大類型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”.

2.三角函數(shù)恒等變換“四大策略”

(1)常值代換：特別是“1”的代換，I=sin2e+cos26?=tan45。等.

(2)項的拆分與角的配湊：如sin2a+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,a=(a—夕)+夕等.

(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

例1(1)聯(lián)考)若cos(a+§=,,則cos停一2a)等于()

A23c23c77

A-25B--25「r—25□D?——25

A/5Vio

（2）已知sina—g,sin（（z夕）一,力均為銳角，則￡等于()

10，a

e兀

A5兀ac兀

A-12B?J4D6

跟蹤演練1⑴已知

（2）若巧：2：=/5皿20,貝iJsin20等于（）

A.gB.C.,D.一/

熱點二正弦定理、余弦定理

nnc

1.正弦定理：在△ABC中,不為△ABC的外接圓半徑）?變形：a=2RsinA,b

SillziSillDSill

.4asin2=梟.一c

=2RsinB,c=2RsinC,sinA2R,sinC2R,a?b.c=sinA:sin5：sinC等.

2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2+c2—2bccosA.

廬+Q—〃2

變形：/?2+c2—4Z2=2Z?ccosA,cosA=---------,

例2TXABC的內角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知sinA+小cosA=0,4=2幣，b=2.

⑴求c；

(2)設。為5C邊上一點，且AOLAC,求△A8D的面積.

跟蹤演練2在△ABC中，內角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,已知5=60。，c=8.

(1)若點M,N是線段BC的兩個三等分點，BM=，C,蔑=25，求AM的值；

(2)若6=12,求△ABC的面積.

熱點三解三角形與三角函數(shù)的綜合問題

解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點，主要考查三角形的基本量，三角形的面積或判斷三

角形的形狀.

例3(2018?天津)在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知加inA=acos(B—聿).

(1)求角B的大小；

(2)設a=2,c=3,求6和sin(2A—8)的值.

跟蹤演練3已知函數(shù)式x)=2cos2x+sin管-2x)—l(xGR).

(1)求函數(shù)Kx)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；

(2)在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知人4)+若b+c=2a,且M?祀=6,求。

的值.

。真題押題精練真題押題體味高考

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【真題體驗】

1.(2017?山東改編)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sin8(1

+2cosQ=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是.(填序號)

①a=2b;②b=2a;?A=2B;④8=2A

2.(2018.全國II)已知sina+cos￡=l,cosa+sin^=0,則sin(a+￡)=.

3.(2018?全國III改編)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為--------,則C

4.(2018?全國I)Z\ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知加inC+csinB=4asinBsinC,b2+c2

一/=8,則△ABC的面積為.

【押題預測】

2

1.在△ABC中，內角A,B,。的對邊分別為〃，b,c已知cosA=jsinB=^/5cosC,并且4=也，則△ABC

的面積為.

2.已知函數(shù)/U)=M§sincox-cos0x—cos2°x(o>O)的最小正周期為9.

(1)求0)的值；

(2)在△ABC中，sin8,sinA,sinC成等比數(shù)列，求此時犬A)的值域.

9專題強化練梯度訓練直通高考

A組專題通關

1.若sina=4，則cos2a等于()

8Z7_8

A.9BD.gJ9U.g

2.1211700+121150°—4^11170%31150°的值為()

A.小B當C.一坐D.一小

b

3.己知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足cosA=?則該三角形為()

A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.直角三角形

4.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,acosB+bcosA=2ccosC,c=巾,且△ABC的面積

為畢，則△ABC的周長為()

A.1+幣B.2+巾C.4+巾D.5+幣

3

已知為銳角，則，”的最小值為()

5.a2tana+id.il乙a

A.1B.2C市D.小

6.已知aG(0,習，tana=2,貝!Jcos(a—/)=.

7.設△ABC內切圓與外接圓的半徑分別為r與R且sinA：sinB：sinC=2：3：4,則cosC=；

當BC=1時，△ABC的面積等于.A

8.如圖，在△ABC中，BC=2,NABC=?AC的垂直平分線。E與AB,AC分別交/\

于。，E兩點，且。E=亞+，貝|8序=________.//ZA^\

9.AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin（A+C）=8sin段.

