3.3冪函數(shù)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.3冪函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過具體實(shí)例,了解冪函數(shù)的概念,會(huì)求冪函數(shù)的解析式.2.結(jié)合冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的圖象,理解它們的變化規(guī)律.3.能利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際問題.前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，利用函數(shù)概念和對(duì)函數(shù)的觀察，研究了函數(shù)的一些性質(zhì).本節(jié)我們利用這些知識(shí)研究一類新的函數(shù).先看幾個(gè)實(shí)例.

活動(dòng)1：請(qǐng)觀察（1）—（5）中的函數(shù)解析式，討論它們有何共同特征.

知識(shí)點(diǎn)1

冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)

叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).

α可取任意實(shí)數(shù),但現(xiàn)在只研究α為有理數(shù)的情形名師點(diǎn)睛冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)為1;(2)xα的底數(shù)是自變量x,指數(shù)α為常數(shù);(3)項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng).符合以上三個(gè)特征的函數(shù)才是冪函數(shù).y=xα過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)函數(shù)f(x)=x2與函數(shù)f(x)=-x2都是冪函數(shù).(

)(2)所有二次函數(shù)都是冪函數(shù).(

)2.下列所給的函數(shù)中是冪函數(shù)的為(

)A.y=2x5 B.y=x3+1C.y=x-3

D.y=3x×C×探究點(diǎn)一冪函數(shù)的概念【例1】

函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,試確定m的值.解

根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=x-3在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合要求.故m=3.變式訓(xùn)練1如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)的圖象不過原點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值.解

由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當(dāng)m=1時(shí),m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過原點(diǎn),滿足條件;當(dāng)m=2時(shí),m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,

其圖象不過原點(diǎn),滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.

知識(shí)點(diǎn)2

冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象如下圖所示.思考：結(jié)合以往學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該如何研究這些函數(shù)？定義域、圖象、值域、單調(diào)性、奇偶性2.冪函數(shù)的性質(zhì)

冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R

R

(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性

奇函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在[0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0]上單調(diào)遞減在R上單調(diào)遞增在[0,+∞)上單調(diào)遞增在(0,+∞)上單調(diào)遞減,在(-∞,0)上單調(diào)遞減公共點(diǎn)(1,1)[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

思考：觀察5個(gè)函數(shù)圖象，哪個(gè)象限一定有冪函數(shù)的圖象，哪個(gè)象限一定沒有冪函數(shù)的圖象？這些函數(shù)有公共點(diǎn)嗎？冪函數(shù)的圖象一定會(huì)在第一象限，一定不在第四象限

過關(guān)自診1.如圖所示,圖中的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±四個(gè)值,則曲線C1,C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的n依次為(

)B解析

根據(jù)冪函數(shù)y=xn的性質(zhì),在第一象限內(nèi)的圖象,當(dāng)n>0時(shí),n越大,y=xn遞增速度越快,探究點(diǎn)二冪函數(shù)的圖象【例2】

下列關(guān)于函數(shù)y=xα與y=αx的圖象正確的是(

)C解析

函數(shù)y=xα是冪函數(shù),而y=αx是一次函數(shù).選項(xiàng)A,直線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=x,曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=x-1;選項(xiàng)B,直線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=2x,曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=

;選項(xiàng)C,直線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=2x,曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=x2;選項(xiàng)D,直線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=-x,曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=x3,故C正確.探究點(diǎn)三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【例3】

比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:規(guī)律方法1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)要注意的問題比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一個(gè)函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無法比較大小.變式訓(xùn)練3比較下列各組數(shù)的大小:探究點(diǎn)四冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】

函數(shù)f(x)=(m2-m-1)是冪函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m為(

)A.1 B.-1 C.2 D.-1或2B

變式訓(xùn)練4[2023湖南常德期末]已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(diǎn)(2,4).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)h(x)=2f(x)-kx-1在區(qū)間[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解

(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=xa的圖象過點(diǎn)(2,4),代入解析式有4=2a,解得a=2.所以函數(shù)f(x)=x2.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)冪函數(shù)的定義.(2)幾個(gè)常見冪函數(shù)的圖象.(3)冪函數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):(1)對(duì)冪函數(shù)形式的判斷易出錯(cuò),只有形如y=xα(x是自變量,α為常數(shù))的函數(shù)為冪函數(shù),其他形式都不是冪函數(shù);(2)對(duì)于冪函數(shù)的圖象,一般只考慮第一象限的情況,忽略其他象限可能的情形.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12341.已知冪函數(shù)y=(k-1)xα的圖象過點(diǎn)(2,4),則k+α等于(

)D解析

∵冪函數(shù)y=(k-1)xα的圖象過點(diǎn)(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故選D.12342.下列函數(shù)是冪函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)D123412344.[2023山西大同期末]已知冪函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)為偶函數(shù).(1)求

的值;(2)若f(2a+1)=f(a),求實(shí)數(shù)a的值.解

(1)因?yàn)閒(x)是冪函數(shù),所以m2-5m+7=1得m=