專題31函數(shù)的概念及其表示（舉一反三）（人教A版2019）

專題3.1函數(shù)的概念及其表示【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1對函數(shù)概念的理解】 1【題型2求函數(shù)的定義域】 3【題型3求函數(shù)的值域】 5【題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)】 6【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】 7【題型6同一函數(shù)的判斷】 9【題型7函數(shù)的表示法】 11【題型8分段函數(shù)】 13【知識點1函數(shù)的概念】1．函數(shù)的概念(1)一般地，設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應.④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定的關系就不一定是函數(shù)關系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對應關系：對應關系f是函數(shù)的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．【題型1對函數(shù)概念的理解】【例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列變量間為函數(shù)關系的是（）A．勻速行駛的客車在2小時內行駛的路程B．某地蔬菜的價格與蔬菜的供應量的關系C．一只60瓦的白熾燈在7小時內的耗電量與時間t的關系D．生活質量與人的身體狀況間的關系【解題思路】根據(jù)定義知BD是依賴關系，A是常量，C是確定的函數(shù)關系，得到答案.【解答過程】對選項A：勻速行駛的客車在2小時內行駛的路程是常量，不滿足；對選項B：某地蔬菜的價格與蔬菜的供應量的關系是依賴關系，不滿足；對選項C：耗電量與時間t的關系是y=60t,0≤t≤7，是確定的函數(shù)關系；對選項D：生活質量與人的身體狀況間的關系是依賴關系，不滿足.故選：C.【變式11】（2023·全國·高三對口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}下列表示從A到B的函數(shù)是（

）A．f:x→y,y=13xC．f:x→y,y=2x 【解題思路】根據(jù)題意，結合選項和函數(shù)的定義，逐項判定，即可求解.【解答過程】由集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}，對于A中，若f:x→y,y=13x，則集合A中任意元素，在集合B中都有唯一的元素與之對應，所以可構成集合A對于B中，若f:x→y,y=2x，則集合A中的元素2，在集合B中沒有元素與之對應，所以不能構成集合A到B的函數(shù)，不符合題意；對于C中，若f:x→y,y=2x，則集合A中的元素2，在集合B中沒有元素與之對應，所以不能構成集合A到對于D中，若f:x→y,y=x，則集合A中的元素2，在集合B中沒有元素與之對應，所以不能構成集合A到B的函數(shù)，不符合題意；故選：A.【變式12】（2023秋·內蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的概念結合條件分析即得.【解答過程】因為由函數(shù)的概念可知，一個自變量對應唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確；選項C中，當x=0時有兩個函數(shù)值與之對應，所以C錯誤.故選：C.【變式13】（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=x0≤x≤4，集合B=x0≤x≤2，下列圖象能建立從集合A到集合A． B．C． D．【解題思路】存在點使一個x與兩個y對應，A錯誤；當2<x≤4時，沒有與之對應的y，B錯誤；y的范圍超出了集合B的范圍，C錯誤；選項D滿足函數(shù)關系的條件，正確，得到答案.【解答過程】對選項A：存在點使一個x與兩個y對應，不符合，排除；對選項B：當2<x≤4時，沒有與之對應的y，不符合，排除；對選項C：y的范圍超出了集合B的范圍，不符合，排除；對選項D：滿足函數(shù)關系的條件，正確.故選：D.【題型2求函數(shù)的定義域】【例2】（2023·湖南衡陽·高二校聯(lián)考學業(yè)考試）函數(shù)y=1x?1+A．xx≥?2且x≠1 B．xx≥?2 C．xx<?2 D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【解答過程】依題意，x?1≠0x+2≥0，解得x≥?2且x≠1所以函數(shù)y=1x?1+x+2的定義域為故選：A.【變式21】（2023春·重慶江津·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)f(x+1)的定義域是?2,3，則函數(shù)f(2x?1)的定義域（

）A．?1,4 B．?7,3 C．?3,7 D．0,【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計算規(guī)則計算可得.【解答過程】因為函數(shù)f(x+1)的定義域是?2,3，所以?1≤x+1≤4，令?1≤2x?1≤4，解得0≤x≤52，所以函數(shù)f(2x?1)的定義域為故選：D.【變式22】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數(shù)fx的定義域為0,4，則函數(shù)gx=fA．1,2 B．1,4 C．1,2 D．1,4【解題思路】根據(jù)題意可得出關于x的不等式組，由此可解得函數(shù)gx【解答過程】解：因為函數(shù)fx的定義域為0,4對于函數(shù)gx=fx+2+1即函數(shù)gx=fx+2故選：C.【變式23】（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）已知函數(shù)y=fx的定義域為?8,1，則函數(shù)gx=A．?92,?2∪?2,0 B．?8,?2∪【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)的定義域可得出關于x的不等式組，由此可解得函數(shù)gx【解答過程】因為函數(shù)y=fx的定義域為?8,1，對于函數(shù)g則有?8≤2x+1≤1x+2≠0，解得?92因此，函數(shù)gx的定義域為?故選：A.【題型3求函數(shù)的值域】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)f(x)=|x|+1的定義域為{?1,0,1}，則其值域為（