⑴求cosB；

（2）若〃+c=6,△ABC的面積為2,求b.

10.已知向量a=(gsin2x,也cos2x),ft=(cos0,sin若危)=〃?"且函數(shù)危)的圖象關于直線

對稱.

(1)求函數(shù)應0的解析式，并求兀1)的單調遞減區(qū)間；

(2)在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,若式4)=也，且8=5,c=2小,求△ABC外接圓

的面積.

B組能力提高

11.已知2sin9=1—cos仇貝（Jtan。等于（）

4444

A.一1或0B.g或0C.—D.j

a2

12.在銳角△ABC中，角A所對的邊為a,△ABC的面積S=w，給出以下結論:

①sinA=2sinBsinC；②tanB+tanC—2tanBtanC；

③tanA+tan5+tanC=tanAtanBtanC；@tanAtanBtan。有最小值8.

其中正確結論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7

13.如圖，在△ABC中，D,F分別為BC,AC的中點，AD1BF,若sin2C=-^

sinZBACsinZABC,貝!JcosC=

14.如圖，在△ABC中，。為邊BC上一點，AD=6,30=3,DC=2.

(1)如圖1,若AOLBC,求/BAC的大??；

JT_.

(2)如圖2,若NABC=z，求△AOC的面積.

第3講等差數(shù)列與等比數(shù)列

［考情考向分析］1.等差、等比數(shù)列基本量和性質的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)2數(shù)列求和及

數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力.

U熱點分類突破師生講練互動熱點各個擊破

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熱點一等差數(shù)列'等比數(shù)列的運算

1.通項公式：等差數(shù)列：斯=。1+(〃-l)d；等比數(shù)列：呢=的”"-1.

2.求和公式：等差數(shù)列：S——幾“1十°d；等比數(shù)列：S—1—.(qrl).

n22nLq1~q1/

3.性質：若機+〃=p+q,在等差數(shù)列中加+斯=他+的;

在等比數(shù)列中〃加?他.

例1(1)記S〃為等差數(shù)列｛為｝的前幾項和，若3s3=82+84,防=2,則。5等于()

A.-12B.-10C.10D.12

(2)設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝中，若S4=80,82=8,則公比q=,〃5=.

跟蹤演練1⑴設公比為幽>0)的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，若S2=3〃2+2,S4=3〃4+2,則0等于()

12

A.l2B.—1C，2Dq

(2)等比數(shù)列｛斯｝中,<21=1,a5=4a3.

①求｛?！埃耐椆?；②記S,為｛斯｝的前〃項和，若弘=63,求機.

熱點二等差數(shù)列'等比數(shù)列的判定與證明

證明數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法

(1)證明數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列的兩種基本方法：

①利用定義，證明斯+i—斯(“GN*)為一常數(shù)；②利用等差中項，即證明2斯=a〃-i+a“+i("N2,”CN*).

(2)證明數(shù)列｛以｝是等比數(shù)列的兩種基本方法：

①利用定義，證明*S￡N*)為一常數(shù)；②利用等比中項，即證明屆=斯一1詼+1(佗2,wGN*).

例2已知數(shù)列｛〃〃｝,｛bn｝,其中。1=3,%=一1,且滿足飆=；(3〃〃—1一1),bn=—1—3Z?n-1),〃￡N*,

n>2.

(1)求證：數(shù)歹U｛a〃一兒｝為等比數(shù)列；(2)求數(shù)歹的前〃項和G.

\^Unan+1J

跟蹤演練2已知｛〃,｝是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前w項和為斗,且S,為斯與;的等差中項.

(1)求證：數(shù)列｛5分為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛跖｝的通項公式；

⑶設為=^-,求｛勿｝的前n項和Tn.

熱點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題

解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關系；數(shù)列與不等式、

函數(shù)、方程的交匯問題，可以結合數(shù)列的單調性、最值求解.

