13空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示(精講)-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練(人教A版2019選擇性)

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、空間直角坐標(biāo)系在空間選定點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸.軸、軸，它們都叫作坐標(biāo)軸。這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，叫作原點(diǎn)，都叫作坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面.空間直角坐標(biāo)系通常使用的都是右手直角坐標(biāo)系.二、空間一點(diǎn)的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系中為坐標(biāo)向量。給定任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。也叫點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作.空間點(diǎn)對稱的特點(diǎn)：空間的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解。對稱點(diǎn)問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰就保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論。三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、空間兩點(diǎn)的距離公式若，，則①即：一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或2、向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，，則：①；②；③；3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，，則：；即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。4、空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式若，，則①，．②．【注意】（1）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中θ的范圍是（2）（3）用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。5、空間向量平行和垂直的條件若，，則①，，②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.題型一空間中點(diǎn)的坐標(biāo)表示【例1】已知正方體的棱長為2，若坐標(biāo)原點(diǎn)O為底面ABCD的中心，射線OA?OB為x軸?y軸的正半軸，z軸垂直于底面.則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，由題得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.【變式11】如圖，正方體的棱長為2，是上的點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于平面，，故設(shè)．因?yàn)?，所以，故．【變?2】若空間一點(diǎn)在軸上，則（）A．1B．0C．D．【答案】D【解析】因?yàn)榭臻g一點(diǎn)在軸上，所以，解得；故選：D【變式13】如圖，直三棱柱的所有棱長都是，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】，即頂點(diǎn)的坐標(biāo)是題型二空間中點(diǎn)的對稱問題【例2】在空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)不變，坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，∴關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為.故選：C.【變式21】在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于xoz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】關(guān)于xoz平面對稱的點(diǎn)，坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以關(guān)于xoz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C【變式22】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于平面對稱D．關(guān)于平面對稱【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相反，所以和點(diǎn)關(guān)于平面對稱，故選：C.【變式23】如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為，5，B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，8，C．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，5，D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，5，【答案】ACD【解析】對A，由圖可得，的坐標(biāo)為，5，，故A正確；對B，由圖，，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為則，解得，故，故B錯(cuò)誤；對C，在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確；對D，因?yàn)槠矫?，故點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，即，選項(xiàng)D正確；故選：ACD.題型三空間向量的坐標(biāo)表示【例3】已知點(diǎn)，，C為線段AB的中點(diǎn)，則向量的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】依題意，點(diǎn)，，C為線段AB的中點(diǎn)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以向量的坐標(biāo)為．【變式31】已知點(diǎn)，向量，則點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，則向量，所以，所以點(diǎn).故選：D【變式32】設(shè)點(diǎn)．若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，∵，∴，解得，故選：C．【變式33】在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，則，由得即，題型四空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例4】若，，，則的值為（）A．B．5C．7D．36【答案】B【解析】，.故選：B【變式41】對于任意非零向量，，以下說法錯(cuò)誤的有()A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量【答案】BD【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，若，且，，若，但分式無意義，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，若，則，此時(shí)，不是單位向量，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BD.【變式42】已知向量，，若，則k的值等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=.故選：D【變式43】已知，，且，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得，所以，，所以，因?yàn)椋?【變式44】設(shè)、，向量，，且，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，.題型五空間兩點(diǎn)的距離公式【例5】在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，則（）A．2B．C．6D．【答案】D【解析】由題意得．故選：D.【變式51】已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)的距離的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，所以有二次函數(shù)易知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為的最小值為故選：C.【變式52】在正方體中，，O是側(cè)面的中心，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、D