）A．{1,2} B．[1,2] C．{0,1} D．[1,+【解題思路】根據(jù)定義域，代入解析式，求出值域.【解答過程】當x=±1時，f(x)=1+1=2，當x=0時，f(x)=1，故值域為{1,2}.故選：A.【變式31】（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)fx=2??A．?2,2 B．1,2 C．0,2 D．?【解題思路】求出函數(shù)的定義域，設t=?x2+4x=?(x?2)2【解答過程】由?x2+4x≥0得x設t=?x2+4x=?所以y=2?t∈[0,2]，即函數(shù)y=2??故選：C.【變式32】（2023·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中與函數(shù)y=x2值域相同的是（

A．y=x B．y=1x C．y=?x2【解題思路】先得出函數(shù)y=x2【解答過程】函數(shù)y=x2=x對于A，函數(shù)y=x的值域為R，故A錯誤；對于B，函數(shù)y=1x的值域為y對于C，函數(shù)y=?x2≤0對于D，y=x2?2x+1=故選：D.【變式33】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,9]，且當1≤x≤9時，f(x)=x+2，則y=[f(x)]2+f(A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【解題思路】首先由f(x)的定義域得出y=[f(x)]2+f(x2【解答過程】由f(x)的定義域為[1,9]，y=[f(x)]則1≤x2≤9所以y=(x+2)因為x∈[1,3]，所以函數(shù)y在x∈1,3當x=1,y=12，當x=3,y=36，故函數(shù)y的值域為12,36.故選：C．【題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)】【例4】（2023·高一課時練習）已知函數(shù)f(x)=32?xax2+ax+2的定義域為A．0≤a≤2 B．0≤a<8C．0<a≤8 D．0<a<8【解題思路】根據(jù)題意得ax2+ax+2≠0在x∈R上恒成立，考慮a=0【解答過程】因為函數(shù)定義域為R，所以ax2+ax+2≠0當a=0時，ax當a≠0時，要滿足Δ=a2綜上：0≤a<8.故選：B.【變式41】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx=3x?1x+3(x≠?3)A．3 B．?3 C．13 D．【解題思路】易知f(x)的定義域為R,得到值域為R,當x≠3時，利用分離常數(shù)法求得函數(shù)值的取值范圍，{y∈R|y≠3}，從而得到【解答過程】顯然，fx=3x?1x+3(x≠?3)y=3x?1x+3=3?10x+3故選：A.【變式42】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)f(x)=x2?4x?6的定義域為[0,m]，值域為[?10,?6]A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【解題思路】因為函數(shù)fx=x2?4x?6【解答過程】函數(shù)fx且以直線x=2為對稱軸的拋物線，故f0∵函數(shù)fx=x2?4x?6所以2≤m≤4，即m的取值范圍是2,4,故選D.【變式43】（2022秋·安徽蕪湖·高一?？计谥校┒x：稱b?a為區(qū)間a,b的長度，若函數(shù)fx=ax2A．?4 B．?2 C．4或?2 D．與b,c的取值有關【解題思路】由值域結合題設條件確定定義域，從而得出a的值.【解答過程】函數(shù)fx的值域為0,4ac?b24a設ax2+bx+c≥0的解集為x因為|x2?所以a2=?4a，解得故選：A.【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【例5】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)=x3?2x+3，那么f(2)A．3 B．5 C．7【解題思路】把x=2代入解析式即可求解.【解答過程】f(2)=2故選：C.【變式51】（2023·高一課時練習）下表給出了x與f(x)和g(x)的對應關系，根據(jù)表格可知f[g(1)]的值為（

）x1234x1234f(x)3142g(x)4321A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可先求g1=4，再求解【解答過程】由表中數(shù)據(jù)可知g1=4，所以故選：B.【變式52】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知fx+1=2x?3，且fa=3，則A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】令x+1=a，解得x=a?1，再根據(jù)fa【解答過程】解：因為fx+1=2x?3，且令x+1=a，解得x=a?1，所以fa解得a=4，故選：A.【變式53】（2022·全國·高一專題練習）已知fx=ax5+1，且fA．?8 B．10 C．9 D．11【解題思路】先由f?2=10求出a【解答過程】因為fx=ax所以a??25+1=10所以fx所以fx故選：A.【知識點2函數(shù)的相等】1．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).2．區(qū)間的概念設a，b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：(1)滿足不等式的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；(3)滿足不等式或的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b),(a,b].這里的實數(shù)a與b都叫做相應區(qū)間的端點.【題型6同一函數(shù)的判斷】【例6】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，是同一函數(shù)的是（