例3已知等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為一1,且〃2+47+112=-6.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式即與其前〃項和S〃；

(2)將數(shù)列｛斯｝的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列｛乩｝的前3項，記｛兒｝的

前幾項和為〃，若存在M￡N*,使得對任意〃￡N*,總有S〃<7k+2恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

跟蹤演練3已知數(shù)列｛“〃｝的前”項和為S”且斗一1=3（即-1）,"GN*.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）設數(shù)列｛6”｝滿足a?+i=，若左M對于任意正整數(shù)〃都成立，求實數(shù)f的取值范圍.

。真題押題精練真題押題體味高考

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【真題體驗】

1.（2017?全國I改編）記a為等差數(shù)列｛詼｝的前w項和.若々4+/=24,$6=48,則｛斯｝的公差為.

2.（2017?浙江改編）已知等差數(shù)列｛期｝的公差為d,前〃項和為S”則“公0”是6+S6>2S5”的條件.

3.（2017?北京）若等差數(shù)列｛斯｝和等比數(shù)列｛d｝滿足°1=d=-1,°4=。4=8,則富=.

4.（2017?江蘇）等比數(shù)列｛°“｝的各項均為實數(shù)，其前"項和為S”，己知S3=￡$6=竽，則痣=.

【押題預測】

1.設等差數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,且的>0,僅+的0>0,。6。7<0,則滿足S>0的最大自然數(shù)n的值為（）

A.6B.7C.12D.13

2.在等比數(shù)列｛斯｝中，a3-3a2=2,且5處為12的和2a5的等差中項，則｛斯｝的公比等于（）

A.3B.2或3C.2D.6

.____14

3.已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛為｝滿足07=46+2（75，存在兩項斯”出使得使斯「。"=4（71，則而+7勺最

小值為（）

4.定義在(一oo,0)U(0,+00)上的函數(shù)負x),如果對于任意給定的等比數(shù)列｛&｝,伏斯)｝仍是等比數(shù)列,

則稱於)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(一00,0)U(0,+00)上的如下函數(shù)：

①②Ax)=2七③/紅)=訴；(4)/(x)=ln|x|.

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)''的兀0的序號為()

A.①②B.③④C.①③D.②④

。專題強化練梯度訓練直通高考

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A組專題通關

1.已知等差數(shù)列｛斯｝中，。4=9,S4=24,則〃7等于()

A.3B.7C.13D.15

2.已知等比數(shù)列｛斯｝的首項為1,公比療一1,且〃5+。4=3(〃3+〃2),則…49等于()

A.-9B.9C.-81D.81

3.等差數(shù)列｛斯｝的首項為1,公差不為0.若。2,。3,〃6成等比數(shù)列，則｛斯｝的前6項和為()

A.-24B.-3C.3D.8

4.一個等比數(shù)列的前三項的積為2,最后三項的積為4,且所有項的積為64,則該數(shù)列的項數(shù)是()

A.13B.12C.11D.10

5.已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足5"向=25,5?！?，且〃2+〃4+。6=9,則log](45+47+。9)等于()

3

A.-3B.3C.-gD.g

6.已知等差數(shù)列｛為｝的公差不為0,勾=1，且〃2，。4,〃8成等比數(shù)歹U，設｛詼｝的前〃項和為工，則工=.

7.差數(shù)列｛念｝的前幾項和為工，若〃2=8,且SWS7，則公差d的取值范圍是.

8.已知數(shù)列｛斯｝與用(〃GN*)均為等差數(shù)列，且的=2,則。1+囹2+華〉+…+用』.

9.意大利數(shù)學家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,....即F(l)=F(2)=hF(n)=F(n~l)+F(?-2)(^3,〃?N*),此數(shù)列

在現(xiàn)代物理、準晶體結構、化學等領域都有著廣泛的應用，若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列｛勿｝,

貝I岳017=-

10.設｛斯｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前〃項和為｛々｝是等差數(shù)列.已知的=1,“3=42+2,

。4=加+匕5，。5=d+2/?6.

(1)求｛a〃｝和｛兒｝的通項公式;

(2)設數(shù)列｛S.｝的前”項和為TMnGN),

n+

[Tk+bk+j)bk_2-

①求T”;②證明:上/+1)/+2)―〃+2—2(〃GN*).