）A．y=(x?1)0B．y=x與y=C．y=x與D．y=x2【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.【解答過程】選項A中，函數(shù)y=(x?1)0的定義域是{x|x≠1}，函數(shù)y=1的定義域是選項B中，函數(shù)y=x的定義域是R，函數(shù)y=x2x選項C中，兩個函數(shù)定義域都是R，對應法則也相同，是同一函數(shù)；選項D中，兩者對應法則不相同，前者對應自變量直接平方，后者對應自變量減去1后的平方，不是同一函數(shù)．故選：C．【變式61】（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x表示同一個函數(shù)的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y=【解題思路】利用函數(shù)概念，分析函數(shù)的三要素是否相同即可求解.【解答過程】對于選項A,值域與函數(shù)y=x不同，所以不是同一個函數(shù)，故排除A；對于選項B，函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個函數(shù)，故排除B；對于選項C，函數(shù)定義域不同，所以不是同一個函數(shù)，故排除C；對于選項D，因為函數(shù)y=3x3=x與函數(shù)故選：D.【變式62】（2023秋·高一單元測試）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．fx=x+1與gx=xC．fx=1，gx=x【解題思路】由相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式判斷各選項即可.【解答過程】相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式.對于選項A：fx=x+1的定義域為R，gx對于選項B：函數(shù)fx=x?xx與函數(shù)又fx對于選項C：fx的定義域為R，gx的定義域為對于選項D：fx=x2的定義域為R，故選：B.【變式63】（2023春·湖南衡陽·高一?？奸_學考試）下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（

）A．y=xx與y=1 B．y=C．y=x2?1x?1與y=x+1 【解題思路】分別分析每個選項中函數(shù)的定義域和對應關系式是否相同即可.【解答過程】選項A函數(shù)y=xx的定義域為x|x≠0，而y=1的定義域為故A錯誤；選項B函數(shù)y=x3+xx2+1的定義域為且，y=x選項C函數(shù)y=x2?1x?1的定義域為x|x≠1，而故C錯誤；選項D函數(shù)y=x2?2x+1的定義域為R，而y=x?1但是y=x故選：B.【知識點3函數(shù)的表示法】1．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.(1)解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系；(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系；(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.2．抽象函數(shù)與復合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域為A，函數(shù)t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當CA時，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).【題型7函數(shù)的表示法】【例7】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)f(x),g(x)的對應關系如下表，則f[g(1)]=（

）x?10123f2130?2g32?1?20A．0 B．2 C．?2 D．1【解題思路】根據(jù)復合函數(shù)求值的方法分步求解即可．【解答過程】解：g(1)=?1，∴fg故選：B．【變式71】（2023·全國·高三專題練習）某校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時，再增選一名代表，則各班推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[π]=3，[4]=4）可表示為（

）A．y=[x+210] B．y=[x+310]【解題思路】令班級人數(shù)的個位數(shù)字為n，則x=10m+n（m∈N），結合題意討論n寫出對應y值，由取整函數(shù)的定義寫出函數(shù)關系式.【解答過程】設班級人數(shù)的個位數(shù)字為n，令x=10m+n，（m∈N），當0≤n≤6時，y=m，當7≤n≤9時，y=m+1，綜上，函數(shù)關系式為y=[x+3故選：B.【變式72】（2023春·寧夏銀川·高三?？茧A段練習）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點E由點A沿線段AB向點B移動，過點E作AB的垂線l，設AE=x，記位于直線l左側的圖形的面積為y，那么y與x的函數(shù)關系的圖象大致是（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)三角形面積公式，結合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.【解答過程】當0≤x≤1時，y=1當1<x≤2時，y=1綜上所述：y與x的函數(shù)關系的圖象大致是選項D，故選：D.【變式73】（2023·全國·高三對口高考）如圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（）A．y=B．y=C．y=D．y=1?|x?1|(0≤x≤2)【解題思路】分段求解：分別把0≤x≤1及1≤x≤2時的解析式求出即可．【解答過程】當0≤x≤1時，設f（x）=kx，由圖象過點（1，32），得k=32，所以此時f（x）=當1≤x≤2時，設f（x）=mx+n，由圖象過點（1，32），（2，0），得{32=m+n所以此時f（x）=-32x+3．函數(shù)表達式可轉化為：y＝3故選B.【題型8分段函數(shù)】【例8】（2023·全國·高一專題練習）已知f(x)=?x,x≤0x2,x>0，則A．?3 B．3 C．?9 D．9【解題思路