B組能力提高

11.數(shù)列｛如｝是以。為首項，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列｛兒｝滿足歷,=1+0+°2+…+。"("=1,2,…)，數(shù)

列｛&｝滿足以=2+。+岳+…+6”(〃=1,2,…),若｛c〃｝為等比數(shù)列，則a+b等于()

A./B.3C.A/5D.6

12.已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為S,,,為=15,且滿足(2〃-5)q”+i=(2"-3)斯+4力2—16〃+15,已知〃，加GN*,

n>m,則的最小值為()

13.已知數(shù)列｛斯｝滿足也”+2—(〃+2)a“="/+2"),其中°1=1,。2=2,若對V“GN*恒成立，則

實數(shù)力的取值范圍為.

14.設等差數(shù)列｛3｝的前“項和為S”4=31)，5=(1，。10)，若a仍=24,且Su=143,數(shù)列｛d｝的前”

項和為T,?且滿足2%T=5一(的―1)(〃GN*).

求數(shù)列｛詼｝的通項公式及數(shù)列的前?項和M“；

(1)\UnCln+1J

(2)是否存在非零實數(shù)九使得數(shù)列｛仇｝為等比數(shù)列？并說明理由.

第4講數(shù)列的求和問題

［考情考向分析］高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉化、錯位相減、裂項相

消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)了轉化與化歸的思想.

。熱點分類突破師生講練互動熱點各個擊破

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熱點一分組轉化法求和

有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比

數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.

例1在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛④｝中，內的=4,的是42—2與44的等差中項，若斯+1=2"(WGN*).

⑴求數(shù)列｛b“｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛金｝滿足cn=an+i+--------，求數(shù)列｛6｝的前n項和Sn.

跟蹤演練1已知｛斯｝為等差數(shù)列,且。2=3,｛斯｝前4項的和為16,數(shù)列也｝滿足已=4,d=88,且數(shù)

歹!j｛bn-an｝為等比數(shù)列(〃eN*).

(1)求數(shù)歹!1｛斯｝和｛d一即｝的通項公式；⑵求數(shù)列｛b｝的前〃項和Sn.

熱點二錯位相減法求和

錯位相減法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列｛斯力J的前n

項和，其中｛斯｝,｛仇｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

例2已知數(shù)列｛斯｝滿足〃1=。3，。什1—牛=7^1，設兒=2%(〃￡N*).

乙乙

(1)求數(shù)列｛兒｝的通項公式；(2)求數(shù)列｛詼｝的前n項和S?.

跟蹤演練2已知數(shù)列｛詼｝的前n項和是S”且&+；斯=l(wGN*).數(shù)列｛兒｝是公差d不等于0的等差數(shù)

3

列，且滿足:d=乃1，bi,b5,d4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?！埃?｛々｝的通項公式；

⑵設cn=an-bn,求數(shù)列｛c“｝的前n項和Tn.

熱點三裂項相消法求和

裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于

或bd-1(其中為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和?

例3已知數(shù)列｛斯｝的前“項和％滿足：S"=a(S「a"+l)("dN*)(a為常數(shù)，存0,存1).

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)設6"=a.+S”若數(shù)列｛b“｝為等比數(shù)列，求。的值；

(3)在滿足條件(2)的情形下,C"=,'、若數(shù)列｛c］的前n項和為T?,且對任意neN*滿足T<^

(斯十1)(斯+1十1)nn

+1九求實數(shù)力的取值范圍.

跟蹤演練3已知數(shù)列｛詼｝為遞增數(shù)列，?i=l,其前w項和為當,且滿足25“=后一2S"-i+l(這2,wGN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

19

(2)若為=-----，其前〃項和為G，若7>正成立，求〃的最小值.

斯?斯+iIV

O真題押題精練真題押題體味高考.

【真題體驗】

n1

1.(2017?全國II)等差數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”俏=3,54=10,則.

k=l'k

2.(2017?天津)已知｛斯｝為等差數(shù)列，前W項和為S“(〃eN*),｛d｝是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0,

歷+匕3=12,%3=。4—2。1，SII=11Z>4.

(1)求｛斯｝和｛a｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛-弧-1｝的前n項和(”GN*).

【押題預測】

1.已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為-=2，("+1產(chǎn)”)，其前n項和為S”，若存在MU,滿足對任意的?EN*.

都有S?<M恒成立，則M的最小值為.

2.數(shù)列｛詼｝的前w項和S：滿足：￡=/，數(shù)列｛歷,｝滿足：①優(yōu)=［；②6”>0；③2服+i+b〃+i6”一崖=0.

(1)求數(shù)列｛?！ǎc｛勿｝的通項公式；

(2)設cn=anbn,求數(shù)列&｝的前n項和Tn.

。專題強化練梯度訓練直通高考

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A組專題通關

1.［知數(shù)例］｛斯｝,｛%”｝滿足6=1,且斯,是方程％2—瓦x+2"=0的兩根,則bio等于()

A.24B.32C.48D.64

2.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,=2"+1+機，且41，44,恁一2成等差數(shù)列，2=m“_］；："_］)，數(shù)列｛d｝

的前“項和為T”則滿足造2的017最小正整數(shù)〃的值為()

A.11B.10C.9D.8

3.設S”為數(shù)列｛""｝的刖”項和，已知的一,，-V+2"(n￡N*),則Sioo等于()

49_49_51

A.22iooB.2299C.22100?D.2,99

4.在等比數(shù)列｛小｝中，3a3=2對,且。4與2a7的等差中項為17,設兒=(—1)”,“GN*,則數(shù)列｛6〃｝的

前2018項的和為.

5.若數(shù)列｛斯｝的通項公式a0=〃sin詈(wGN*),其前〃項和為S”則$2018=.

6.己知數(shù)列｛%｝,c/i=e(e是自然對數(shù)的底數(shù))，%+i=W("GN*).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設6“=(2”—1)111期,求數(shù)列｛d｝的前〃項和Tn.

7.在等比數(shù)列｛出｝中,首項5=8,數(shù)列｛6”｝滿足6"=log2斯("GN*),且61+岳+%=15.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

⑵記數(shù)列｛兒｝的前〃項和為S”又設數(shù)列強的前〃項和為3”求證：喝.

8.在公差不為。的等差數(shù)列｛斯｝中，〃當=〃3+。6，且。3為。1與〃11的等比中項.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

n

(2)設b"=(~l)7一7-----K(〃GN*),求數(shù)列｛勿｝的前n項和Tn.

斯o〃〃+1

B組能力提高

為奇數(shù),

9.已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為a〃=<a則數(shù)列｛3a”+〃-7｝的前2〃項和的最小值為(

if,"為偶數(shù),

10.設數(shù)列｛〃"｝的各項均為正數(shù)，前〃項和為S.,對于任意的"GN*,%,S?,點成等差數(shù)列，設數(shù)列2”｝

的前〃項和為且d=必乎，若對任意的實數(shù)xd(l,e](e是自然對數(shù)的底數(shù))和任意正整數(shù)〃，總有

7；<r(reN*),則r的最小值為.

H.已知數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”滿足S,=2a“一IQzdN*),數(shù)列｛方｝滿足他"+i—("+l)b“="("+l)(weN*),

且61=1,

(D證明數(shù)歹，畀為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝和｛d｝的通項公式；

_I-1)

⑵若金=(―1廣|(3+2腕2。：)(3+2。2*1)'求數(shù)列｛以｝的前2〃項和72"；

(3)若八/瓦，數(shù)列｛4｝的前幾項和為?！睂θ我獾?GN*,都有。脛〃S“一小求實數(shù)a的取值范圍.

12.設數(shù)列｛斯｝的首項為1,前”項和為S.，若對任意的"GN*,均有5"=斯+「網(wǎng)%是常數(shù)且左6?4*)成立,

則稱數(shù)列｛詼｝為“P(?數(shù)列”.

⑴若數(shù)列｛%｝為“P⑴數(shù)列”,求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)是否存在數(shù)列｛詼｝既是“尸(?數(shù)列”，也是“P/+